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Galoisgruppe bestimmen: Idee und Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mi 24.06.2020
Autor: clemenum

Aufgabe
Bestimme die Galoisgruppe des Polynoms [mm] $p=X^6+X^4+X^2+1$ [/mm] über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] und über [mm] $F_5$ [/mm]

Liebe Mathematikerinnen und Mathematiker!

Die Sache ist die, dass wir aufgrund der Coronapandamie diesmal weniger Möglichkeiten hatten die Professoren bei Unklarheiten zu fragen. Daher bitte ich euch, dass es etwas mehr geduldet wird, wenn es wo Unklarheiten gibt! :)

Meine erste Frage dazu ist: Muss man das Polynom faktorisieren können um Körper-Automorphismen aufstellen zu können? Ich wüßte nicht, wie man die Nullstellen miteinander vertauschen soll, wenn man sie nicht kennt.

Hier ist jedenfalls mal die Faktorisierung:
$p= [mm] (x^2+1)(x^4+1)= (x-i)(x+i)(x^2-i)(x^2+i)= [/mm]
[mm] $=(x-i)(x+i)(x-e^{i*\pi/4})(x+e^{i*\pi/4})(x-e^{(7*\pi/4)*i})(x+e^{(7*\pi/4)*i})$ [/mm]

$p$ hat also die "Wurzeln" [mm] $\pm [/mm] i, [mm] \pm e^{i*\pi/4}, \pm e^{(7*\pi/4)*i}$ [/mm]

Wir erhalten also den Zerfällungskörper K von $p$, indem wir an den Grundkörper [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] alle Nullstellen von $p$ adjungieren. Der Zerfällungskörper von $p$ ist also [mm] $\mathbb{Q}(i,-i,e^{i*\pi/4}, -e^{i*\pi/4}, e^{(7*\pi/4)*i}, -e^{(7*\pi/4)*i}).$ [/mm] Wir wissen außerdem, dass ein Körper, der ein Element $a$ enthält, auch dessen additives Inverses $-a$ enthält und somit der Zerfällungskörper $K$ folgende einfachere Darstellung haben muss:
$K:= [mm] \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4}, e^{(7\pi/4)i} [/mm] )$

Da der Grad der Körpererweiterung der Anzahl der Automorphismen  unserer Automorphismengruppe entspricht, müssen wir also [mm] $[K:\mathbb{Q}]$ [/mm] bestimmen, um leichter und schneller all unsere Elemente der gesuchten Gruppe [mm] $Gal:=Gal(K/\mathbb{Q})$ [/mm] angeben zu können.

Idee dazu: Die Gradformel hilft!
Wegen  Kette von Körpererweiterungen, gilt also
[mm] $[K:\mathbb{Q}]= [/mm] [K: [mm] \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})]\cdot [\mathbb{Q}(i,e^{i*pi/4}):\mathbb{Q}(i)]\cdot [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]. [/mm] $

Meine erste Frage ist mal, wie kann ich zum Beispiel  $[K: [mm] \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})]$ [/mm] feststellen? Ich weiß, dass man mit dem Grad von Minimalpolynomen arbeiten muss, aber wie soll hier das Minimalpolynom aussehen?

Wäre für Hilfe sehr dankbar!


        
Bezug
Galoisgruppe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Do 25.06.2020
Autor: statler

Guten Morgen!

> Bestimme die Galoisgruppe des Polynoms [mm]p=X^6+X^4+X^2+1[/mm]
> über [mm]\mathbb{Q}[/mm] und über [mm]F_5[/mm]
>  Liebe Mathematikerinnen und Mathematiker!
>  
> Die Sache ist die, dass wir aufgrund der Coronapandamie
> diesmal weniger Möglichkeiten hatten die Professoren bei
> Unklarheiten zu fragen. Daher bitte ich euch, dass es etwas
> mehr geduldet wird, wenn es wo Unklarheiten gibt! :)
>  
> Meine erste Frage dazu ist: Muss man das Polynom
> faktorisieren können um Körper-Automorphismen aufstellen
> zu können? Ich wüßte nicht, wie man die Nullstellen
> miteinander vertauschen soll, wenn man sie nicht kennt.
>
> Hier ist jedenfalls mal die Faktorisierung:
>  $p= [mm](x^2+1)(x^4+1)= (x-i)(x+i)(x^2-i)(x^2+i)=[/mm]
>  
> [mm]=(x-i)(x+i)(x-e^{i*\pi/4})(x+e^{i*\pi/4})(x-e^{(7*\pi/4)*i})(x+e^{(7*\pi/4)*i})[/mm]
>
> [mm]p[/mm] hat also die "Wurzeln" [mm]\pm i, \pm e^{i*\pi/4}, \pm e^{(7*\pi/4)*i}[/mm]
>  
> Wir erhalten also den Zerfällungskörper K von [mm]p[/mm], indem
> wir an den Grundkörper [mm]\mathbb{Q}[/mm] alle Nullstellen von [mm]p[/mm]
> adjungieren. Der Zerfällungskörper von [mm]p[/mm] ist also
> [mm]\mathbb{Q}(i,-i,e^{i*\pi/4}, -e^{i*\pi/4}, e^{(7*\pi/4)*i}, -e^{(7*\pi/4)*i}).[/mm]
> Wir wissen außerdem, dass ein Körper, der ein Element [mm]a[/mm]
> enthält, auch dessen additives Inverses [mm]-a[/mm] enthält und
> somit der Zerfällungskörper [mm]K[/mm] folgende einfachere
> Darstellung haben muss:
> [mm]K:= \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4}, e^{(7\pi/4)i} )[/mm]
>  

Das geht noch einfacher: [mm] e^{i*\pi/4} [/mm] reicht, weil die beiden anderen Elemente Potenzen davon sind. Dann ist [mm] [K:\mathbb{Q}] [/mm] = 4.

> Da der Grad der Körpererweiterung der Anzahl der
> Automorphismen  unserer Automorphismengruppe entspricht,
> müssen wir also [mm][K:\mathbb{Q}][/mm] bestimmen, um leichter und
> schneller all unsere Elemente der gesuchten Gruppe
> [mm]Gal:=Gal(K/\mathbb{Q})[/mm] angeben zu können.

Für die Galois-Gruppe gibt es nur noch 2 Möglichkeiten. Aber jeder Automorphismus [mm] \varphi [/mm] wird bestimmt durch das Bild von [mm] e^{i*\pi/4}. [/mm] Damit sind auch die Potenzen von [mm] \varphi [/mm] bstimmt.

>
> Idee dazu: Die Gradformel hilft!
>  Wegen  Kette von Körpererweiterungen, gilt also
>  [mm][K:\mathbb{Q}]= [K: \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})]\cdot [\mathbb{Q}(i,e^{i*pi/4}):\mathbb{Q}(i)]\cdot [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}].[/mm]
>  
> Meine erste Frage ist mal, wie kann ich zum Beispiel  [mm][K: \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})][/mm]
> feststellen? Ich weiß, dass man mit dem Grad von
> Minimalpolynomen arbeiten muss, aber wie soll hier das
> Minimalpolynom aussehen?
>  
> Wäre für Hilfe sehr dankbar!

Wie sieht das bei [mm] F_5 [/mm] aus?

Gruß aus HH
Dieter  


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