Ganzr. Funktion + Substitution < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 12.12.2013 | | Autor: | Asura |
Guten Tag,
und zwar habe ich meine Probleme bei der Substitution von der folgender Funktion. Speziell geht es um das kubische Glied in dieser Funktion:
f(x) = [mm] x^4-8x^3+22x^2-24x+9 [/mm] = 0
Mir ist klar das ich x² = z machen muss, nur wie mach ich das mit dem -8x³ ?
Noch eine Frage habe ich, gibt es da eine Besonderheit, wenn ich eine andere Funktion habe, die zum Beispiel kein einzelnes quadratisches Glied aufweist.
Also welche Ausnahmen gibt es und wie verhält sich das dann, sprich wie gehe ich dann vor.
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Hallo,
> Guten Tag,
> und zwar habe ich meine Probleme bei der Substitution von
> der folgender Funktion. Speziell geht es um das kubische
> Glied in dieser Funktion:
>
> f(x) = [mm]x^4-8x^3+22x^2-24x+9[/mm] = 0
>
> Mir ist klar das ich x² = z machen muss,
Nein, das wird hier kaum helfen, denn es würde aus dem [mm]-24x[/mm] ein [mm]-24\sqrt z[/mm]
> nur wie mach ich
> das mit dem -8x³ ?
Das wäre [mm]-8z\sqrt z[/mm]
Hier ist eine Substitution nicht sonderlich hilfreich.
Hier musst du wohl oder über eine Nullstelle [mm]x_N[/mm] raten und dann durch Polynomdivision [mm]f(x):(x-x_N)=g(x)[/mm] abspalten.
Das liefert dir dann ein Polynom [mm]g(x)[/mm] dritten Grades, also mit [mm]x^3[/mm]
Dort das gleiche Spielchen nochmal, dann kommst du auf ein quadratisches Polynom, das du mit den stadtbekannten Mitteln verarzten kannst.
Das Raten kannst du dir insofern vereinfachen, als dass gilt:
Wenn es eine ganzzahlige NST gibt, so ist sie (ganzzahl.) Teiler des Absolutgliedes ("ohne x")
Bei [mm]f(x)[/mm] ist das die 9. Die hat die Teile [mm]\pm 1,\pm 3, \pm 9[/mm]
Setze ein und rechne ...
>
> Noch eine Frage habe ich, gibt es da eine Besonderheit,
> wenn ich eine andere Funktion habe, die zum Beispiel kein
> einzelnes quadratisches Glied aufweist.
> Also welche Ausnahmen gibt es und wie verhält sich das
> dann, sprich wie gehe ich dann vor.
Gib mal konkrete Beispiele. So ist nicht so recht klar, was du meinst.
Wenn du hast [mm]h(x)=x^4+3x^2+1[/mm], kannst du [mm]x^2=z[/mm] substituieren, beachte [mm]x^4+3x^2+1=\red{(x^2)}^2+3\red{x^2}+1[/mm]
Wenn du [mm]i(x)=x^6-2x^3+1[/mm] hast, kannst du [mm]x^3=z[/mm] setzen, denn [mm]x^6-2x^3+1=\red{(x^3)}^2-2\red{x^3}+1[/mm]
Bei deiner Aufgabe hast du zu viele "gemischte" Terme drin ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 12.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Guten Tag,
> und zwar habe ich meine Probleme bei der Substitution von
> der folgender Funktion. Speziell geht es um das kubische
> Glied in dieser Funktion:
>
> f(x) = [mm]x^4-8x^3+22x^2-24x+9[/mm] = 0
>
Du kannst hier f(x) geschickt umschreiben:
$ [mm] f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+9=(x^{2}-4x+3)^{2} [/mm] $
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 12.12.2013 | | Autor: | Asura |
Dankeschön, doch habe ich zwei Fragen:
@schachuzipus:
Man kann also sagen, wenn der Exponent eine gerade Zahl ist, kann ich die Substitution anwenden und dann bei wenn die quadratische Funktion erreicht ist, die pq-Formel. Bei ungeraden Exponenten sollte ich dann auf die Polynomdivision bzw. Horner Schema zurückgreifen?
Ich könnte mir natürlich auch das Raten vereinfachen indem ich einfach die Nullstellen per Taschenrechner ermitteln lasse. Es gilt ja nur hierbei, das man das verfahren kann, wie man eine Nullstelle berechnet und nicht wie gut man Raten kann. Habe ich das so richtig verstanden?
@M.Rex:
> Du kannst hier f(x) geschickt umschreiben:
> [mm]f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+9=(x^{2}-4x+3)^{2}[/mm]
Könntest du vllt mir erklären wie du auf diese Umformung gekommen bist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Do 12.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> @M.Rex:
>
>
> > Du kannst hier f(x) geschickt umschreiben:
> > [mm]f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+9=(x^{2}-4x+3)^{2}[/mm]
>
> Könntest du vllt mir erklären wie du auf diese Umformung
> gekommen bist?
Durch "geschicktes" puzzlen.
[mm] f(x)=x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9
[/mm]
[mm] =x^{4}-8x^{3}+16x^{2}+6x^{2}-24x+9
[/mm]
[mm] =x^{2}\cdot(x^{2}-8x+16)+3\cdot(2x^{2}-8x+9)
[/mm]
[mm] =x^{2}\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(x^{2}-8x+16-16+9+x^{2})
[/mm]
[mm] =x^{2}\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(x^{2}-8x+16)-3\cdot(25+x^{2})
[/mm]
[mm] =x^{2}\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(x-4)^{2}-3\cdot(25+x^{2})
[/mm]
[mm] =(x^{2}+3)\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(25+x^{2})
[/mm]
Und irgendwie habe ich das dann noch umformen können, irgendwas habe ich noch gesehen, was ich jetzt nicht mehr sehe.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Fr 13.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marius,
>
> > @M.Rex:
> >
> >
> > > Du kannst hier f(x) geschickt umschreiben:
> > > [mm]f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+9=(x^{2}-4x+3)^{2}[/mm]
> >
> > Könntest du vllt mir erklären wie du auf diese
> Umformung
> > gekommen bist?
>
> Durch "geschicktes" puzzlen.
>
> [mm]f(x)=x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9[/mm]
> [mm]=x^{4}-8x^{3}+16x^{2}+6x^{2}-24x+9[/mm]
> [mm]=x^{2}\cdot(x^{2}-8x+16)+3\cdot(2x^{2}-8x+[red] 9 [/red])[/mm]
Deshalb bist du nicht mehr darauf gekommen 
> [mm]=x^{2}\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(x^{2}-8x+16-16+9+x^{2})[/mm]
> [mm]=x^{2}\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(x^{2}-8x+16)-3\cdot(25+x^{2})[/mm]
> [mm]=x^{2}\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(x-4)^{2}-3\cdot(25+x^{2})[/mm]
> [mm]=(x^{2}+3)\cdot(x-4)^{2}+3\cdot(25+x^{2})[/mm]
>
> Und irgendwie habe ich das dann noch umformen können,
> irgendwas habe ich noch gesehen, was ich jetzt nicht mehr
> sehe.
>
> Marius
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 13.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
> Dankeschön, doch habe ich zwei Fragen:
>
>
> @M.Rex:
>
>
> > Du kannst hier f(x) geschickt umschreiben:
> > [mm]f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+9=(x^{2}-4x+3)^{2}[/mm]
>
> Könntest du vllt mir erklären wie du auf diese Umformung
> gekommen bist?
Ich habe irgendwie in Gedanken [mm] (x^{4}-8x^{3}+16x^{2})=x^{2}\cdot(x^{2}-8x+16)=x^{2}\cdot(x-4)^{2} [/mm] gesehen.
Und ich habe erkannt, dass du bei 9-24x nur noch [mm] 4x^{2} [/mm] ergänzen musst, dann hast du
[mm] (9-24x+4x^{2})=(3-2x)^{2}
[/mm]
Und irgendwie war mir aufgefallen, dass die 24=3*8 und 9=3², daher hatte ich irgendeinen Zusammenhang vermutet.
Damit dann
[mm] f(x)=x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9
[/mm]
[mm] =x^{4}-8x^{3}+16x^{2}+4x^{2}-24x+9+2x^{2}
[/mm]
[mm] =x^{2}(x-4)^{2}+(3-2x)^{2}+2x^{2}
[/mm]
[mm] =x^{2}[(x-4)^{2}+2]+(3-2x)^{2}
[/mm]
Irgendwas hatte ich dann noch erahnt.
Ich finde es aber auch jetzt noch nicht.
Am Ende habe ich es mir mit Wolframalapha dann bestätigen lassen.
Und noch ne Idee:
[mm] f(x)=x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9
[/mm]
[mm] =x^{4}-8x^{3}+3x^{2}+16x^{2}+3x^{2}-24x+9
[/mm]
[mm] =x^{2}\cdot(x^{2}-8x+3)+16x^{2}+3\cdot(x^{2}-8x+3)
[/mm]
[mm] =(x^{2}+3)\cdot(x^{2}-8x+3)+16x^{2}
[/mm]
Ob das zu irgendeinem brauchbaren Ergebnis führt, weiss ich aber nicht.
Marius
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Hallo Asura,
eine Frage wurde glaub ich noch nicht beantwortet:
> Dankeschön, doch habe ich zwei Fragen:
>
> @schachuzipus:
>
> Man kann also sagen, wenn der Exponent eine gerade Zahl
> ist, kann ich die Substitution anwenden und dann bei wenn
> die quadratische Funktion erreicht ist, die pq-Formel.
Zunächst einmal sprichst du hier wohl vom höchsten Exponenten. Der muss gerade sein, damit man per Substitution zu einer quadratischen Gleichung kommt (man kann beim Lösen algebraischer Gleichungen per Substitution auch noch andere Strategien verfolgen, jedoch nicht im Rahmen der Schulmathematik). Um genau zu sein, muss die Gleichung die folgende Form haben:
[mm] a*x^{2n}+b*x^n+c=0
[/mm]
führt mit der Substitution [mm] z=x^n [/mm] auf die quadratische Gleichung
[mm] a*z^2+b*z+c=0
[/mm]
die man mit der pq-Formel löst. Anschließend muss man noch per
[mm] x=\wurzel[n]{z} [/mm] für ungerade n bzw.
[mm] x=\pm\wurzel[n]{x} [/mm] für gerade n
zurücksubstituieren.
Gruß, Diophant
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