Ganzrationale Funktionen :( < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Lösen und verstehen der Aufgaben (nur für Klausur!!!) |
Hi....Ihr müsst mir bitte bei diesen Aufgaben helfen:( Das sind keine Hausaufgaben!!!!! Ich muss die unbedingt für die Klausur können.... :(
Ich hab volllll die Panik, weil ich das nich kannnn:( Kann mir das jemand ganz ganz ganz leicht erklären:(BITTTTEE :(
1a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 5 ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat den Punkt A(1/2) als Hochpunkt und hat für x=3 eine Nullstelle. Bestimme f.
b)Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 4 hat im Ursprung einen Tiefpunkt und im Punkt A(1/2) einen Hochpunkt, N(2/0) ist Nullstelle. Bestimme f.
....mh zu 1a) f(x)= [mm] ax^5-bx^4-cx³-dx²-ex-f [/mm]
weil punktsymmetrisch, alle ungeraden potenzen weg?
[mm] f(x)=-bx^4-dx²-f [/mm] ?!
A(1/2) -> f(1) = 2
f´(1)= 0
N(3/0)-> f(3)= 0 ....weiter weiß ich nich
...zu 1b)= [mm] ax^4-bx³-cx²-dx-e [/mm]
U(0/0 -> f'(0)= 0
A(1/2)-> f(1)= 2
f'(1)= 0
N(2/0)-> f(2)= 0
2) Die Parabel zu f mit f(x)= -3x²+12 schließt mit der x- Achse eine Fläche ein. In dieses Flächenstück soll ein achsenparalleles Rechteck mit maximalen Flächeninhalts sowie danach ein achsenparalleles Dreieck mit maximalen Flächeninhalts einbeschrieben werden. Wie lang sind die Rechteck. bzw Dreieckseiten?
...keine ahnung ich hab das noch nie so richtig erklärt bekommen...wegen dem achsensymmetrisch
3) Weise nach, dass die Funktion f mit f(x)= -x³+3x+5 im Intervall (-3,-2) eine Nullstelle besitzt.
3a) Begründe, warum die Funktion nur genau eine Nullstelle hat.
zu 3a)....weil das eine Funktion 3 Grades ist und die ja für x-> unendlich= + unendlich und für x-> minus unendlich= - unendlich
....weil die, wenn man den graphen zeichnet, dann nur einmal die x- achse schneidet?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Gleichungssystem:(?! |
Hi Loddar:)
Also ich hab in der Zwischenzeit auch schon weiter gerechnet, und hab genau die selben ergebnisse raus*puhh* ...ein lichtblick:(
neee das ist es ja:(...bis dahin bin ich meistens gekommen....aber ab dem gleichungssystem komm ich dann nich weiter...ich weiß überhaupt nicht, wie man sowas machttttttt :(...kannst dus mir eklären:(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
Zum Lösen von linearen Gleichungssystem gibt es verschiedene Lösungsverfahren. Bei mehreren Gleichungen bietet sich der soganannte  Gauß-Algorithmus an.
Dabei wird durch entsprechendes Addieren und Subtrahieren der einzelnen Gleichungen schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert.
Unser Gleichungssystem lautet ja:
[1] $a+c+e \ = \ 2$
[2] $5a+3c+e \ = \ 0$
[3] $243a+27c+3e \ = \ 0$
Hier bietet es sich an, zunächst das $e_$ zu eliminieren. Dafür ziehen wir die Gleichung [1] von der Gleichung [2] ab.
[4]=[2]-[1] $4a+2c \ = \ -2$
Mit der 3. Gleichung machen wir es ähnlich, allerdings müssen wir zunächst die 1. Gleichung mit $3_$ multiplizieren, um bei beiden Gleichungen denselben Koeffizienten bei $e_$ zu haben:
[5]=3·[1] $3a+3c+3e \ = \ 6$
[6]=[3]-[5] $240a+24c \ = \ -6$
Nun haben wir nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:
[4] $4a+2c \ = \ -2$
[6] $240a+24c \ = \ -6$
Wie geht es wohl weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
das vestehhhh ich nich:(
Mit der 3. Gleichung machen wir es ähnlich, allerdings müssen wir zunächst die 1. Gleichung mit multiplizieren, um bei beiden Gleichungen denselben Koeffizienten bei zu haben:
aber wenn ich die erste mit der 3 multipliziere kommt da : 243a²+27c²+3e² raus:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
> Mit der 3. Gleichung machen wir es ähnlich, allerdings
> müssen wir zunächst die 1. Gleichung mit multiplizieren,
> um bei beiden Gleichungen denselben Koeffizienten bei zu
> haben:
Nein, wir multiplizieren die erste Gleichung mit der Zahl $3_$ !
Wir haben doch:
$a+c+e \ = \ 2$ [mm] $\left| \ * \ 3$
$3*(a+c+e) \ = \ 3*2$
$3a+3c+3e \ = \ 6$
Und diese neue Gleichung hier ziehen wir von der 3. Gleichung ab ...
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
jetzt die letze gleichung von der vorletzen abziehen?
4a+2c= -2
240a+ 24c= -6
-> 236a+22c=-4
:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo jane!
> jetzt die letze gleichung von der vorletzen abziehen?
>
> 4a+2c= -2
> 240a+ 24c= -6
Von der prinzipiellen Idee her richtig. Jedoch müssen wir die eine Gleichung zunächst mit der Zahl $12_$ multiplizieren, damit hier ebenfalls $24c_$ steht:
$4a+2c \ = \ -2$ [mm] $\left| \ * \ 12$
$48a+24c \ = \ -24$
Und diese neue Gleichung nun von der letzten abziehen ...
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
also is die funktion dann:
192 a= 18...
achso also darf man auch nur eine gleichung mit irgendwas multiplizieren, damit man die andere davon abziehen kann?
a= 0,09375 ?
so:)=?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 04.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Jane,
> okay
> also is die funktion dann:
> 192 a= 18...
> achso also darf man auch nur eine gleichung mit irgendwas
> multiplizieren, damit man die andere davon abziehen kann?
> a= 0,09375 ?
> so:)=?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") die Lösung stimmt schon mal, man könnte auch sagen [mm] a=\bruch{3}{32}
[/mm]
weitere Erklärung zum Multiplizieren:
es macht ja nur Sinn beim Gauß-Algorithmus zwei Werte zu subtrahieren, die Null ergeben. Hast du also 4a und 12a, dann musst du das erste a mit 3 multiplizieren, damit das a letztendlich eliminiert wird.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
okay:) und wo setz ich a dann genau ein? danke:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo jane!
Diesen Wert $a \ = \ [mm] \bruch{3}{32}$ [/mm] in einer der bisher ermittelten Gleichungen einsetzen.
Wähle dafür eine, in welcher ausschließlich $a_$ und $c_$ vorkommen ... so kannst Du dann nämlich nach $c \ = \ ...$ umstellen.
Anschließend dann beide Werte $a_$ und $c_$ in eine Gleichung einsetzen mit $e_$ und $e_$ ermitteln.
Kontroll-Ergebnis (bitte nachrechnen):
$a \ = \ [mm] \bruch{3}{32}$ [/mm] $c \ = \ [mm] -\bruch{19}{16}$ [/mm] $e \ = \ [mm] \bruch{99}{32}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
also könnte ich z.b. 4a+ 2c= -2 nehmen?
egal welche, hauptsache a und c oder?
also dann: 4* (0,09375)+ 2c= -2
0,37500+ 2c= -2 /-0,037500
2c= -2,03750
c= -1,01875?
dann hab ich ja a und c...und c muss ich jetzt einsetzen, wo nur b und c is oder:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Wieso d und e = 0? |
Hi Loddar! Okay bis dahin alles klar... Nur ich versteh nich wieso aufeinmal e und d = 0 werden:( versteh mich nich falsch, aber ich bin echt ein mathematischer analphabet ;( ...ist das weil die als letztes stehen? weil man kann doch nur für x eine zahl einsetzen? e und d müssten doch dann eigentlich bleiben:(?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo jane!
Die beiden Werte für $d \ = \ 0$ bzw. $e \ = \ 0$ haben wir doch erhalten durch Einsetzen des x-Wertes $0_$ in die Funktionsgleichung bzw. Ableitungsfunktion (siehe auch Antwort oben):
[mm] $f(\red{0}) [/mm] \ = \ [mm] a*\red{0}^4+b*\red{0}^3+c*\red{0}^2+d*\red{0}+e [/mm] \ = \ 0+0+0+0+e \ = \ e \ = \ [mm] \blue{0}$ [/mm]
[mm] $f'(\red{0}) [/mm] \ = \ [mm] 4a*\red{0}^3+3b*\red{0}^2+2c*\red{0}+d [/mm] \ = \ 0+0+0+d \ = \ d \ = \ [mm] \blue{0}$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Bleibt a nicht übrig? |
ich hätte hier jetzt
f(0)= a+b+c+d+e= 0 hingeschrieben, weil wenn [mm] a*(0)^4...dann [/mm] bleibt doch a übrig:( ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Aber "Null mal irgendwas" ergibt doch wieder Null!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
Ja das stimmt! :( TUT MIR LEID! Ich habs jetzt verstanden...Ich merks mir so:
a*1 = a
a*0 = 0
:)
Jetzt aber bitte bitte zum Gleichungssystem:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Funktion, Intervall, Nullstelle |
Lotharrr lass mich nich im Stichhhhh:( Kannst du mir hier vielleicht besser helfen? :(
3) Weise nach, dass die Funktion f mit f(x)= -x³+3x+5 im Intervall (-3,-2) eine Nullstelle besitzt. WIE ÜBERPRÜFE ICH DAS?
3a) Begründe, warum die Funktion nur genau eine Nullstelle hat.
zu 3a)....weil das eine Funktion 3 Grades ist und die ja für x-> unendlich= + unendlich und für x-> minus unendlich= - unendlich
....weil die, wenn man den graphen zeichnet, dann nur einmal die x- achse schneidet?! ??????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo jane!
Bitte hier nicht drängeln, auch wenn es für Dich sehr wichtig scheint ... zumal Du ja auch erst auf dem letzten Drücker so kurz vor der Klausur hier erscheinst  .
> 3) Weise nach, dass die Funktion f mit f(x)= -x³+3x+5 im
> Intervall (-3,-2) eine Nullstelle besitzt. WIE ÜBERPRÜFE
> ICH DAS?
> 3a) Begründe, warum die Funktion nur genau eine Nullstelle
> hat.
Kann es sein, dass Du Dich verschrieben hast, und es muss heißen:
$f(x) \ = \ [mm] -x^3+3x [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 5$
[Dateianhang nicht öffentlich]
> zu 3a)....weil das eine Funktion 3 Grades ist und die ja
> für x-> unendlich= + unendlich und für x-> minus unendlich=- unendlich
Prinzipiell ja! Aber durch das Minuszeichen vor dem [mm] $x^3$ [/mm] ist es hier mit dem [mm] $+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\infty$ [/mm] genau umgekehrt (siehe oben).
Aber das sagt ja noch nicht aus, warum gerade in dem genannten Intervall zwischen $-2_$ und $-3_$ .
Setze diese beiden Werte mal in die Funktionsvorschrift ein und berechne die beiden Funktionswerte. Was fällt Dir auf?
Und dann gibt es da einen mathematischen Satz, wenn "ein Wert einer Funktion irgendwie dazwischen liegen soll".
> ....weil die, wenn man den graphen zeichnet, dann nur
> einmal die x- achse schneidet?! ??????
Warum nur einmal? Da stimmt Deine Begründung nicht, da es auch Graphen 3. Ordnung gibt mit bis zu drei Nullstellen.
Aber welchen Funktionswert hat denn das relative Maximum dieser Funktion?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
okay:( sorry
...also das maximum liegt bei (1/-3)...
und dann die werte eingesetzt:
f(-3)= 13
f(-2)=-3
hab das jetzt in f(x)= -x³+3x-5 eingesetzt!
weiter:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo jane!
> ...also das maximum liegt bei (1/-3)...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Das Maximum liegt also weiter rechts als unsere betrachtete Nullstelle und der Funktionswert liegt unterhalb der x-Achse.
Daher muss diese eine Nullstelle auch die einzige sein ...
> und dann die werte eingesetzt:
> f(-3)= 13
> f(-2)=-3
Was fällt auf? Ein Funktionswert ist positiv, einer ist negativ. Damit existiert(gemäß Zwischenwertsatz) auch mindestens ein x-Wert [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Intervall $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \left[-3;-2\right]$ [/mm] , für den gilt: [mm] $f(x_0) [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ ... die Nullstelle!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Wie soll ich das in der Klausur schreiben:( |
Hi Lothar:(
Ja das hab ich jetzt einigermaßen vestanden...
Aber wie soll ich das in der Klausur schreiben:(
Also wenn ich überprüfen will, ob eine Nullstelle in einem Intervall liegt, muss ich ihr die Werte vom Intervall in die Funktion einsetzen...
Und wenn ein Wert pos. und einer neg. ist, dann besitzt es nur eine Nullstelle?
:( ach...und...irgendwie sind die beiden aufgaben doch das selbe oder:( hilfeee:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
Herbyyy:( Kannst du mir vielleicht sagen, wie ich da genau vorgehen muss, um zu überprüfen ob da nur eine nullstelle ist...so allgemein....muss ich da nur die werte von dem intervall in die funktion einsetzen?! und der zweite ausschlaggebende punkt sind dann die grenzwerte?:( bitte hilf mir....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Do 04.05.2006 | | Autor: | Herby |
Salut,
ehm - ich hoffe du kommst da jetzt hinterher, mit dem, was ich hier verbreche ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
ich hatte dich gefragt, wie ihr Nullstellen berechnet, die nicht ganzzahlig sind und daher nicht zu erraten - meine Einschätzung ist: "gar nicht" ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
dann anders 
Eine Funktion n-ten Grades (also [mm] x^5 [/mm] oder [mm] x^9 [/mm] oder eben [mm] x^n [/mm] (für alle [mm] n\in\IN [/mm] und $ n>0 $ ) hat maximal n Nullstellen.
Ein Polynom dritten Grades also max. [mm] \red{3}
[/mm]
Kennen wir eine Nullstelle, so können wir eine Polynomdivision durchführen und an dem verbleibenden Polynom vom Grad [mm] \red{2} [/mm] die p-q-Formel anwenden.
In unserer Aufgabe würde man sehen, dass zwei Nullstellen nicht in den reellen Zahlen zu finden sind, d.h. die p-q-Formel erbringt keine Lösung (es gibt dann einen negativen Radikand unter der Wurzel).
Bei deiner Aufgabe, war aber zu erkennen, dass sich im vorgegebenen Intervall das [mm] \green{Vorzeichen} [/mm] umkehrt - es muss also einmal mindestens die y-Achse geschnitten worden sein.
Mit dem kleineren Wert (-3) waren wir bei y=13 oberhalb der x-Achse, das heißt wir kommen von oben.
unsere Extremas liegen aber beide rechts außerhalb des Intervalls und beide unterhalb der x-Achse und daraus folgt, dass es nur [mm] \red{eine} [/mm] Nullstelle geben kann.
Jetzt klarer?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Ist die Begründung richtig? |
Also liegt es einmal an den Grenzwerten und einmal am Maximum richtig? Die nicht ganzzahligen Nullstellen berechnen wir mit dem Newton Verfahren!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 04.05.2006 | | Autor: | Herby |
jipiih,
na dann ist es doch einfach das nachzuweisen.
mit Newton erhältst du [mm] x_1=-2,279 [/mm] (Nullstelle liegt im Intervall) - danach p-q-Formel (keine weiteren im Reellen, nur komplexe) --- fertig!
> Ist die Begründung richtig?
> Also liegt es einmal an den Grenzwerten und einmal am
> Maximum richtig?
je nachdem von wo die Funktion kommt ist es auch das Minimum, aber vom Prinzip
lg
Herby
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:45 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Einzige Begründung? |
Also okay Herby:) Weil morgen auf jeden Fall diese Nullstelle mit Newton Verfahren kommt...Das sind die EINZIGEN Begründungen? Also ich geb nur den Grenzwert an und berechne das Maximum bzw. Minimum richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 06.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 04.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hi Jane,
Achsensymmetrisch heißt, dass du die Funktion quasi an der y-Achse spiegelst.
Die Parabel x² ist z.B. achsensymmetrisch, ebenso deine vorgegebene Funktion f(x)=-3x²+12.
Demnach ist ein Gebilde (Viereck; Dreieck) achsensymmetrisch, wenn er an der y-Achse gespiegelt ist.
Und achsparallel - dann sind halt beim Viereck zwei Seiten auch noch parallel zur x-Achse (eine liegt sogar drauf - komplanar nennt man das dann).
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
Herby:( Du weißt überhaupt nicht WIE verzweifelt ich bin:(......Ich...hab so annnnnnnnggstt...
BITTE:( Kannst du mir nicht diese eine Aufgabe mit dem recheck + dreieck mal ausrechnen, damit ich weiß was ich überhaupt tun muss:(
...Ich kann doch überhaupt nichtssssssssssss:(
Du verstehst meine mathematische Verzweiflung gar nicht;(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Do 04.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Jane,
das Spiel bei diesen Extremwertaufgaben ist immer dasselbe.
- Nullstellen einer Funktion ermitteln.
- Intervall festlegen (ein x-Wert außerhalb des Intervalls, das durch die Nullstellen begrenzt wird, bringt ja auch nix)
- Nebenbedingungen festlegen
- Zielfunktion bestimmen
- ableiten
- bei möglichst "großem irgendwas" das Maximum feststellen
- in Zielfunktion einsetzen
- Antwortsatz!
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 04.05.2006 | | Autor: | jane882 |
Herby?Kannst du mir dann vielleicht wenigstens die Formel geben:( Also die Funktion die man da aufstellen muss für das Rechteck? 2x* F(x) oder sowas:( Damit ich einen Anhaltspunkt habe? BITTTE :(
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, bei Punktsymmetrie fallen die geraden Potenzen weg.
![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]"){kind=small}
Viel Erfolg ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
morgen!
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]"){kind=small}
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
