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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Ringerweiterung [mm] \IZ \subseteq \overline{\IZ}^{\IC} [/mm] ganz aber nicht endlich ist. |
Hallo,
ich bin es mal wieder. Habe ein Problem mit obiger Aufgabe, welche an sich nicht wirklich schwer sein sollte.
Dass [mm] \IZ \subseteq \overline{\IZ}^{\IC} [/mm] eine ganze Ringerweiterung ist, ist nach Def. von [mm] \overline{\IZ}^{\IC} [/mm] (dies bezeichnet den ganzen Abschluss von [mm] \IZ [/mm] in [mm] \IC) [/mm] klar.
Um jetzt zu zeigen, dass die Ringerweiterung nicht endlich ist, will ich das Polynom f = [mm] X^{n} [/mm] - 2 [mm] \in \IZ[X] [/mm] betrachten, welches für alle n [mm] \in \IN [/mm] irreduzibel ist.
Nehme nun an, die Ringerweiterung [mm] \IZ \subseteq \overline{\IZ}^{\IC} [/mm] sei endlich, etwa mit einem minimalen EZS mit n-1 Elementen.
Sei nun z [mm] \in \overline{\IZ}^{\IC} [/mm] mit f(z) = 0 (z ist insbesondere keine rationale Zahl).
Es gilt nun [mm] \IZ[z] \cong \IZ[X]/(f) [/mm] und damit folgt, dass [mm] \IZ[z] [/mm] ein freier Modul mit einer n-Elementigen Basis ist.
[mm] \IZ[z] [/mm] ist ein [mm] \IZ [/mm] Untermodul von [mm] \overline{\IZ}^{\IC} [/mm] und hat ein größeres minimales EZS als [mm] \overline{\IZ}^{\IC}. [/mm] Bei Vektorräumen könnte man nun einen Widerspruch ableiten, aber bei Moduln muss das doch nicht widersprüchlich sein, oder?
Zumindest gibt es ja endlich erzeugte Moduln mit nicht endlich erzeugten Untermoduln.
Kann man den Beweis noch retten, oder muss ich hier vollkommen anders vorgehen?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Viele Grüße
Anfänger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Sa 16.06.2012 | | Autor: | hippias |
Ich glaube, das funktioniert: Vielleicht hilft Dir der Elementarteilersatz weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Sa 16.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Zeigen Sie, dass die Ringerweiterung [mm]\IZ \subseteq \overline{\IZ}^{\IC}[/mm]
> ganz aber nicht endlich ist.
> Hallo,
>
> ich bin es mal wieder. Habe ein Problem mit obiger Aufgabe,
> welche an sich nicht wirklich schwer sein sollte.
> Dass [mm]\IZ \subseteq \overline{\IZ}^{\IC}[/mm] eine ganze
> Ringerweiterung ist, ist nach Def. von [mm]\overline{\IZ}^{\IC}[/mm]
> (dies bezeichnet den ganzen Abschluss von [mm]\IZ[/mm] in [mm]\IC)[/mm]
> klar.
>
> Um jetzt zu zeigen, dass die Ringerweiterung nicht endlich
> ist, will ich das Polynom f = [mm]X^{n}[/mm] - 2 [mm]\in \IZ[X][/mm]
> betrachten, welches für alle n [mm]\in \IN[/mm] irreduzibel ist.
>
> Nehme nun an, die Ringerweiterung [mm]\IZ \subseteq \overline{\IZ}^{\IC}[/mm]
> sei endlich, etwa mit einem minimalen EZS mit n-1
> Elementen.
> Sei nun z [mm]\in \overline{\IZ}^{\IC}[/mm] mit f(z) = 0 (z ist
> insbesondere keine rationale Zahl).
> Es gilt nun [mm]\IZ[z] \cong \IZ[X]/(f)[/mm] und damit folgt, dass
> [mm]\IZ[z][/mm] ein freier Modul mit einer n-Elementigen Basis ist.
> [mm]\IZ[z][/mm] ist ein [mm]\IZ[/mm] Untermodul von [mm]\overline{\IZ}^{\IC}[/mm] und
> hat ein größeres minimales EZS als [mm]\overline{\IZ}^{\IC}.[/mm]
> Bei Vektorräumen könnte man nun einen Widerspruch
> ableiten, aber bei Moduln muss das doch nicht
> widersprüchlich sein, oder?
>
> Zumindest gibt es ja endlich erzeugte Moduln mit nicht
> endlich erzeugten Untermoduln.
das stimmt. Bei bestimmten Moduln jedoch ist es wieder ok, etwa bei Untermoduln eines freien Moduls ueber einem Hauptidealbereich (hier: [mm] $\IZ$).
[/mm]
Allerdings kannst du die Problematik ganz einfach umgehen, indem du direkt mit Koerpern arbeitest:
Sei $K$ der von [mm] $\IZ[z]$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] erzeugte Unterkoerper, und $L$ der von [mm] $\overline{\IZ}^{\IC}$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] erzeugte Unterkoerper. Es gilt $K = [mm] \IQ(z)$, [/mm] womit $[K : [mm] \IQ] [/mm] = n$ ist.
Waere nun [mm] $\overline{\IZ}^{\IC}$ [/mm] eine endliche Erweiterung von [mm] $\IZ$, [/mm] so gaebe es Elemente [mm] $a_1, \dots, a_m \in \overline{\IZ}^{\IC}$ [/mm] mit [mm] $\overline{\IZ}^{\IC} [/mm] = [mm] \bigoplus_{i=1}^m a_i \IZ$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $\overline{\IZ}^{\IC} [/mm] = [mm] \IZ[a_1, \dots, a_m]$, [/mm] womit $L = [mm] \IQ(a_1, \dots, a_m)$ [/mm] ist.
Was kannst du jetzt ueber $[L : [mm] \IQ]$ [/mm] und $[L : K]$ aussagen?
LG Felix
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Hallo hippias und felix,
der Elementarteilersatz hat mir leider nicht geholfen, wüsste nicht, wie ich ihn anwenden sollte.
Ich habe jetzt mal felix Lösungsvorschlag weiter verfolgt.
Die Schritte sind mir soweit klar.
Ich weiß jetzt, dass der Grad [mm] [L:\IQ] [/mm] endlich ist, da L aus [mm] \IQ [/mm] durch Adjunktion endlich vieler über [mm] \IQ [/mm] algebraischer Elemente entsteht.
Nach der Gradformel ist also auch [L:K] endlich.
Insbesodere gilt dann n / [mm] [L:\IQ] [/mm] und wegen n bel. müsste damit schon folgen, dass [mm] [L:\IQ] [/mm] = [mm] \infty [/mm] gilt, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist.
Noch etwas holprig, aber würde das so in etwa in Ordnung gehen?
Viele Grüße
Anfänger
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Schritte sind mir soweit klar.
> Ich weiß jetzt, dass der Grad [mm][L:\IQ][/mm] endlich ist, da L
> aus [mm]\IQ[/mm] durch Adjunktion endlich vieler über [mm]\IQ[/mm]
> algebraischer Elemente entsteht.
> Nach der Gradformel ist also auch [L:K] endlich.
> Insbesodere gilt dann n / [mm][L:\IQ][/mm]
Genau. Wobei $n [mm] \le [/mm] [L : [mm] \IQ]$ [/mm] voellig ausreicht.
> und wegen n bel. müsste
> damit schon folgen, dass [mm][L:\IQ][/mm] = [mm]\infty[/mm] gilt, was ein
> Widerspruch zu unserer Annahme ist.
Exakt.
> Noch etwas holprig, aber würde das so in etwa in Ordnung
> gehen?
Ja. Formulier es doch als Widerspruchsbeweis, in etwa so:
Angenommen, [mm] $\overline{\IZ}^{\IC}$ [/mm] sei eine endliche Ringerweiterung von [mm] $\IZ$. [/mm] ... Damit ist $[L : [mm] \IQ] [/mm] < [mm] \infty$. [/mm] Sei $n := [L : [mm] \IQ] [/mm] + 1$; dann ... Somit gilt $n = [K : [mm] \IQ] \le [/mm] [L : [mm] \IQ] [/mm] < n$, ein Widerspruch.
LG Felix
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