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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:55 Di 22.01.2013 | | Autor: | kullinarisch |
| Aufgabe | | Bestimme die Galoisgruppe Gal(f) zu [mm] f(x)=x^4-6x^2+4 [/mm] |
Guten Abend!
Die Nullstellen von f sind schnell gefunden und lauten [mm] M=\{\wurzel{3+\wurzel{5}}, -\wurzel{3+\wurzel{5}}, \wurzel{3-\wurzel{5}}, -\wurzel{3-\wurzel{5}}\}
[/mm]
Der Zerfällungskörper L lautet daher [mm] L=\IQ(\wurzel{3+\wurzel{5}}, \wurzel{3-\wurzel{5}})
[/mm]
Da f nach Eisenstein mit p=2 irreduzibel in [mm] \IQ[x] [/mm] ist, weiß ich folgende Dinge:
(a) [mm] [L:\IQ]=|Gal(f)| [/mm] (Grad der Erweiterung = Anzahl der Elemente in Gal(f))
(b) Gal(f) operiert transitiv auf den Nullstellen von f
An dieser Stelle unterliege ich immer dem Zwang, [mm] [L:\IQ] [/mm] zu bestimmen, weil dann irgendwie alles einfacher ist. Was ist hier sinnvoller?
(1) [mm] [L:\IQ] [/mm] zu bestimmen
oder
(2) Gal(f) bestimmen ohne [mm] [L:\IQ] [/mm] zu kennen
zu (1):
Ich scheitere daran, dass ich kein primitives Element für L finde, für das ich dann das Minimalpolynom bestimmen könnte. Alternativ könnte man ja zeigen, dass [mm] \IQ(\wurzel{3+\wurzel{5}})\subset [/mm] L ein echter Teilkörper ist. Dann könnte man ja auch leicht mit Minimalpolynomen von [mm] \wurzel{3+\wurzel{5}} [/mm] und [mm] \wurzel{3-\wurzel{5}} [/mm] den Grad von [mm] \IQ\subset [/mm] L bestimmen. Beides bekomme ich nicht hin. Liegt wohl an diesen doppel Wurzelausdrücken. Also abgesehen davon, ob man mit Punkt (2) zum Ziel gelangt, würde mich hier interessieren wie man den Grad bestimmt.
zu (2) ist das überhaupt möglich? Unser Professor hat das mal in einem Bsp. gemacht. Das sah allerdings eher nach einem Zufall, viel Friemelei und Glück aus.
würde mich über jegliche Anregungen freuen,
Gruß kulli
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Moin,
mit scharfen hinsehen habe ich das früher immer probiert. Es gibt doch "nur" die Möglichkeiten:
[mm]S_4, A_4, D_4, V_4, C_4[/mm]
Da alle Nullstellen reell sind, ist schon einmal die komplexe Konjugation kein Element der Gal. Dafür findet man aber zwei andere Abbildung, die Automorphismen sind und die Nullstellen alle auf andere Nullstellen abbilden. Betrachtet man die näher, so erkennt man, dass die Gruppenstruktur isomorph zu [mm] $C_2\times C_2$ [/mm] sein muss.
Einen goldenen Weg habe ich auch nicht entdeckt. Im Prinzip sieht man sich die Nullstellen scharf an und sucht Automorphismen. Ich denke, dass dies der schnellste Weg ist eine solche Gruppe zu bestimmen.
----------------
Wäre eine nicht-reelle Nullstelle vorhanden, so wäre ein AM die komplex. Konjugation. Das ist eine Transposition. So hätte man nur noch die [mm] $S_4$ [/mm] als Auswahl.
Ich lass es mal als teilweise beantwortet.
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> Moin,
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> mit scharfen hinsehen habe ich das früher immer probiert.
> Es gibt doch "nur" die Möglichkeiten:
> [mm]S_4, A_4, D_4, V_4, C_4[/mm]
Das gilt aber nur wenn ich die Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms betrachte oder? Und dann muss ich also die Untergruppen zu [mm] S_n [/mm] kennen? Das wären ja einige wenn [mm] 1\le n\le [/mm] sagen wir mal 8
> Da alle Nullstellen reell sind, ist schon einmal die
> komplexe Konjugation kein Element der Gal. Dafür findet
> man aber zwei andere Abbildung, die Automorphismen sind und
> die Nullstellen alle auf andere Nullstellen abbilden.
> Betrachtet man die näher, so erkennt man, dass die
> Gruppenstruktur isomorph zu [mm]C_2\times C_2[/mm] sein muss.
Ich hab mir alle infrage kommenden Kandidaten aufgeschrieben, also 8. Aber darunter sind mehr als nur 2 Abbildungen die jede Nullstelle auf eine andere abbilden. Mit dem Hinweis dass die Isomorphie zu [mm] C_2\times C_2 [/mm] gilt, hätte ich folgende Automorphismen im Angebot:
kurze Notation: [mm] \alpha=\wurzel{3+\wurzel{5}} [/mm] und [mm] \beta=\wurzel{3-\wurzel{5}}
[/mm]
[mm] \sigma=(\alpha, -\beta)(\beta, -\alpha)
[/mm]
[mm] \phi=(\alpha, -\alpha)(\beta, -\beta)
[/mm]
es gilt [mm] \sigma^2=\phi^2=Id
[/mm]
jeweils als Komposition von zwei 2-Zyklen geschrieben.
Aber wie kommt man darauf, dass man gerade mit diesen zwei Automorphismen (falls sie richtig sind) alle anderen Automorphismen erhalten kann? Nur alleine mit deinem Hinweis "isomorph zu [mm] C_2\times C_2" [/mm] wurde die Auswahl stark eingeschränkt.
> Einen goldenen Weg habe ich auch nicht entdeckt. Im Prinzip
> sieht man sich die Nullstellen scharf an und sucht
> Automorphismen. Ich denke, dass dies der schnellste Weg ist
> eine solche Gruppe zu bestimmen.
Also wenn es nicht zu viele Kandidaten gibt, ist es dann ratsam diese aufzuschreiben und zu schauen welche davon keine Automorphismen sind? Wie macht man das denn? Ich habe noch keine gefunden die keine wären.
Ist es nicht sau schwer genau die Automorphismen zu finden die alle anderen durch Verknüpfung erzeugen? Oder lautet hier der Tipp einfach nur durch viel üben ein scharfes Auge zu entwickeln? ;)
Manchmal gelingt mir das ja auch, aber manchmal reicht in der Klausur nicht.
Naja, danke erstmal!
> ----------------
>
> Wäre eine nicht-reelle Nullstelle vorhanden, so wäre ein
> AM die komplex. Konjugation. Das ist eine Transposition. So
> hätte man nur noch die [mm]S_4[/mm] als Auswahl.
>
> Ich lass es mal als teilweise beantwortet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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moin,
Nur eine ganz kurze Frage, da ich daran gerade scheitere:
Wie hast du ein Element der Ordnung 4 (also eine zyklische Vertauschung aller Nullstellen) ausgeschlossen?
Wieso ist [mm] $(\alpha,\beta,-\alpha,-\beta)$ [/mm] (als Zykel geschrieben) nicht möglich?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mi 23.01.2013 | | Autor: | hippias |
Man prueft leicht nach, dass [mm] $\alpha\beta= [/mm] 2$, aber [mm] $\alpha^{2}, \beta^{2}\not\in \IQ$, [/mm] sodass fuer alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt, dass [mm] $(\alpha^{g}, \beta^{g})\in\{(\alpha, \beta), (-\alpha, -\beta), (\beta, \alpha), (-\beta, -\alpha)\}$ [/mm] folgt. Damit gilt [mm] $G_{\alpha}= [/mm] 1$ und [mm] $\abs{G}= [/mm] 4$ und $L= [mm] \IQ[\alpha]$. [/mm] Ferner liesst man ab, dass [mm] $g^{2}= [/mm] 1$ fuer alle [mm] $g\in [/mm] G$ ist. Also ist $G$ die Klein'sche Vierergruppe.
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> Man prueft leicht nach, dass [mm]\alpha\beta= 2[/mm], aber
> [mm]\alpha^{2}, \beta^{2}\not\in \IQ[/mm], sodass fuer alle [mm]g\in G[/mm]
> gilt, dass [mm](\alpha^{g}, \beta^{g})\in\{(\alpha, \beta), (-\alpha, -\beta), (\beta, \alpha), (-\beta, -\alpha)\}[/mm]
> folgt. Damit gilt [mm]G_{\alpha}= 1[/mm] und [mm]\abs{G}= 4[/mm] und [mm]L= \IQ[\alpha][/mm].
> Ferner liesst man ab, dass [mm]g^{2}= 1[/mm] fuer alle [mm]g\in G[/mm] ist.
> Also ist [mm]G[/mm] die Klein'sche Vierergruppe.
Könntest du kurz erläutern wieso [mm] L=\IQ(\alpha) [/mm] gilt? Ich verstehe das nicht.
Grüße, kulli
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Wenn man bereits weiß, dass $|G| = 4$ und verwendet, dass [mm] $[L:\IQ] [/mm] = |G|$, wie du ja bereits im ersten Post gezeigt hast, so liefert der Gradsatz die gewünschte Aussage.
Da $f$ irreduzibel ist, ist $f$ das Minimalpolynom jeder seiner Nullstellen, insbesondere von [mm] $\alpha$.
[/mm]
Da überdies [mm] $\alpha \in [/mm] L$, gilt also [mm] $\IQ[\alpha] \subseteq [/mm] L$ und da $f$ irreduzibel, ist [mm] $[\IQ[\alpha]:\IQ] [/mm] = 4$.
Mit Gradsatz erhalten wir [mm] $[L:\IQ[\alpha]]=1$ [/mm] und damit [mm] $L=\IQ[\alpha]$.
[/mm]
lg
Schadow
PS: [mm] $\alpha*\beta$ [/mm] berechnen, ja, das ist eine schöne Idee...
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> Wenn man bereits weiß, dass [mm]|G| = 4[/mm] und verwendet, dass
> [mm][L:\IQ] = |G|[/mm], wie du ja bereits im ersten Post gezeigt
> hast, so liefert der Gradsatz die gewünschte Aussage.
> Da [mm]f[/mm] irreduzibel ist, ist [mm]f[/mm] das Minimalpolynom jeder
> seiner Nullstellen, insbesondere von [mm]\alpha[/mm].
> Da überdies [mm]\alpha \in L[/mm], gilt also [mm]\IQ[\alpha] \subseteq L[/mm]
> und da [mm]f[/mm] irreduzibel, ist [mm][\IQ[\alpha]:\IQ] = 4[/mm].
> Mit
> Gradsatz erhalten wir [mm][L:\IQ[\alpha]]=1[/mm] und damit
> [mm]L=\IQ[\alpha][/mm].
>
Ach richtig, danke!
> lg
>
> Schadow
>
>
> PS: [mm]\alpha*\beta[/mm] berechnen, ja, das ist eine schöne
> Idee...
allerdings!
Mfg, kulli
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