Gammafunktion unendl. differen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie , dass die Gammafunktion
G(x):= [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*e^{-t}d\mu(t) }, [/mm] x>0 [mm] (\mu [/mm] ist hier das Lebesque-Maß auf [mm] \IR)
[/mm]
beliebig oft differenzierbar ist. |
Hallo,
Ist G(x) wie oben definiert dasselbe wie [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*e^{-t} dt}, [/mm] x>0 ? Wenn das so ist, dann würde ich einen Satz darauf anwenden.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie , dass die Gammafunktion
> G(x):= [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*e^{-t}d\mu(t) },[/mm] x>0
> [mm](\mu[/mm] ist hier das Lebesque-Maß auf [mm]\IR)[/mm]
> beliebig oft differenzierbar ist.
> Hallo,
>
> Ist G(x) wie oben definiert dasselbe wie
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*e^{-t} dt},[/mm] x>0 ?
Ja
> Wenn das
> so ist, dann würde ich einen Satz darauf anwenden.
Welchen ?
FRED
>
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 25.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Fred,
warum gilt die Gleichheit?
Ich weiß nur , dass es eine Beziehung zwischen Riemann und Lebesque Integralen (ein Satz aus der Vorlesung) gibt.
Dort muss eine Funktion f als Integrand auf einem abgeschlossenen beschränkten Rechteck definiert sein. Unser Integrand der Gammafunktion
ist definiert für x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] , also nicht abgeschlossen ist diese Menge und auch nicht beschränkt.
(Falls nötig , schicke ich den Link mit dem Satz)
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 25.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Igor!
> Hallo Fred,
>
> warum gilt die Gleichheit?
>
> Ich weiß nur , dass es eine Beziehung zwischen Riemann und
> Lebesque Integralen (ein Satz aus der Vorlesung) gibt.
> Dort muss eine Funktion f als Integrand auf einem
> abgeschlossenen beschränkten Rechteck definiert sein.
> Unser Integrand der Gammafunktion
> ist definiert für [mm]x \in (0, \infty)[/mm] , also nicht
> abgeschlossen ist diese Menge und auch nicht beschränkt.
Aber hier weisst du, dass sowohl das Riemann- wie auch das Lebesgue-Integral über [mm] $(0,\infty)$ [/mm] existieren und [mm] $<\infty$ [/mm] sind. Dann sind beide gleich.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Rainer,
es kann sein , dass ich noch wenig von diesen Begriffen verstehe, jedoch
mir ist nicht klar wie man aus der Existenz der beiden Integrale auf ihre Gleichheit schließen kann.
Kannst Du bitte eine kurze Beweisskizze angeben ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:58 Do 27.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Igor!
> Hallo Rainer,
>
> es kann sein , dass ich noch wenig von diesen Begriffen
> verstehe, jedoch
> mir ist nicht klar wie man aus der Existenz der beiden
> Integrale auf ihre Gleichheit schließen kann.
>
> Kannst Du bitte eine kurze Beweisskizze angeben ?
Ist f stetig und auf jedem kompakten Intervall [mm] $I\subset [0,\infty)$ [/mm] Riemann-integrierbar, dann ist sie auch Lebesgue-integrierbar und die beiden Integrale sind gleich. Betrachte nun die Folge
[mm] f_n(x) := f(x)\chi_{[0,n]}(x) = \begin{cases} f(x), & 0\le x \le n \\ 0, & x > n \end{cases} [/mm] .
und wende den Satz von der monotonen Konvergenz an.
Viele Grüße
Rainer
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Satz10.31 analysis 10.pdf Seite 206