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| Aufgabe | Eine Zufallsvariable $Y$ heißt Gamma-verteilt mit Parameter [mm] $\alpha>0, \lambda>0$, [/mm] wenn die Dichte von $Y$ die folgende Gestalt hat:
[mm] f_Y(t)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\, [/mm] dt
(Für $t<0$ ist [mm] $f_Y(t)=0$).
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\int_0^\infty f_Y(t)\, [/mm] dt=1$ und bestimmen sie den Erwartungswert E(Y). |
Hallo,
ich möchte dieses Integral bestimmen und danach den Erwartungswert ausrechnen. Dies fällt mir jedoch schwerer als ich zuvor angenommen hatte...
Meine erste Frage wäre die folgende:
In der Rechnung
[mm] $\int_0^\infty f_Y(t)\, dt=\int_0^\infty \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\, [/mm] dt$
Ist [mm] $\Gamma(\alpha)$ [/mm] ja als Konstante zu sehen. Denn man fast die Gamma-Funktion ja auch als Integral auf welches man über eine Variable integriert.
Diese Variable könnte ja auch t sein so, dass man eine Abhängigkeit im Integranden hat. Dies ist aber nicht der Fall, oder? Das verwirrt mich nämlich etwas...
Ich würde nun also die Konstanten aus dem Integranden ziehen:
[mm] $\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\, [/mm] dt$
Ich habe nun versucht zu substituieren.
Am vielversprechendsten scheint mir die Subsitution [mm] $u=\lambda [/mm] t$
[mm] $u'=\lambda [/mm] t$
Dann ist [mm] $dt=\frac{du}{\lambda}$
[/mm]
Insgesamt erhält man mit [mm] $t=\frac{u}{\lambda}$
[/mm]
[mm] $\left(\frac{1}{\lambda}\right)^\alpha\int_0^\infty [/mm] u [mm] e^{-u}\, du=\left(\frac{1}{\lambda}\right)^\alpha\Gamma(u)$
[/mm]
wobei ich den Vorfaktor weggelassen habe.
Nun gut, wenn ich [mm] $\alpha=\lambda [/mm] t$ substituiert hätte, dann hätte ich jetzt genau das hier stehen, was ich brauche damit sich alles weggkürzt und ich 1 erhalte.
Aber darf ich das? Kann ich einen Parameter zur Substitution benutzen, welcher bereits "vergeben" ist?
Edit: Wenn ich [mm] $\alpha=\lambda [/mm] t$ substituieren würde, dann hätte ich im weiteren Verlauf der Berechnung [mm] $\left(\frac{1}{\lambda}\right)^\alpha$ [/mm] nicht aus dem Integral herausziehen dürfen.
Vielen Dank im voraus.
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Hi,
ich denke mittlerweile ist es mir Gelungen den Erwartungswert zu bestimmen.
Ich benutze die Funktionalgleichung für die Gamma-Funktion
[mm] $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$
[/mm]
Damit gilt:
[mm] E(Y)=\int_0^\infty \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}e^{-\lambda}t^{\alpha}\, dt=\frac{\alpha}{\lambda}\underbrace{\int_0^\infty \frac{\lambda^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha+1)}e^{-\lambda t}t^{\alpha}\, dt}_{=1}=\frac{\alpha}{\lambda}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> ich denke mittlerweile ist es mir Gelungen den
> Erwartungswert zu bestimmen.
> Ich benutze die Funktionalgleichung für die
> Gamma-Funktion
>
> [mm]\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist der hilfreiche "Trick"
>
> Damit gilt:
>
> [mm]E(Y)=\int_0^\infty \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}e^{-\lambda\red t}t^{\alpha}\, dt=\frac{\alpha}{\lambda}\underbrace{\int_0^\infty \frac{\lambda^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha+1)}e^{-\lambda t}t^{\alpha}\, dt}_{=1}=\frac{\alpha}{\lambda}[/mm]
Vorne hattest du ein [mm] $\red [/mm] t$ vergessen einzutippen im Exponenten, aber es ist alles richtig!
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Eine Zufallsvariable [mm]Y[/mm] heißt Gamma-verteilt mit Parameter
> [mm]\alpha>0, \lambda>0[/mm], wenn die Dichte von [mm]Y[/mm] die folgende
> Gestalt hat:
>
> [mm]f_Y(t)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\,[/mm]
> dt
>
> (Für [mm]t<0[/mm] ist [mm]f_Y(t)=0[/mm]).
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\int_0^\infty f_Y(t)\, dt=1[/mm] und bestimmen
> sie den Erwartungswert E(Y).
>
> Hallo,
>
> ich möchte dieses Integral bestimmen und danach den
> Erwartungswert ausrechnen. Dies fällt mir jedoch schwerer
> als ich zuvor angenommen hatte...
>
> Meine erste Frage wäre die folgende:
>
> In der Rechnung
>
> [mm]\int_0^\infty f_Y(t)\, dt=\int_0^\infty \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\, dt[/mm]
>
> Ist [mm]\Gamma(\alpha)[/mm] ja als Konstante zu sehen. Denn man fast
> die Gamma-Funktion ja auch als Integral auf welches man
> über eine Variable integriert.
> Diese Variable könnte ja auch t sein so, dass man eine
> Abhängigkeit im Integranden hat. Dies ist aber nicht der
> Fall, oder? Das verwirrt mich nämlich etwas...
>
> Ich würde nun also die Konstanten aus dem Integranden
> ziehen:
>
> [mm]\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\, dt[/mm]
>
> Ich habe nun versucht zu substituieren.
> Am vielversprechendsten scheint mir die Subsitution
> [mm]u=\lambda t[/mm]
>
> [mm]u'=\lambda t[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]u=u(t)[/mm], also [mm]u'(t)=\frac{du}{dt}=\lambda[/mm]
>
> Dann ist [mm]dt=\frac{du}{\lambda}[/mm]
Also oben nur verschrieben 
>
> Insgesamt erhält man mit [mm]t=\frac{u}{\lambda}[/mm]
>
> [mm]\left(\frac{1}{\lambda}\right)^\alpha\int_0^\infty u e^{-u}\, du=\left(\frac{1}{\lambda}\right)^\alpha\Gamma(u)[/mm]
Aus [mm]\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\, dt[/mm] ergibt sich mit deiner Substitution doch erstmal
[mm]\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty \left(\frac{u}{\lambda}\right)^{\alpha-1}e^{-u}\, \frac{du}{\lambda}[/mm]
[mm]=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\cdot{}\underbrace{\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u}\, du}_{=\Gamma(\alpha)}[/mm]
Also fällt alles zu 1 zusammen, wie es sein soll ...
>
> wobei ich den Vorfaktor weggelassen habe.
> Nun gut, wenn ich [mm]\alpha=\lambda t[/mm] substituiert hätte,
> dann hätte ich jetzt genau das hier stehen, was ich
> brauche damit sich alles weggkürzt und ich 1 erhalte.
> Aber darf ich das? Kann ich einen Parameter zur
> Substitution benutzen, welcher bereits "vergeben" ist?
>
> Edit: Wenn ich [mm]\alpha=\lambda t[/mm] substituieren würde, dann
> hätte ich im weiteren Verlauf der Berechnung
> [mm]\left(\frac{1}{\lambda}\right)^\alpha[/mm] nicht aus dem
> Integral herausziehen dürfen.
>
>
> Vielen Dank im voraus.
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank, jetzt sehe ich es auch.
Keine Ahnung warum ich da so blind war...
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