Ganze Funktionen / Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Di 17.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
| Aufgabe | Kreuze an falls richtig:
Jede ganze Funktion g mit [mm] |g(z)+g(z)^{2}| \ge [/mm] 1 für alle z [mm] \in \IC [/mm] ist konstant. |
Anhand der Lösung weiß ich, dass diese Aussage richtig ist. Jedoch steige ich nicht ganz dahinter wieso das gilt (weitere Angaben sind nicht gegeben).
Eine ganze Funktion ist ja eine holomorphe Funktion f: U [mm] \to \IC [/mm] bei der U = [mm] \IC [/mm] ist, also ist die Funktion f in jedem Punkt [mm] z_{0} \in [/mm] U = [mm] \IC [/mm] (beliebig oft) komplex differenzierbar d.h. es exisitiert ein Grenzwert f'(x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}-h) - f(z_{0})}{h}.
[/mm]
Das hilft mir hier allerdings hier ja recht wenig. Wäre dankbar für jede Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Nachtrag:
Mittlerweile habe ich den Satz von Liouville bei Wikipedia gefunden, allerdings stellt sich da die Frage wie denn der hier anzuwenden ist? Die Funktion ist ja nicht gegeben, also kann ich sie weder kleiner als eine Kontante schätzen noch ihre Ableitung bilden, geschweige denn die Ableitung als Betrag irgendwie Abschätzen (wenn Ableitung stets Null, wäre Funktion natürlich stets konstant).
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Hiho,
offensichtlich ist $g(z) [mm] \not= [/mm] 0$ (warum?) und daher auch $g(z) + [mm] g(z)^2$
[/mm]
Damit ist $f(z) = [mm] \bruch{1}{g(z) + g(z)^2}$ [/mm] holomorph und welche Abschätzung gilt für |f(z)|?
Was sagt dann der Satz von Liouville über f?
Was gilt dann für g?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 17.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
Danke für die zügige Antwort! Ich versuche es mal:
Hiho,
offensichtlich ist $g(z) [mm] \not= [/mm] 0$ (warum?) und daher auch $g(z) + [mm] g(z)^2$ [/mm]
Hmm... ich hole weit aus (bitte Kurzfassung nennen, falls möglich): Das Bild, also g(z), muss ja (wegen Wertebereich einer holomorphen ganzen Funktion) Element von [mm] \IC [/mm] sein. Folglich sieht g(z) also z.B. so aus: x + iy. [mm] g(x)^2 [/mm] wiederum ist dann ja [mm] $x^2 [/mm] +2ixy [mm] -y^2$ [/mm] . Nun kann man die ganze Summe umformulieren: $g(z) + [mm] g(z)^2 [/mm] = g(z)*(g(z)+1) = (x+iy)(x+1+iy) = [mm] x^2 [/mm] + x - [mm] y^2 [/mm] + i(2xy+y)$. Der Betrag davon muss wiederum eine reelle Zahl sein (auf die eine größer-/gleich-Relation wie in der Angabe gefordert anwendbar ist): $|g(z) + [mm] g(z)^2| [/mm] = |(x+iy)(x+1+iy)| = [mm] |(x^2+x-y^2) [/mm] + i(2xy+y)| = [mm] \wurzel{(x^2 + x - y^2)^2 + (2xy+y)^2} \ge [/mm] 1$. Nun kann ich sagen, dass die beiden Quadrate stets positiv sind und daher die Wurzel stets reellwertig und positiv (oder null) sein muss. Aber wie schließe ich den Fall "= 0" aus? Kann ich einfach anhand der Angabe die Annahme treffen?
Damit ist $f(z) = [mm] \bruch{1}{g(z) + g(z)^2}$ [/mm] holomorph
Wieso gilt das? Ist das Produkt [mm] g(z)^2 [/mm] stets holomorph, wenn g(z) holomorph ist? Dann ist auch stets die Superposition von holomorphen Funktionen (wie hier im Nenner) holomorph? Und daher der Kehrwert der Summe auch? Und wieso hast du überhaupt den Kehrwert gebildet?
und welche Abschätzung gilt für |f(z)|?
Was sagt dann der Satz von Liouville über f?
Was gilt dann für g?
Gruß,
Gono
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Hiho,
> Hmm... ich hole weit aus
Das endet immer nur in Geschwafel, so auch hier:
> (bitte Kurzfassung nennen)
Annahme: $g(z) = 0$, dann ist auch [mm] $g(z)^2 [/mm] = 0$ und damit: $|g(z) + [mm] g(z)^2| [/mm] = |0 + 0| = 0 [mm] \not\ge [/mm] 1$
Widerspruch.
Also: $g(z) [mm] \not= [/mm] 0$
Man man man...
> Wieso gilt das? Ist das Produkt [mm]g(z)^2[/mm] stets holomorph,
> wenn g(z) holomorph ist? Dann ist auch stets die
> Superposition von holomorphen Funktionen (wie hier im
> Nenner) holomorph? Und daher der Kehrwert der Summe auch?
Du solltest dringend Grundlagen zu holomorphen Funktionen nacharbeiten.
Wenn du das getan hast, kannst du gerne wieder eine Frage stellen....
> Und wieso hast du überhaupt den Kehrwert gebildet?
Das wird dir klar, wenn wir weiterarbeiten.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 17.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
Danke für den Hinweis, bemühe mich! Habe mittlerweile herausgefunden, dass die Summe, Differenz und das Produkt zweier holomorpher Funktionen $f, g$ wieder holomorph ist. Und wenn g(z) [mm] \not= [/mm] 0 ist, gilt auch, dass die Division [mm] \bruch{f}{g} [/mm] komplex differenzierbar ist. Ausserdem gelten die Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln.
Also muss auch $g(z) + [mm] g(z)^2$ [/mm] holomorph sein.
Ich frage mich, ob man dafür folgendermaßen argumentieren dürfte (und ob es ausreicht): $g(z) + [mm] g(z)^2 [/mm] = [mm] (x^2+x-y^2) [/mm] + i(2xy+y) $. Sei nun $u = [mm] (x^2+x-y^2) [/mm] $ und $v = (2xy+y)$. Da die Cauchy-Riemannschen-DGL bei holomorphen Funktionen gelten müssen, prüfen wir: $ [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = 2x+1 = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y}$ [/mm] und $ [mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = -2y = - [mm] \bruch{\partial v}{\partial x}$ \Rightarrow [/mm] $g(z) + [mm] g(z)^2$ [/mm] ist holomorph.
Analog kann ich mittels C-R-DGLs prüfen, ob der Kehrwert holomorph ist.
Aber nun wieder zum eigentlichen Problem:
Der Satz von Lioville besagt ja, dass $|f(z) [mm] \le [/mm] c| $ für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gelten muss, wenn $f$ konstant sein soll. Das heißt:
Sei $f(z) = [mm] \bruch{1}{g(z)+g(z)^2} \Rightarrow [/mm] |f(z)| = [mm] \bruch{1}{|g(z)+g(z)^2|} \le \bruch{1}{1} [/mm] = 1 [mm] \le [/mm] c $
Wäre das als Beweis ausreichend?
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Hiho,
> Der Satz von Lioville besagt ja, dass [mm]|f(z) \le c|[/mm] für alle [mm]z \in \IC[/mm] gelten muss, wenn [mm]f[/mm] konstant sein soll.
Erstmal: Sauberer aufschreiben.
Und nein, das sagt der Satz von Liouville nicht!
Sondern er sagt eben genau das umgekehrt: WENN |f(z)| [mm] \le [/mm] c, DANN ist f konstant.
Das ist genau die andere Implikation, mach dir das klar!
Insbesondere gilt bei holomorphen Funktionen die Äquivalenz.
Bei rellen Funktionen gilt das nicht, ist dir das klar?
Das
> heißt:
>
> Sei [mm]f(z) = \bruch{1}{g(z)+g(z)^2} \Rightarrow |f(z)| = \bruch{1}{|g(z)+g(z)^2|} \le \bruch{1}{1} = 1 \le c[/mm]
>
> Wäre das als Beweis ausreichend?
Wofür ausreichend?
Du hast nun gezeigt: f ist beschränkt, was bedeutet das?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 17.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
Vielen Dank! Ich hab es jetzt verstanden :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:55 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
wage ich zu bezweifeln. Warum ist g denn nun konstant?
Zeig das mal.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
Heute morgen sind mir selbst auch Zweifel gekommen. Also nochmal:
$f(z)$ ist holomorph. Da $|f(z)| = [mm] \bruch{1}{|g(z)+g(z)^2|} \le [/mm] 1 [mm] \le [/mm] c $ ist f(z) für alle z [mm] \in \IC [/mm] beschränkt. Also gilt doch nach dem Satz von Liouville:
Wenn $|f(z) [mm] \le [/mm] c| $ für alle $z [mm] \in \IC$, [/mm] dann ist $f(z)$ konstant.
Aber jetzt fehlt ja noch der Rückbezug zu g (der ursprünglichen Funktion).
Reicht es nicht aus zu sagen, dass wenn $f(z)$ konstant ist auch automatisch die Summe im Nenner [mm] $g(z)+g(z)^2$ [/mm] konstant sein muss? Und folglich muss ja auch $g(z)$ konstant sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 18.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Heute morgen sind mir selbst auch Zweifel gekommen. Also
> nochmal:
>
> [mm]f(z)[/mm] ist holomorph. Da [mm]|f(z)| = \bruch{1}{|g(z)+g(z)^2|} \le 1 \le c[/mm]
> ist f(z) für alle z [mm]\in \IC[/mm] beschränkt. Also gilt doch
> nach dem Satz von Liouville:
> Wenn [mm]|f(z) \le c|[/mm] für alle [mm]z \in \IC[/mm], dann ist [mm]f(z)[/mm]
> konstant.
Ja, aber schreibe: |f(z)| [mm] \le [/mm] c für alle [mm]z \in \IC[/mm]
>
> Aber jetzt fehlt ja noch der Rückbezug zu g (der
> ursprünglichen Funktion).
>
> Reicht es nicht aus zu sagen, dass wenn [mm]f(z)[/mm] konstant ist
> auch automatisch die Summe im Nenner [mm]g(z)+g(z)^2[/mm] konstant
> sein muss? Und folglich muss ja auch [mm]g(z)[/mm] konstant sein.
Sehr witzig, gerade das ist noch zu zeigen !
Tipp: wir haben also mit einem c [mm] \in \IC:
[/mm]
[mm] g(z)+g(z)^2=c [/mm] für alle [mm]z \in \IC[/mm].
Differentaition liefert:
g'(z)+2g(z)g'(z)=0 für alle [mm]z \in \IC[/mm].
Also
g'(z)(1+2g(z))=0 für alle [mm]z \in \IC[/mm],.
Annahme: g ist auf [mm] \IC [/mm] nicht konstant. Dann gibt es ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] g'(z_0) \ne [/mm] 0.
Jetzt mach Du weiter...
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Sea2605 |
Ok, ich mache also mal weiter:
$g'(z)(1+2g(z))=0 [mm] \gdw [/mm] g'(z) = 0$ oder $(1+2g(z))=0$
Betrachten wir den zweiten Fall: $(1+2g(z))=0 [mm] \gdw [/mm] g(z) [mm] =-\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Dann wäre die Summe [mm] $g(z)+g(z)^2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4} \le [/mm] 1$. Das darf aber nicht zutreffen, da $|g(z) + [mm] g(z)^2| \ge [/mm] 1$ sein muss (siehe Angabe). Folglich müssen alle Ableitungen $g'(z)$ an allen Stellen $z [mm] \in \IC$ [/mm] gleich Null sein und somit $g(z)$ stets konstant.
Reicht das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 18.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich mache also mal weiter:
>
> [mm]g'(z)(1+2g(z))=0 \gdw g'(z) = 0[/mm] oder [mm](1+2g(z))=0[/mm]
> Betrachten wir den zweiten Fall: [mm](1+2g(z))=0 \gdw g(z) =-\bruch{1}{2}[/mm].
>
> Dann wäre die Summe [mm]g(z)+g(z)^2 = -\bruch{1}{2} + \bruch{1}{4} = -\bruch{1}{4} \le 1[/mm].
> Das darf aber nicht zutreffen, da [mm]|g(z) + g(z)^2| \ge 1[/mm]
> sein muss (siehe Angabe). Folglich müssen alle Ableitungen
> [mm]g'(z)[/mm] an allen Stellen [mm]z \in \IC[/mm] gleich Null sein und somit
> [mm]g(z)[/mm] stets konstant.
>
> Reicht das?
Ja
FRED
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Hiho,
als Alternative zu freds Lösungsweg:
Wir haben also mit einem $c [mm] \in \IC$ [/mm] (sogar [mm] $c\not [/mm] = 0$, warum?):
$ [mm] g(z)+g(z)^2=c [/mm] $ für alle $ z [mm] \in \IC [/mm] $.
Wie viele Möglichkeiten gibt es nun für $g(z)$ einen Wert in [mm] \IC [/mm] anzunehmen?
Dann bedenke, dass holomorphe Funktionen insbesondere stetig sind.
Gruß,
Gono
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