Ganz abgeschlossene Ringe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 02.06.2011 | | Autor: | ball |
| Aufgabe | Sind die Ringe
a) [mm] R := \IZ[X]/(X^2 + 4) [/mm]
b) [mm] S := \IZ[X]/(X^3 - 3X + 2) [/mm]
ganz abgeschlossen? |
Hallo,
ich weiß nicht so recht, wie ich an die Aufgaben rangehen soll. Zu a) habe ich mir gedacht:
[mm] X^2 + 4 [/mm] ist irreduzibles Element in [mm] \IZ[X] [/mm], daher ist [mm] (X^2 + 4) [/mm] ein Maximales Ideal und $R$ ist damit ein Körper. Insbesondere ist $R$ faktoriell, also auch ganz abgeschlossen.
Jetzt habe ich im Netz eine Aufgabe gesehen, bei der man zeigen soll, dass $R$ nicht ganz abgeschlossen ist. Mein Beweis ist vermutlich falsch...
Zu b) habe ich gar keinen Ansatz. Ich habe versucht ein ganzes Element im Quotientenkörper von $S$ zu finden, welches nicht in $S$ liegt, klappt aber nicht.
Für Hinweise wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Do 02.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind die Ringe
> a) [mm]R := \IZ[X]/(X^2 + 4)[/mm]
> b) [mm]S := \IZ[X]/(X^3 - 3X + 2)[/mm]
>
> ganz abgeschlossen?
> Hallo,
>
> ich weiß nicht so recht, wie ich an die Aufgaben rangehen
> soll. Zu a) habe ich mir gedacht:
>
> [mm]X^2 + 4[/mm] ist irreduzibles Element in [mm]\IZ[X] [/mm], daher ist [mm](X^2 + 4)[/mm]
> ein Maximales Ideal und [mm]R[/mm] ist damit ein Körper.
Falsch: [mm] $X^2 [/mm] + 4$ ist zwar irreduzibel und [mm] $(X^2 [/mm] + 4)$ ist damit prim, aber nicht umbedingt maximal! Schliesslich ist [mm] $\IZ[X]$ [/mm] kein Hauptidealring!
Der Quotientenkoerper ist uebrigens [mm] $\IQ[X]/(X^2 [/mm] + 4) = [mm] \IQ(\sqrt{-4}) [/mm] = [mm] \IQ(i)$.
[/mm]
Den Ring selber kannst du dir als [mm] $\IZ[\sqrt{-4}] [/mm] = [mm] \IZ[2 \sqrt{-1}] [/mm] = [mm] \IZ[2 [/mm] i]$ vorstellen.
Das gibt dir vielleicht einen Hinweis, welche Elemente aus dem Quotientenkoerper ganz ueber [mm] $\IZ$ [/mm] sein koennten, aber nicht im Ring liegen...
> Jetzt habe ich im Netz eine Aufgabe gesehen, bei der man
> zeigen soll, dass [mm]R[/mm] nicht ganz abgeschlossen ist. Mein
> Beweis ist vermutlich falsch...
>
> Zu b) habe ich gar keinen Ansatz. Ich habe versucht ein
> ganzes Element im Quotientenkörper von [mm]S[/mm] zu finden,
> welches nicht in [mm]S[/mm] liegt, klappt aber nicht.
Tipp: schau dir das Element [mm] $X^2 [/mm] + X$ an. Berechne das Minimalpolynom ueber [mm] $\IZ$. [/mm] Faellt dir etwas auf?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 03.06.2011 | | Autor: | ball |
> Falsch: [mm]X^2 + 4[/mm] ist zwar irreduzibel und [mm](X^2 + 4)[/mm] ist
> damit prim, aber nicht umbedingt maximal! Schliesslich ist
> [mm]\IZ[X][/mm] kein Hauptidealring!
Hui, stimmt, da war ich zu vorschnell - ich war mir der Voraussetzungen für die Äquivalenz "prim gdw. maximal" nicht mehr gewahr...
> Der Quotientenkoerper ist uebrigens [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4) = \IQ(\sqrt{-4}) = \IQ(i)[/mm].
>
> Den Ring selber kannst du dir als [mm]\IZ[\sqrt{-4}] = \IZ[2 \sqrt{-1}] = \IZ[2 i][/mm]
> vorstellen.
Hm, warum ist [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] gerade der Quotientenkörper? Ich denke mir:
[mm]\IZ[X] \to \IZ[\sqrt{-4}], p(X) \mapsto p(\sqrt{-4})[/mm] ist surjektiver Homomorphismus mit Kern [mm](X^2 + 4)[/mm], also ist [mm]R \cong \IZ[\sqrt{-4}][/mm].
Dann ist der Quotientenkörper von $R$ isomorph zum Quotientenkörper von [mm]\IZ[\sqrt{-4}][/mm], das ist dann gerade [mm]\IQ(\sqrt{-4}) \cong \IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm].
> Das gibt dir vielleicht einen Hinweis, welche Elemente aus
> dem Quotientenkoerper ganz ueber [mm]\IZ[/mm] sein koennten, aber
> nicht im Ring liegen...
Nun ist einsichtigerweise $i [mm] \not\in \IZ[2i]$ [/mm] ganz über [mm]\IZ[2i][/mm] ([mm]i^2 + 1 = 0[/mm]), aber ich weiß nicht wie ich das in [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] identifizieren soll.
> > Zu b) habe ich gar keinen Ansatz. Ich habe versucht ein
> > ganzes Element im Quotientenkörper von [mm]S[/mm] zu finden,
> > welches nicht in [mm]S[/mm] liegt, klappt aber nicht.
>
> Tipp: schau dir das Element [mm]X^2 + X[/mm] an. Berechne das
> Minimalpolynom ueber [mm]\IZ[/mm]. Faellt dir etwas auf?
Hm, ich habe nachgedacht, aber irgendwie verstehe ich hier nicht was du meinst... Hat [mm]X^2 + X[/mm] über [mm] $\IZ$ [/mm] ein Minimalpolynom?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Fr 03.06.2011 | | Autor: | ball |
> > Das gibt dir vielleicht einen Hinweis, welche Elemente aus
> > dem Quotientenkoerper ganz ueber [mm]\IZ[/mm] sein koennten, aber
> > nicht im Ring liegen...
> Nun ist einsichtigerweise [mm]i \not\in \IZ[2i][/mm] ganz über
> [mm]\IZ[2i][/mm] ([mm]i^2 + 1 = 0[/mm]), aber ich weiß nicht wie ich das in
> [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] identifizieren soll.
Gilt etwa: [mm] (\bruch{1}{2}X)^2 + 1 = \bruch{1}{4}(X^2 + 4) = 0[/mm] (in [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] gerechnet)?
Damit [mm] \bruch{1}{2}X \not\in R[/mm] ganz über $R$, oder?
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Das gibt dir vielleicht einen Hinweis, welche Elemente aus
> > > dem Quotientenkoerper ganz ueber [mm]\IZ[/mm] sein koennten, aber
> > > nicht im Ring liegen...
> > Nun ist einsichtigerweise [mm]i \not\in \IZ[2i][/mm] ganz über
> > [mm]\IZ[2i][/mm] ([mm]i^2 + 1 = 0[/mm]), aber ich weiß nicht wie ich das in
> > [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] identifizieren soll.
>
> Gilt etwa: [mm](\bruch{1}{2}X)^2 + 1 = \bruch{1}{4}(X^2 + 4) = 0[/mm]
> (in [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] gerechnet)?
> Damit [mm]\bruch{1}{2}X \not\in R[/mm] ganz über [mm]R[/mm], oder?
Genau :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Der Quotientenkoerper ist uebrigens [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4) = \IQ(\sqrt{-4}) = \IQ(i)[/mm].
>
> >
> > Den Ring selber kannst du dir als [mm]\IZ[\sqrt{-4}] = \IZ[2 \sqrt{-1}] = \IZ[2 i][/mm]
> > vorstellen.
> Hm, warum ist [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] gerade der
> Quotientenkörper? Ich denke mir:
> [mm]\IZ[X] \to \IZ[\sqrt{-4}], p(X) \mapsto p(\sqrt{-4})[/mm] ist
> surjektiver Homomorphismus mit Kern [mm](X^2 + 4)[/mm], also ist [mm]R \cong \IZ[\sqrt{-4}][/mm].
> Dann ist der Quotientenkörper von [mm]R[/mm] isomorph zum
> Quotientenkörper von [mm]\IZ[\sqrt{-4}][/mm], das ist dann gerade
> [mm]\IQ(\sqrt{-4}) \cong \IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm].
Das ist eine "anschauliche" Moeglichkeit. Ansonsten: der Quotientenkoerper muss [mm] $\IQ$ [/mm] enthalten (Quotientenkoerper von [mm] $\IZ$), [/mm] da der Ring [mm] $\IZ$ [/mm] enthaelt, und er muss ein Element [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha^2 [/mm] + 4 = 0$ enthalten. Dies tut [mm] $\IQ[X]/(X^2 [/mm] + 4)$. Weiterhin ist [mm] $\IQ[X]$ [/mm] Hauptidealring und [mm] $(X^2 [/mm] + 4)$ somit maximales Ideal, womit [mm] $\IQ[X]/(X^2 [/mm] + 4)$ ein Koerper ist.
Es ist also der kleinste Koerper, der [mm] $\IZ[X]/(X^2 [/mm] + 4)$ umfasst.
> > Das gibt dir vielleicht einen Hinweis, welche Elemente aus
> > dem Quotientenkoerper ganz ueber [mm]\IZ[/mm] sein koennten, aber
> > nicht im Ring liegen...
> Nun ist einsichtigerweise [mm]i \not\in \IZ[2i][/mm] ganz über
> [mm]\IZ[2i][/mm] ([mm]i^2 + 1 = 0[/mm]), aber ich weiß nicht wie ich das in
> [mm]\IQ[X]/(X^2 + 4)[/mm] identifizieren soll.
Nun, $X$ entspricht $2 i$. Also entspricht [mm] $\frac{1}{2} [/mm] X$ gerade $i = [mm] \frac{1}{2} [/mm] 2 i$. Aber das hattest du ja mittlerweile 
> > > Zu b) habe ich gar keinen Ansatz. Ich habe versucht ein
> > > ganzes Element im Quotientenkörper von [mm]S[/mm] zu finden,
> > > welches nicht in [mm]S[/mm] liegt, klappt aber nicht.
> >
> > Tipp: schau dir das Element [mm]X^2 + X[/mm] an. Berechne das
> > Minimalpolynom ueber [mm]\IZ[/mm]. Faellt dir etwas auf?
>
> Hm, ich habe nachgedacht, aber irgendwie verstehe ich hier
> nicht was du meinst... Hat [mm]X^2 + X[/mm] über [mm]\IZ[/mm] ein
> Minimalpolynom?
Nun, [mm] $X^2 [/mm] + X$ ist ganz ueber [mm] $\IZ$, [/mm] womit es ein Minimalpolynom ueber [mm] $\IZ$ [/mm] hat. Ansonsten bestimm das Minimalpolynom von $X$ in [mm] $\IQ[X]/(X^3 [/mm] - 3 X + 2)$ ueber [mm] $\IQ$: [/mm] dies ist das gleiche Polynom. (Genauer gesagt: da das Element ganz ueber [mm] $\IZ$ [/mm] ist, hat das Minimalpolynom aus dem Quotientenkoerper von [mm] $\IZ[X]/(X^3 [/mm] - 3 X + 2)$ ueber dem Quotientenkoerper von [mm] $\IZ$ [/mm] Koeffizienten in [mm] $\IZ$. [/mm] Nachtrag: das liegt daran, dass [mm] $\IZ$ [/mm] normal ist, also ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkoerper.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 03.06.2011 | | Autor: | ball |
> > Hm, ich habe nachgedacht, aber irgendwie verstehe ich hier
> > nicht was du meinst... Hat [mm]X^2 + X[/mm] über [mm]\IZ[/mm] ein
> > Minimalpolynom?
>
> Nun, [mm]X^2 + X[/mm] ist ganz ueber [mm]\IZ[/mm],
Tatsächlich? Das verstehe ich nicht...
> Ansonsten bestimm das
> Minimalpolynom von [mm]X[/mm] in [mm]\IQ[X]/(X^3 - 3 X + 2)[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm]
Es ist [mm]X^3 - 3X +2 = 0[/mm] in [mm]\IQ[X]/(X^3 - 3X + 2)[/mm]...
[mm](X^2 + X)^3 - 3(X^2 + X) + 2[/mm] ist doch nicht Null...
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Hm, ich habe nachgedacht, aber irgendwie verstehe ich hier
> > > nicht was du meinst... Hat [mm]X^2 + X[/mm] über [mm]\IZ[/mm] ein
> > > Minimalpolynom?
> >
> > Nun, [mm]X^2 + X[/mm] ist ganz ueber [mm]\IZ[/mm],
> Tatsächlich? Das verstehe ich nicht...
Da $S$ ganz ueber [mm] $\IZ$ [/mm] ist ist jedes Element aus $S$ ganz ueber [mm] $\IZ$, [/mm] insbesondere auch $X + [mm] X^2 \in [/mm] S$.
> > Ansonsten bestimm das
> > Minimalpolynom von [mm]X[/mm] in [mm]\IQ[X]/(X^3 - 3 X + 2)[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm]
> Es ist [mm]X^3 - 3X +2 = 0[/mm] in [mm]\IQ[X]/(X^3 - 3X + 2)[/mm]...
>
> [mm](X^2 + X)^3 - 3(X^2 + X) + 2[/mm] ist doch nicht Null...
Nun, [mm] $T^3 [/mm] - 3 T + 2$ ist auch nicht das Minimalpolynom von [mm] $X^2 [/mm] + X$, sondern das von $X$. Du musst schon das Minimalpolynom von [mm] $X^2 [/mm] + X$ finden.
Dazu berechne am besten erstmal [mm] $(X^2 [/mm] + [mm] X)^2$ [/mm] und [mm] $(X^2 [/mm] + [mm] X)^3$ [/mm] (als Linearkombination von $1, X, [mm] X^2$), [/mm] und versuche [mm] $(X^2 [/mm] + [mm] X)^3$ [/mm] als (ganzzahlige) Linearkombination von [mm] $(X^2 [/mm] + [mm] X)^2$, $X^2 [/mm] + X$ und $1$ zu schreiben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Fr 03.06.2011 | | Autor: | ball |
> Dazu berechne am besten erstmal [mm](X^2 + X)^2[/mm] und [mm](X^2 + X)^3[/mm]
> (als Linearkombination von [mm]1, X, X^2[/mm]), und versuche [mm](X^2 + X)^3[/mm]
> als (ganzzahlige) Linearkombination von [mm](X^2 + X)^2[/mm], [mm]X^2 + X[/mm]
> und [mm]1[/mm] zu schreiben.
Eben hier hakt es bei mir gewaltig: [mm](X^2 + X)^3[/mm] hat eine Potenz zum Grad 6, [mm](X^2 + X)^2[/mm] und [mm]X^2 + X[/mm] aber doch maximal vom Grad 4. Ich muss wohl ganz gehörig auf der Leitung stehen...
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Dazu berechne am besten erstmal [mm](X^2 + X)^2[/mm] und [mm](X^2 + X)^3[/mm]
> > (als Linearkombination von [mm]1, X, X^2[/mm]), und versuche [mm](X^2 + X)^3[/mm]
> > als (ganzzahlige) Linearkombination von [mm](X^2 + X)^2[/mm], [mm]X^2 + X[/mm]
> > und [mm]1[/mm] zu schreiben.
>
> Eben hier hakt es bei mir gewaltig: [mm](X^2 + X)^3[/mm] hat eine
> Potenz zum Grad 6, [mm](X^2 + X)^2[/mm] und [mm]X^2 + X[/mm] aber doch
> maximal vom Grad 4. Ich muss wohl ganz gehörig auf der
> Leitung stehen...
In $S$ gilt doch [mm] $X^3 [/mm] = 3 X - 2$. Damit kannst du alles als Linearkombination von $1, X, [mm] X^2$ [/mm] schreiben.
LG Felix
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