Gammafunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Euleresche Gamma-Funktion ist definiert als [mm] Gamma(n)=\integral_{0}^{\infinity}{e^{-t} t^{n-1} dt}
[/mm]
Man zeige:
n! [mm] \approx \wurzel{n} e^{1-n}n^{n}
[/mm]
Hinweis: man schreibe ln(n!) als Summe und verwende die Trapezregel, um die Summe durch ein INtegral abzuschätzen! |
Hi!
Ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich hier ansetzen kann!Wie würdet ihr anfangen?
Bin in diesem Fall für jeden Tipp dankbar!
GRuß
eurer Superkermit
ICh habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 15.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
für die Gammafunktion
[mm] \Gamma(s)=\int_0^\infty x^{1+s} e^{-x}\frac{dx}{x},
[/mm]
[mm] $s\in (0,\infty)$, [/mm] gilt
[mm] \Gamma(n)=(n-1)! [/mm] oder
[mm] n!=\int_0^\infty x^{n+2} e^{-x}\frac{dx}{x}. [/mm] Das rechte Integral kann man nun versuchen mit der Trapezregel zu berechnen. Vielleicht solltest Du vorher noch geeignet substituieren. Genau habe ich es mir nicht überlegt.
Volker
|
|
|
| |
|
hi!
Danke für die schnelle Antwort!
Seine Vorgehensweise leuchet mir zwar ein, aber dann halte ich mich ja nicht an die Aufgabenstellung, wonach ich eine Summe bilden soll!
Hat einer eine Idee wie man mit einer Summe ansetzen kann?
Gruß
Superkermit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 So 15.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
vielleicht hilft es, die logarithmische Ableitung der Gammafunktion zu betrachten:
[mm] d\log\Gamma(s)=\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)}
[/mm]
und dasselbe für die Stirlingsche Formel.
Volker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 16.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
