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| Aufgabe | Ein Quaderförmiger Swimmingpool mit 8m Länge, 5m Breite und 3m Höhe wird mit Wasser gefüllt. Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1m.
Der Zu-bzw. Abfluss des Wassers wird modelhaft beschrieben durch die Zulaufratenfunktion mit [mm] f(t)=t^3-13t^2+40t; [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 9
a) Geben Sie die Zeitpunkte an, zu denen Wasser weder zu- noch abläuft und berechnen Sie die Zeitpunkte des maximalen Zu-bzw. Abflusses.
b)Wie viel Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Pool?
Bestimmen Sie die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfüllvorgangs!
Berechnen Sie die maximale Wassermenge im Pool.
Erklären Sie, weshalb die Definitionsmenge von f beschränkt ist!
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Die Aufgabe haben wir als Übung für die Abiprüfung bekommen und mir ist richtig bange, weil ich noch nicht einmal einen Ansatz dazu habe.
Bei a) muss ich einen Zeitpunkt finden, in dem weder Wasser zu- noch abläuft. Ich dachte mir, wenn der Swimmingpool schon ganz voll wäre, aber dann könnte ja noch Wasser ablaufen...
Vielen Dank für eure Bemühungen!!!
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Hallo Shabi_nami!
Bei Aufgabe a.) sind im Prinzip die Nullstellen sowie die Extremstellen der genannten Funktion $f(t)_$ gesucht.
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:14 Di 20.01.2009 | | Autor: | Powl |
Das ist nicht ganz richtig Roadrunner.
Zunächst einmal hast du vollkommen recht, dass bei a) die Nullstellen der Funktion f(t) gesucht sind.
Wenn jedoch nach dem maximalen Füllstand gefragt wird müssen wir beachten, dass f(t) den "Wasserzulauf", also die Änderungsrate des Füllstandes, angibt.
Die Wassermenge berechnen wir also mit [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] + c
wobei c die Menge an Wasser ist, die bereits von Beginn an im Pool war.
Ein letzter Hinweis:
Du weißt, dass es sich um den maximalen Füllstand handelt, wenn zuvor Wasser hinzugeflossen ist und anschließend abfließt. (Mathematisch gesehen ist dies ein Vorzeichenwechsel von + zu - der ersten Ableitung.)
Ich hoffe ich konnte dich auf ein paar Ideen bringen.
Viel Erfolg :)
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:16 Di 20.01.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Powl!
Aber es ist doch nach maximaler Zulaufrate gefragt.
Die maximale Füllhöhe bzw. maximale Wassermenge kommt erst später in b.) ...
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:21 Di 20.01.2009 | | Autor: | Powl |
Da ist was dran - mein Fehler - war ich wohl ein wenig zu schnell gewesen...
wenigstens hat der gute Shabi jetzt auch nen Ansatz für b)
Grüße
Paul
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Also war der vorgegebene Ansatz nun richtig?
Ich habe die Nullstellen errechnet, die sind einmal bei 5 und bei 8.
Und bei den Extremstellen habe ich [mm] \bruch{20}{3} [/mm] und 2
Das Maximum liegt bei 2, heißt es dann, dass da die maximale zuflussrate ist? Und bei dem anderem extremwert analog die maximale abflussrate?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 20.01.2009 | | Autor: | Powl |
Hi Shabi,
die Nullstellen hast du richtig errechnet.
Die offensichtlichste hast du jedoch übersehen: auch für t=0 ist f(t)=0
Die Extremstellen hast du auch richtig errechnet. Jetzt musst du nur noch prüfen, ob es eventuelle Randextrema gibt. f(0) kannst du ja ausschließen, weil f(0)=0 ist aber vielleicht ergibt sich ja auf der anderen Seite noch etwas *hüstel*
Viel Erfolg bei Teil b)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Di 20.01.2009 | | Autor: | Powl |
Und die eigentliche Antwort:
Der Ansatz war richtig und ja, die errechneten Extremstellen stellen die maximale Zu-/Abflussrate dar.
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| Aufgabe | Ein quaderförmiger Swimmingpool mit 8m Länge, 5m Breite und 3m Höhe wird mit Wasser gefüllt. Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1m.
Wie viel Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Pool?
[mm] f(t)=t^3-13*t^2+40*t [/mm] 0 [mm] \le t\le [/mm] 9 |
Ich habe über das über das Intergral von 0 bis 3 errechnet und bekomme 83,25 heraus [mm] (m^3) [/mm] aber ich muss ja noch die 0,1m in [mm] m^3 [/mm] umrrechnen und sie dazu addieren.
Wir haben diese Aufgabe schon in der Schule besprochen, 0,1 m entsprechen [mm] 4m^3, [/mm] aber ich verstehe nicht wieso. Wie berrechnet man das?
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> Ein quaderförmiger Swimmingpool mit 8m Länge, 5m Breite und
> 3m Höhe wird mit Wasser gefüllt. Zu Beginn beträgt die
> Wasserhöhe 0,1m.
> Wie viel Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Pool?
>
> [mm]f(t)=t^3-13*t^2+40*t[/mm] 0 [mm]\le t\le[/mm] 9
> Ich habe über das über das Intergral von 0 bis 3 errechnet
> und bekomme 83,25 heraus [mm](m^3)[/mm] aber ich muss ja noch die
> 0,1m in [mm]m^3[/mm] umrrechnen und sie dazu addieren.
> Wir haben diese Aufgabe schon in der Schule besprochen,
> 0,1 m entsprechen [mm]4m^3,[/mm] aber ich verstehe nicht wieso. Wie
> berrechnet man das?
Diese letzte Frage ist leicht zu beantworten: die rechteckige
Grundfläche des Schwimmbeckens hat den Flächeninhalt
$\ [mm] 8m*5m=40m^2$. [/mm] Eine Erhöhung des Wasserspiegels
bedeutet also den Zufluss von [mm] 40m^2*0.1m [/mm] Wasservolumen.
Damit man die Aufgabe wirklich verstehen kann,
solltest du noch genau angeben, was mit der Funktion
f(t) gemeint ist (inkl. Maßeinheiten für t und für f(t)).
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 22.01.2009 | | Autor: | moody |
Hallo,
> 0,1 m entsprechen [mm]4m^3,[/mm] aber ich verstehe nicht wieso. Wie
> berrechnet man das?
Vom Grund bis zu der Höhe 0.1m befindet sich ein Volumen von 0.1m * 5m * 8m = [mm] 4m^3
[/mm]
lg moody
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Ich frage noch einmal nach:
Was genau ist mit f(t) gemeint ?
Ich weiß jetzt zwar, dass es eine Funktion ist, welche
die Zulaufsrate des Wassers beschreibt.
Aber was wird genau gemessen (der Pegelstand im
Pool - in cm oder Meter ? - oder die zufliessende Menge
Wassers - in Liter oder in Kubikmeter pro Sekunde, pro
Minute oder pro Stunde ? )
All dies gehört zu einer sauberen Aufgabenstellung.
Insbesondere von den Autoren von Abituraufgaben
sollte man dies eigentlich erwarten können.
LG Al-Chw.
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