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| Aufgabe | Aufgabe 1
Zeigen Sie:
a) [mm] $\int_{0}^{\infty} e^{-x}*x^n \;dx [/mm] = n!$
b) [mm] $\int_{0}^{1} \left(ln\left(\frac{1}{x} \right)\right)^n \;dx [/mm] = n!$ |
Hallo,
ich habe eine Frage zu Aufgabe b). Das Zeigen ist nicht das Problem.
Mich interessiert aber, ob die Funktion in Aufgabe b) möglicherweise einen eigenen Namen hat.
Das Schulbuch, aus dem diese Aufgabe herrührt (Elemente der Mathematik, Analysis LK), informiert den Leser auch nicht darüber, dass es sich bei Aufgabe a) um die Gammafunktion handelt.
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
Edit: Aufgabe b) berichtigt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mo 30.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aufgabe 1
>
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cdot{}x^n \;dx = n! [/mm]
>
> b) [mm]\int_{0}^{1} ln\left(\frac{1}{x} \right) \;dx = n! [/mm]
So, wie es da steht, ist es falsch: es kommt kein n vor, und das Integral ist 1.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Di 31.08.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo Rainer,
habe vielen Dank für den Hinweis - ich Schussel habe den Exponenten beim Aufschreiben vergessen.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe 1
>
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\int_{0}^{\infty} e^{-x}*x^n \;dx = n![/mm]
>
> b) [mm]\int_{0}^{1} ln\left(\frac{1}{x} \right) \;dx = n![/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu Aufgabe b). Das Zeigen ist nicht das
> Problem.
>
> Mich interessiert aber, ob die Funktion in Aufgabe b)
> möglicherweise einen eigenen Namen hat.
das weiß ich leider nicht. Wie hast Du das denn (nach wohl einer Korrektur der Grenzen? nach Ergänzung eines Exponenten im Integranden, wie ich gerade bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Gammafunktion nachgelesen habe) bewiesen? Substution und p.I.?
> Das Schulbuch, aus dem diese Aufgabe herrührt (Elemente
> der Mathematik, Analysis LK), informiert den Leser auch
> nicht darüber, dass es sich bei Aufgabe a) um die
> Gammafunktion handelt.
Warum auch? Die Gammafunktion wird meines Wissens nach in der Schule nicht behandelt, vielleicht mal am Rande erwähnt. Und wenn schon, dann sollte dann auch darauf hingewiesen werden, dass die Gammafunktion eine "verallgemeinerte Fakultät" ist (sie hat neben der Eigenschaft, dass [mm] $\gamma(n)=n!$ [/mm] ist, auch noch andere schöne Eigenschaften). Und wenn es Dich interessiert: Man kann das ganze sogar noch weiter treiben bishin zur komplexen Gammafunktion...
Vieles davon steht z.B. bei Wikipedia.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 31.08.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo Marcel,
> Hallo,
>
> > Aufgabe 1
> >
> > Zeigen Sie:
> >
> > a) [mm]\int_{0}^{\infty} e^{-x}*x^n \;dx = n![/mm]
> >
> > b) [mm]\int_{0}^{1} ln\left(\frac{1}{x} \right) \;dx = n![/mm]
> >
>
> > Hallo,
> >
> > ich habe eine Frage zu Aufgabe b). Das Zeigen ist nicht das
> > Problem.
> >
> > Mich interessiert aber, ob die Funktion in Aufgabe b)
> > möglicherweise einen eigenen Namen hat.
>
> das weiß ich leider nicht. Wie hast Du das denn (nach wohl
> einer Korrektur der Grenzen? nach Ergänzung eines
> Exponenten im Integranden, wie ich gerade bei
> Wiki, Gammafunktion
> nachgelesen habe) bewiesen? Substution und p.I.?
Um ehrlich zu sein: zu zeigen, dass Aufgabe b) richtig ist war nur deshalb kein Problem für mich, weil ich das Lösungsbuch habe (das gibt's eigentlich nur für Lehrer).
Ich schreibe Dir den Beweis aber gerne auf:
a)
[mm] $\int_{0}^{\infty} e^{-x}*x^{n} \;dx=\left[-x^n*e^{-x} \right]_{0}^{+\infty}+n*\int_{0}^{+\infty} x^{n-1}*e^{-x} \;dx$
[/mm]
[mm] $=n*\left(\left[-e^{-x}*x^{n-1}\right]_{0}^{+\infty}+(n-1)*\int_{0}^{+\infty} x^{n-2}*e^{-x} \;dx \right)$
[/mm]
[mm] $=n*(n-1)\left(\left[-e^{-x}*x^{n-2}\right]_{0}^{+\infty}+(n-2)*\int_{0}^{+\infty} x^{n-3}*e^{-x} \;dx \right)$
[/mm]
[mm] $=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-n+1)*\left(\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \;dx \right)$
[/mm]
=n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!
Der Beweis für b) geht auch so.
Habe Dank für deinen Hinweis auf Wikipedia - da steht ja das b)-Integral.
> > Das Schulbuch, aus dem diese Aufgabe herrührt (Elemente
> > der Mathematik, Analysis LK), informiert den Leser auch
> > nicht darüber, dass es sich bei Aufgabe a) um die
> > Gammafunktion handelt.
>
> Warum auch? Die Gammafunktion wird meines Wissens nach in
> der Schule nicht behandelt, vielleicht mal am Rande
> erwähnt. Und wenn schon, dann sollte dann auch darauf
> hingewiesen werden, dass die Gammafunktion eine
> "verallgemeinerte Fakultät" ist (sie hat neben der
> Eigenschaft, dass [mm]\gamma(n)=n![/mm] ist, auch noch andere
> schöne Eigenschaften). Und wenn es Dich interessiert: Man
> kann das ganze sogar noch weiter treiben bishin zur
> komplexen Gammafunktion...
> Vieles davon steht z.B. bei Wikipedia.
>
> Beste Grüße,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 01.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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