Ganzrationale Funktion 2. Grad < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
| Aufgabe | Ermittel Sie die 1) Scheitelpunktform
2) Scheitelpunktkoordinaten
3) Nullstellen
a) [mm] 2x^{2}-16x_{}=-24
[/mm]
b) [mm] (x_{}+2)^{2} [/mm] = [mm] (x_{}+2)^{1}+x^{2}
[/mm]
c) [mm] x^{2}+x^{}-4=0
[/mm]
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Hallo, erstmal!!!
Ja das ist ein Teil von einer Aufgabe die ich über die Ferien von meiner Mathelehrerin bekommen hab.
Hauptsächlich geht es mir um die 1te Aufgabenstellung!
Ich hab bisher noch nie etwas von dieser Scheitelpunktform gesehen oder gehört (vielleicht hab ich es auch nur wieder vergessen, über die Jahre...)
Ich hab in meinem Mahtebuch etwas über diese Scheitelpunktform gefunden nur verstehe ich nicht so recht wie Sie diese Formel herleiten?
Währ nett wen mir mal jemand das ganz genau erklären könnte und mir diese 3 Beispielaufgaben durchrechnet.
Danke im Voraus.
Gruß Michael
Achso hab noch was vergessen:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
Wenn ich mich recht entsinne sieht die Scheitelpunktform so aus:
f(x)=a(x-d)²+e
d ist die x-Koordinate der Extremstelle
e ist die y-Koordinate des Extremstelle
Die Herleitung ist im Prinzip einfach.
Man will eine Form haben, bei der man den Scheitelpunkt ablesen kann.
Jetzt überlegt man sich, wo die Extrempunkte einer allgemeinen quadratischen Funktion sind und schon hat man die Scheitelpunktform.
bei 1 kannst du so vorgehen:
a) a ist 2
2x²-16x+24=2(x-d)²+e
x²-8x+12=(x-d)²+e/2
x²-8x+12=x²-2dx+d²+e/2
-8x+12=-2dx+d²+e/2
-8=-2d
12=d²+e/2
d=4
e=-8
Ich denke, dass du jetzt mit den anderen Aufgaben auch klar kommst.
Gruß
Reinhold
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
| Aufgabe | bei 1 kannst du so vorgehen:
a) a ist 2
2x²-16x+24=2(x-d)²+e
x²-8x+12=(x-d)²+e/2
x²-8x+12=x²-2dx+d²+e/2
-8x+12=-2dx+d²+e/2
-8=-2d
12=d²+e/2
d=4
e=-8 |
Hallo Reinhold
Wie löst du das? Fast genauso machen die das im Buch nur kann ich das nicht richtig nachvollziehen!!!
Ist das errechnete Ergebnis auch der Scheitelpunkt der Parabel(Graphen)? Mein Ergebnis mit der p-q-Formel für den Scheitelpunkt ist S(4;-4). Ist das korrekt???
Für die Nullstellen hab ich X1=8 und X2=0. Ist das auch korrekt?
Danke Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
Hallo Bastiane,
Erstmal möcht ich dein Fragen klären...
> Und wie hast du das mit der  PQFormel berechnet??
2x² - 16x = -24 | +24
2x² - 16x + 24 = 0 | /2
x² - 8x + 12 = 0 Normalform
S [mm] (-\bruch{p}{2}; -\bruch{p²}{4} [/mm] + q)
S [mm] (-\bruch{-8}{2}; -\bruch{(-8)²}{4} [/mm] + 12)
S (4 ; [mm] -\bruch{64}{4} [/mm] + 12)
S (4 ; -16 + 12)
S (4; -4) Scheitelpunkt
> > Für die Nullstellen hab ich X1=8 und X2=0. Ist das auch
> > korrekt?
^^^^^^^Das Ergebnis meiner Nullstellen hab ich wirklich falsch berechnet, wie ich heute morgen mitbekomen hab.
> Nein, das stimmt nicht. Wie hast du das denn gemacht? Dafür
> brauchst du auch glaube ich nicht die Scheitelpunktform...
[mm] x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-\bruch{-8}{2}\pm\wurzel{\bruch{(-8)²}{4}-12}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=4\pm\wurzel{4}
[/mm]
[mm] x_{1}=6
[/mm]
[mm] x_{2}=2
[/mm]
Ich hoffe das dieses Ergebnis von den Nullstellen jetzt stimmt. Ich hab gestern Abend die Wurzel vergessen das war dann der Grund.
Also vielleicht findet jemand den Fehler bei dem Scheitelpunkt (vielleicht muss man das auch wirklich mit der Scheitelpunktform machen)!?
Gruß Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
Was ich selbst festgestellt hab:
Bei der Umstellung auf die Scheitelpunktform ist mein Hauptproblem diese quadratische Ergänzung...!!!
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Salve Mitschy!
Du stellst Deine Funktionsgleichung in die Normalform um und teilst dabei durch 2.
Das bewirkt beim Graphen einer Funktion eine Stauchung in der y-Richtung.
Die Formel für die Scheitelpunktform, die Du anwendest, hat wohl auch nur Gültigkeit für eine Funktion in Normalform.
Nun bleiben bei dieser Stauchung die Nullstellen und Extremstellen (also die x-Stelle des Scheitelpunktes) erhalten (invariant) aber ebend nur die Stellen, die y-Werte transformieren sich mit.
So ganz logisch ist aber die Aufgabenstellung auch nicht. Scheitelpunkte, Nullstellen etc. kann man nur von Funktionen bestimmen; man bräuchte also irgendwie eine Funktionsgleichung; so etwas wie y=f(x) -- oder auch implizit f(x,y)=0, die man dann erst nach y auflösen muss --. Eine Funktion 2. Grades hat dann die allgemeine Form
[mm] ax^2+bx+c=y
[/mm]
Für die kann ich dann Nullstellen und Scheitelpunkte bestimmen.
Was Du gegeben hast, ist aber eine quadratische Gleichung, die kann man lösen.
Ihre Lösungen stimmen mit den Nullstellen der Funktion überein.
Du hast diese Gleichung dann vollkommen korrekt äquivalent umgeformt (mit Ausnahme des vergessenen '-' vor der 24 in der ersten Zeile) und in die Normalform überführt.
Ich glaube DIESE Inkorrektheit in der Aufgabenstellung führt auch zur Verwirrung und letztlich zu Deinem Fehler.
Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
> Was Du gegeben hast, ist aber eine quadratische Gleichung,
> die kann man lösen.
> Ihre Lösungen stimmen mit den Nullstellen der Funktion
> überein.
> Du hast diese Gleichung dann vollkommen korrekt äquivalent
> umgeformt (mit Ausnahme des vergessenen '-' vor der 24 in
> der ersten Zeile) und in die Normalform überführt.
^^^^^Das war nur ein Tippfehler (sorry)
Ich hab es korrigiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
> So ganz logisch ist aber die Aufgabenstellung auch nicht.
> Scheitelpunkte, Nullstellen etc. kann man nur von
> Funktionen bestimmen; man bräuchte also irgendwie eine
> Funktionsgleichung; so etwas wie y=f(x) -- oder auch
> implizit f(x,y)=0, die man dann erst nach y auflösen muss
> --. Eine Funktion 2. Grades hat dann die allgemeine Form
>
> [mm]ax^2+bx+c=y[/mm]
Also müsste meine Aufgabe, damit ich die Richtig Scheitelpunktform aufstellen kann, eigentlich so lauten:
2x² - 16x + 24 = y
oder
2x² - 16x + 24 = f(x)
2x² - 16x + 24 = y | /2
x² - 8x + 12 = [mm] \bruch{y}{2}
[/mm]
Somit Stauche ich die Funktion nicht wie bei =0 | /2
Das ist logisch!
> Ich glaube DIESE Inkorrektheit in der Aufgabenstellung
> führt auch zur Verwirrung und letztlich zu Deinem Fehler.
^^^^ Dies Aussage find ich toll, sollte nur meine Lehrerin nicht hören sonst würde Sie mir den Kopf abreißen. :)
Danke für deine Hilfe.
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Hallo Michael!
Bitte nicht durch die $2_$ teilen, sindern lediglich ausklammern:
$f(x) \ = \ [mm] 2x^2-16x+24 [/mm] \ = \ [mm] 2*\left(x^2-8x+12\right)$
[/mm]
Und nun innerhalb der Klammer quadratisch ergänzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
> [mm]f(x) \ = \ 2x^2-16x+24 \ = \ 2*\left(x^2-8x+12\right)[/mm]
>
>
> Und nun innerhalb der Klammer ...
Achso das ist jetzt der Unterschied zur Gleichung.
Was muss ich jetzt bei der quadratisch Ergänzen "genau" machen?
Das ist im mom genau der Punkt wo ich hängen bleibe!!!
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Hallo Michael!
Nimm Dir nun die Zahl (den "Koefffizienten") vor dem $x_$ , teile ihn durch $2_$ und quadriere das Ergebnis.
Hier also wegen [mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \red{-8}*x+12$ [/mm] der Wert $-8_$ :
[mm] $\left(\bruch{\red{-8}}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(-4\right)^2 [/mm] \ = \ +16$
Diesen Wert nimmst Du nun und addierst ihn innerhalb der Klammer. Und damit wir den Gesamtausdruck nicht verändern ziehen wir ihn sofort wieder ab:
$f(x) \ = \ [mm] 2*\left(x^2-8*x+12\right) [/mm] \ = \ [mm] 2*\left(x^2-8*x \ \red{+16-16} \ +12\right)$
[/mm]
Der Term [mm] $x^2-8*x+16$ [/mm] kann nun gemäß binomischer Formel dargestellt werden als [mm] $x^2-2*4*x+4^2 [/mm] \ = \ [mm] (x-4)^2$ [/mm] :
$f(x) \ = \ [mm] 2*\left(x^2-8*x+16-16+12\right) [/mm] \ = \ [mm] 2*\left[(x-4)^2-16+12\right] [/mm] \ = \ [mm] 2*\left[(x-4)^2-4\right]$
[/mm]
Nun die $2_$ ausmultiplizieren:
$f(x) \ = \ [mm] 2*(x-4)^2+2*(-4) [/mm] \ = \ [mm] 2*(x-\blue{4})^2 [/mm] \ [mm] \red{-8}$
[/mm]
Und hieraus können nun die Scheitelpunktskoordinaten [mm] $\blue{x_s \ = \ 4}$ [/mm] und [mm] $\red{y_s \ = \ -8}$ [/mm] abgelesen werden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
Also war ich doch richtig mit meinen wohl eingerosteten Rechenkünsten.
Aber wie kommt Bastiane und vagnerlove dann auf einen Scheitelpunkt mit S(4;-8)???
Hat sich bei denen ein Fehler eingeschlichen?
Gruß Michael
P.S: Werde mir jetzt nochmal alles in Ruhe anschauen. Wen ich dann noch Fragen hab melde ich mich wieder.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Di 21.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Michael!
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Sorry, da habe ich einen Bock eingebaut! Ich habe meine Antwort nochmal bearbeitet. Nun sollte es stimmen ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Michael,
> > [mm]f(x) \ = \ 2x^2-16x+24 \ = \ 2*\left(x^2-8x+12\right)[/mm]
> >
> >
Du kannst hier natürlich auch den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Vieta anwenden. Gemäß der Formel gilt:
[mm]p = -\left(x_1 + x_2\right)[/mm]
[mm]q = x_1x_2[/mm]
[mm]\Rightarrow -8 = -\left(x_1 + x_2\right) \Leftrightarrow 8 = x_1 + x_2[/mm]
[mm]\Rightarrow 12 = x_1 * x_2[/mm]
Es gilt 12 = 3*2*2. Es gibt hier also nur 3 Möglichkeiten 12 als Produkt zweier Faktoren darzustellen.
3*4
6*2
12*1
Man sieht:
8 = 6+2
Also muß gemäß dem Satz
[mm](x-6)(x-2) = x^2 - 2x - 6x + 12 = x^2 - 8x + 12[/mm]
gelten.
Viele Grüße
Karl
[P.S. Ein weiteres Beispiel zur quadratischen Ergänzung und Scheitelpunktform findest du hier.]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
Hallo Karl_Pech,
also hab ich mit dem Satz des Vieta die Möglichkeit die Nullstellen zu bestimmen.
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Hallo Michael!
> also hab ich mit dem Satz des Vieta die Möglichkeit die
> Nullstellen zu bestimmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß vom
Roadrunner
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Michael!
Du hast doch alles richtig!
Für die Scheitelpunktsform musst Du nun die ermittelten Werte mit $x_s \ = \ 4$ sowie $y_s \ = \ -4$ in die entsprechende Formel einsetzen:
$f(x) \ = \ \left(x-x_s)^2+y_s$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
Hallo Roadrunner,
> Für die Scheitelpunktsform musst Du nun die ermittelten
> Werte mit [mm]x_s \ = \ 4[/mm] sowie [mm]y_s \ = \ -4[/mm] in die
> entsprechende Formel einsetzen:
>
> [mm]f(x) \ = \ \left(x-x_s)^2+y_s[/mm]
Genau das hab ich mir am Anfang auch gedacht. Nur kann die Lösung S(4;-4) nicht Stimmen, da wie Andreas gesagt hat die Funktion durch meine Berechnung gestaucht wurde.
Das Problem liegt echt darin das meine Lehrerin hier Funktionen und Gleichungen gemixt hat... und ich nun überhaupt nicht mehr weis was sie will.
Ich gehe aber mal davon aus das Sie die Ergebnisse der Funktion und nicht der Gleichung haben will.
Gruß Michael
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Hallo Michael!
Okay, da habe ich wohl nicht ganz aufgepasst ... auch was das Mischen von Funktionsvorschrift und Gleichung betrifft.
Aber ... der Scheitelpunkt eine Parabel bleibt von einer Stauchung / Streckung jeglicher Art völlig unberührt und immer derselbe.
Betrachte dazu mal die Parabel [mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*x^2$ [/mm] . Egal welchen Wert man für $a_$ annimmt: der Scheitelpunkt bleibt immer im Urspung $S \ ( \ 0 \ ; \ 0 \ )$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
> Aber ... der Scheitelpunkt eine Parabel bleibt von einer
> Stauchung / Streckung jeglicher Art völlig unberührt und
> immer derselbe.
>
> Betrachte dazu mal die Parabel [mm]f_a(x) \ = \ a*x^2[/mm] . Egal
> welchen Wert man für [mm]a_[/mm] annimmt: der Scheitelpunkt bleibt
> immer im Urspung [mm]S \ ( \ 0 \ ; \ 0 \ )[/mm] .
Darüber hab ich mich jetzt nochmal belesen.
Das mit der Stauchung ist mir klar, auch das ich durch eine Stauchung (Streckung) die Parabel nicht verschiebe.
Doch in der Aufgabe Teile ich die Gleichung durch 2 und damit ändere ich ja die p- und q-Wert. Was wohl zur folge hat das sich die Parabel irgendwie verschiebt.
Richitg???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Di 21.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Michael!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Zum einen redet man von $p_$ bzw. $q_$ erst in der Normalform $f(x) \ = \ [mm] \red{1}*x^2+p*x+q$ [/mm] .
Aber durch die Muliplikation / Division mit einer Konstanten verschiebt sich der Scheitelpunkt nicht. Dieser Faktor / Divisior bewirkt lediglich eine Streckung oder Stauchung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
Alles klar wieder was gelernt.
Danke
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Salvet Roadrunner!
Der ScheitelPUNKT ändert sich bei einer Stauchung im ALLGEMEINEN sehr wohl!
Ein Punkt hat immer eine x- und eine y-Koordinate. Richtig ist, dass sich die Stelle, also die x-Koordinate bei unserer Stauchung (in y-Richtung; es gibt sie ja auch in x-Richtung oder noch beliebiger) nicht ändert. Alle y-Werte werden aber zur x-Achse hin "verschoben" und zwar genau um die Hälfte ihres Wertes, deshalb hatte Mitchy am Anfang auch -4, stat -8 raus.
Dein Beweis durch Beispiel scheitert deshalb, weil hier der y-Wert des Scheitelpunktes 0 ist, und 0/2 ist halt 0 - deswegen die Formulierung "im ALLGEMEINEN"
Gruß
Andreas
p.s. Natürlich unter der Annahme, dass wir von der Funktion
[mm] 2x^2-16x+24=y [/mm] reden. Aus der Original-Gleichung könnte man statt
[mm] 2x^2-16x=-24+y [/mm] auch z.B. [mm] y+2x^2-16x=-24 [/mm] eine Funktion machen
die dann [mm] y=-2x^2+16x-24 [/mm] gleich wäre und (4,8) als Scheitelpunkt hat; oder man geht ebend nicht von der gegebenen Gleichung aus sondern von der äquivalenten (durch 2 dividierten). Der Haken ist hier dann der Äquivalenzbegriff von Gleichungen, der sich nicht mit der willkürlich gewählten Umformung in eine Funktion verträgt -- klingt das besser, wie Inkorrektheit in der Aufgabenstellung 
Auf jeden Fall solltest Du Deinen Kopf im Auge behalten. Manche Lehrer mögen ja mitdenkende Schüler, andere reagieren aber eher unangemessen oder überfordert, aber Rübe runter habe ich noch nicht gesehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mitschy |
Danke für die Erklärung...
Jetzt wird mir auch klar warum ich immer auf die -4 komme.
Werde mich jetzt mal an die anderen Aufgaben machen mal sehen was das wird.
> Auf jeden Fall solltest Du Deinen Kopf im Auge behalten.
> Manche Lehrer mögen ja mitdenkende Schüler, andere
> reagieren aber eher unangemessen oder überfordert, aber
> Rübe runter habe ich noch nicht gesehen...
^^^ Ja, solche Situationen kenn ich schon zu genüge, wobei der Kopf trotz allem immer noch das ist wo er hingehört
Gruß Michael
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
