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Forum "Algebraische Geometrie" - Ganzheit einer Ringerweiterung
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Ganzheit einer Ringerweiterung: Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Mo 18.07.2016
Autor: Nichtmathematiker

Aufgabe
Zeige, dass die Ringerweiterung [mm] \IC[x] \subset \IC[x,y]/ [/mm] ganz ist.

Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen bzw. will ich diese Aufgabe lösen, um herauszufinden, wie man im Allgemeinen denn vorgeht um, herauszufinden, ob eine gegebene Ringerweiterung ganz ist.
Theoretisch kann ich bereits mit Going-Up Theoremen etc. schon zeigen, dass eine Ringerweiterung nicht ganz ist. Aber der umgekehrte Weg bereitet mir noch Probleme.

Theoretisch müsste ich ja immer zeigen, dass jedes Element [mm] \overline{a} [/mm] aus [mm] \IC[x,y]/ [/mm] eine Ganzheitsgleichung in [mm] \IC[x] [/mm] erfüllt, es also ein normiertes Polynom f aus  [mm] \IC[/mm] [t] gibt (die Wahl Variable spielt hier doch keine Rolle oder? Hauptsache es ist nicht x?), sodass [mm] f(\overline{a})=0 [/mm] ist.

Dann würde ich so vorgehen, dass ich einen Erzeuger [mm] \overline{y} [/mm] des Ringes [mm] \IC[x,y]/ [/mm] betrachte und schaue ob er eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Dabei komme ich ins straucheln:
Ich stecke ja eine Äquivalenzklasse  [mm] \overline{y} [/mm] in ein Polynom aus einem "normalen" Ring ohne Äquivalenzklassen, wie sieht denn nun eine Ganzheitsgleichung generell aus?

Ich bin wirklich über jede Hilfe dankbar!!
Grüsse

        
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Ganzheit einer Ringerweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Mo 18.07.2016
Autor: UniversellesObjekt

Eine Ringerweiterung ist bereits dann ganz, wenn sie von ganzen Elementen erzeugt wird. Es genügt also, eine Ganzheitsgleichung für [mm] $y\in\IC[x,y]/\langle y-x^2\rangle$ [/mm] über dem Grundring [mm] $\IC[x]$ [/mm] anzugeben. Siehst du eine?

Edit: Anscheinend habe ich ungenau gelesen und du warst schon so weit, dass du nur eine Gleichung für $y$ benötigst. Das Polynom [mm] $f=t-x^2$ [/mm] tut es. Wenn du $y$ für $t$ einsetzt, steht da [mm] $y-x^2$ [/mm] und das verschwindet in [mm] $\IC[x,y]/\langle y-x^2\rangle$. [/mm]

Noch offensichtlicher wird das ganze, wenn du [mm] $\IC[x]$ [/mm] mit $R$ und [mm] $x^2$ [/mm] mit $a$ abkürzt. Die Frage ist dann, ob $R[y]/(y-a)$ ganz über $R$ ist.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Ganzheit einer Ringerweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Mo 18.07.2016
Autor: Nichtmathematiker

Genau das hat mir Probleme bereitet. Und zwar muss ich doch ein [mm] \overline{y} [/mm] aus  [mm] \IC[x,y]/ [/mm] nehmen und es in [mm] f=t-x^2 [/mm] einsetzen.
Nun sieht mein [mm] \overline{y} [/mm]  ja wie folgt aus:
[mm] \overline{y} [/mm] = y + [mm] . [/mm]
Wenn ich das in f einsetze, wie handhabe ich dann das [mm] ? [/mm] Denn ich habe dann stehen: (y + [mm] ) -x^2 [/mm] = [mm] y-x^2 + [/mm] und das verschwindet dann in [mm] \IC[x,y]/. [/mm]
Aber darf ich ein Element aus dem Quotientenring mit einem Element aus dem Grundring so verrechnen?

Gruss

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Ganzheit einer Ringerweiterung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Mo 18.07.2016
Autor: Nichtmathematiker

[Voriger Beitrag war Frage statt Mitteilung]

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Ganzheit einer Ringerweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Mo 18.07.2016
Autor: UniversellesObjekt

Ich kann dir nur empfehlen, dich schnellstens von diesen Restklassen $a+I$ zu verabschieden. Schreibe [mm] $\overline{a}$. [/mm] Sobald man etwas mehr Übung hat, kann man auch den Strich oben drüber weglassen.

Der Ring $R/I$ besteht aus Elementen [mm] $\overline{a}$ [/mm] mit [mm] $a\in [/mm] R$ und es gilt [mm] $\overline{a}=\overline{b}$, [/mm] falls [mm] $a-b\in [/mm] I$ gilt. Multipliziert und addiert wird so, dass es verträglich mit dem Strich ist.

Jetzt betrachten wir die Abbildung [mm] $\IC[x]\hookrightarrow\IC[x,y]\longrightarrow\IC[x,y]\langle y-x^2\rangle$. [/mm] Dies ist ein Homomorphismus von kommutativen Ringen, a.k.a. eine Ringerweiterung. Wollten wir penibel sein, müssten wir dem Homomorphismus einen Namen geben, etwa $i$. Ist [mm] $i\colon R\longrightarrow [/mm] S$ eine Ringerweiterung, so setzen wir Elemente aus $S$ in ein Polynom aus $R[x]$ ein, indem wir die Koeffizienten von [mm] $f\in [/mm] R[x]$ via $i$ nach $S$ rüberschicken und dann das Element aus $S$ auf die offensichtliche Weise ein. Üblicherweise spart man sich das aber notationell.

Wenn wir jetzt aber [mm] $f=t-x^2\in\IC[x][/mm] [t]$ haben, schicken wir das rüber nach [mm] $\IC[x,y]/\langle t-x^2\rangle$ [/mm] und erhalten [mm] $t-\overline{x}^2$, [/mm] wobei wir [mm] $\overline{x}$ [/mm] jetzt als Element von [mm] $\IC[x,y]/\langle y-x^2\rangle$ [/mm] haben. Jetzt ersetzen wir $t$ durch [mm] $\overline{y}$ [/mm] und bekommen [mm] $\overline{y}-\overline{x}^2$=\overline{y-x^2}$. [/mm] Da [mm] $y-x^2$ [/mm] in dem Ideal liegt, das wir rausteilen, haben wir Null. Da die Ringerweiterung [mm] $\IC[x]\longrightarrow\IC[x,y]\longrightarrow\IC[x,y]/\langle y-x^2\rangle$ [/mm] durch das Element [mm] $\overline{y}$ [/mm] erzeugt wird, sind wir fertig.

Das ist, was hier ganz genau genommen passiert. Aber natürlich hat niemand Lust, jeder Ringerweiterung einen Namen zu geben, und immer zwischen $a$ und [mm] $\oveline{a}$ [/mm] zu unterscheiden.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Ganzheit einer Ringerweiterung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Mo 18.07.2016
Autor: Nichtmathematiker

U made my day. Danke dir UniversellesObjekt.

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Ganzheit einer Ringerweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Mo 18.07.2016
Autor: Nichtmathematiker

Ich habe noch eine weitere Frage dazu:

Wenn ich nun die Ringerweiterung [mm] \IC[s] \subset \IC[x,y]/ [/mm] betrachten will.
Kann ich dann analog zu Deinem Vorgehen auch die Sequenz

[mm] \IC[s] \to \IC[x] \to \IC[x,y] \to \IC[x,y]/ [/mm]

betrachten?
Der erste Homomorphismus sollte dann ja eigentlich ein Isomorphismus sein und somit keine Probleme machen oder?

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Ganzheit einer Ringerweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mo 18.07.2016
Autor: UniversellesObjekt

Was ist $s$? Was ich jedenfalls sagen kann, ist, dass [mm] $\IC[x,y]/(xy-1)$ [/mm] nicht ganz über [mm] $\IC[x]$ [/mm] ist, wenn man die gewöhnliche Einbettung mit [mm] $x\longmapsto [/mm] x$ betrachtet. [mm] $\IC[x,y]/(xy-1)$ [/mm] ist nämlich isomorph zum Ring der Laurant-Polynome und [mm] $x^{-1}$ [/mm] ist darin nicht ganz über [mm] $\IC[x]$. [/mm] Das sieht man dort etwas leichter, als wenn man in diesem Quotienten rechnet, denke ich.

Andererseits sieht man mit Noether-Normalisierung und Krulls Hauptidealsatz, dass es eine Einbettung [mm] $\IC[x]\longrightarrow \IC[x,y]/(xy-1)$ [/mm] geben muss, sodass die Erweiterung doch ganz ist. Geometrisch sieht man sie auch sofort: Ein Homomorphismus [mm] $\IC[x]\longrightarrow\IC[x,y]/(xy-1)$ [/mm] entspricht einem Morphismus von der Hyperbel auf die affine Gerade. Bei der gewöhnlichen Einbettung handelt es sich einfach um die Projektion auf die $x$-Achse, und dabei wird der Ursprung nicht getroffen.  Drehen wir die $x$-Achse aber um 45 Grad, so geht alles gut. Die geomtrische Intution legt also Nahe, dass die Erweiterung [mm] $\IC[x]\longrightarrow\IC[x,y]/(xy-1)$, $x\longmapsto [/mm] x+y$ ganz ist.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Ganzheit einer Ringerweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mo 18.07.2016
Autor: Nichtmathematiker

Also es soll schon s sein und s sollte glaube ich lediglich eine weitere Variable darstellen. Deswegen auch meine Idee mit dem Isomorphismus von [mm] \IC[s] \to \IC[x]. [/mm]
Bzw.  dass s die Koordinate des zugrunde liegenden affinen Raumes ist, wenn man  [mm] \IC[s] [/mm] als affinen Koordinatenring einer Varietät X   betrachtet , also   X   [mm] \subset \mathcal{A}^1 [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Ganzheit einer Ringerweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mo 18.07.2016
Autor: UniversellesObjekt

Hi,

worauf ich aber ja gerade hinaus wollte, ist, dass dazu gesagt werden muss, worauf $s$ geschickt wird. Wenn $s$ auf $x$ geschickt wird bei [mm] $\IC[s]\longrightarrow \IC[x,y]/(xy-1)$, [/mm] dann kannst du den Isomorphismus [mm] $\IC[x]\cong\IC[s]$ [/mm] vorschalten und dann greift der erste Teil meiner Antwort. In der Aufgabenstellung muss aber irgendwo gesagt werden, was mit $s$ passieren soll. Ansonsten kann man viel herumraten, welcher Homomorphismus gemeint ist.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                
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Ganzheit einer Ringerweiterung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Di 19.07.2016
Autor: Nichtmathematiker

Hallo,
es sollte wirklich der Isomorphismus [mm] \IC [/mm] [s] [mm] \to \IC [/mm] [x] vorgeschalten werden.
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.

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