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Forum "Zahlentheorie" - Ganzzahlige Funktionswerte
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Ganzzahlige Funktionswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Sa 11.04.2015
Autor: Fulla

Aufgabe
<br>
Finde [mm]n\in\mathbb N[/mm], [mm]n>3[/mm] mit [mm]\frac 14\sqrt{3(n+1)^2(n-1)(n+3)}\in\mathbb N[/mm]


<br>
Liebe Forengemeinde,

ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe aus einer Fachzeitschrift. Da damit ein Preisausschreiben verbunden ist, verzichte ich mal auf die konkrete Aufgabenstellung. Das oben ist eine "Zwischenstation" auf meinem Lösungsweg.

Ich habe schon:
Der Radikand muss teilbar durch 16 sein. Daraus folgt, dass [mm]n[/mm] ungerade sein muss, denn anderenfalls werden unter der Wurzel fünf ungerade Zahlen multipliziert, was wiederum ungerade und somit nicht durch 16 teilbar ist.

Nun habe ich den Term gleich [mm]u\in\mathbb N[/mm] und [mm]n=2k+1[/mm] gesetzt:
[mm]\frac 14\sqrt{3(n+1)^2(n-1)(n+3)}=u\quad\Leftrightarrow[/mm]
[mm]3(n+1)^2(n-1)(n+3)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
[mm]3(2k+2)^2(2k)(2k+4)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
[mm]3k(k+1)^2(k+2)=u^2[/mm]
Links steht das Produkt aus drei aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, wovon genau eine durch 3 teilbar ist. [mm](k+1)[/mm] kann es aber nicht sein, da sonst links der Faktor 3 ungeradzahlig oft auftaucht und rechts - durch das Quadrat - nur geradzahlig oft vorkommen kann.

Nun habe ich zwischen [mm]3|k[/mm] und [mm]3|(k+2)[/mm] unterschieden und einmal [mm]k=3z[/mm] und einmal [mm]k+2=3z[/mm] substituiert. Auf der rechten Seite habe ich [mm]u^2=3^2\cdot(k+1)^2\cdot y^2[/mm] gesetzt.
Das führt zu den Gleichungen
[mm]z\cdot(3z+2)=y^2[/mm]   (1) und
[mm]z\cdot(3z-2)=y^2[/mm]   (2).

Und hier hänge ich jetzt fest. Wie finde ich solche [mm]z[/mm], für die [mm]z\cdot(3z\pm 2)[/mm] Quadratzahlen sind?

Ein Beispiel habe ich schon gefunden: $z=9$ und $y=15$ genügen Gleichung (2). Wie finde ich weitere? Gibt es überhaupt weitere?

Lieben Gruß,
Fulla

        
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:11 Sa 11.04.2015
Autor: Marcel

Hallo Fulla,

ich habe nur gerade mal grob drübergelesen:> <br>

>  Finde [mm]n\in\mathbb N[/mm], [mm]n>3[/mm] mit [mm]\frac 14\sqrt{3(n+1)^2(n-1)(n+3)}\in\mathbb N[/mm]
>  
> <br>
>  Liebe Forengemeinde,
>  
> ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe aus einer
> Fachzeitschrift. Da damit ein Preisausschreiben verbunden
> ist, verzichte ich mal auf die konkrete Aufgabenstellung.
> Das oben ist eine "Zwischenstation" auf meinem
> Lösungsweg.
>  
> Ich habe schon:
>  Der Radikand muss teilbar durch 16 sein. Daraus folgt,
> dass [mm]n[/mm] ungerade sein muss, denn anderenfalls werden unter
> der Wurzel fünf ungerade Zahlen multipliziert, was
> wiederum ungerade und somit nicht durch 16 teilbar ist.
>  
> Nun habe ich den Term gleich [mm]u\in\mathbb N[/mm] und [mm]n=2k+1[/mm]
> gesetzt:
>  [mm]\frac 14\sqrt{3(n+1)^2(n-1)(n+3)}=u\quad\Leftrightarrow[/mm]
>  
> [mm]3(n+1)^2(n-1)(n+3)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
>  [mm]3(2k+2)^2(2k)(2k+4)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
>  [mm]3k(k+1)^2(k+2)=u^2[/mm]
>  Links steht das Produkt aus drei aufeinanderfolgender
> natürlicher Zahlen, wovon genau eine durch 3 teilbar ist.
> [mm](k+1)[/mm] kann es aber nicht sein, da sonst links der Faktor 3
> ungeradzahlig oft auftaucht und rechts - durch das Quadrat
> - nur geradzahlig oft vorkommen kann.
>  
> Nun habe ich zwischen [mm]3|k[/mm] und [mm]3|(k+2)[/mm] unterschieden und
> einmal [mm]k=3z[/mm] und einmal [mm]k+2=3z[/mm] substituiert. Auf der rechten
> Seite habe ich [mm]u^2=3^2\cdot(k+1)^2\cdot y^2[/mm] gesetzt.
>  Das führt zu den Gleichungen
>  [mm]z\cdot(3z+2)=y^2[/mm]   (1) und
>  [mm]z\cdot(3z-2)=y^2[/mm]   (2).

(2) ist dann doch gleichwertig mit

    [mm] $3z^2-2z-y^2=0$ [/mm]

bzw.

    [mm] $z^2-\frac{2}{3}z-\frac{1}{3}y^2=0\,.$ [/mm]

pq-Formel liefert

    [mm] $z=z_{1,2}=\frac{1}{3}\pm \frac{\sqrt{1+3y^2}}{3}$ [/mm]

Also muss

    [mm] $\sqrt{1+3y^2}=3*z-1$ [/mm] mit $z [mm] \in \IN$ [/mm]

gelten. Irgendwie sehe ich jetzt aber auch nicht, ob bzw. was das bringen
könnte...

Ich mache einfach mal 'ne Mitteilung draus, vielleicht kann es ja doch noch
irgendwie weiter verwenden.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:22 So 12.04.2015
Autor: Fulla


> >
> > [mm]3(n+1)^2(n-1)(n+3)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
> > [mm]3(2k+2)^2(2k)(2k+4)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
> > [mm]3k(k+1)^2(k+2)=u^2[/mm]
> > Links steht das Produkt aus drei aufeinanderfolgender
> > natürlicher Zahlen, wovon genau eine durch 3 teilbar ist.
> > [mm](k+1)[/mm] kann es aber nicht sein, da sonst links der Faktor 3
> > ungeradzahlig oft auftaucht und rechts - durch das Quadrat
> > - nur geradzahlig oft vorkommen kann.
> >
> > Nun habe ich zwischen [mm]3|k[/mm] und [mm]3|(k+2)[/mm] unterschieden und
> > einmal [mm]k=3z[/mm] und einmal [mm]k+2=3z[/mm] substituiert. Auf der rechten
> > Seite habe ich [mm]u^2=3^2\cdot(k+1)^2\cdot y^2[/mm] gesetzt.
> > Das führt zu den Gleichungen
> > [mm]z\cdot(3z+2)=y^2[/mm]   (1) und
> > [mm]z\cdot(3z-2)=y^2[/mm]   (2).

>

> (2) ist dann doch gleichwertig mit

>

> [mm]3z^2-2z-y^2=0[/mm]

>

> bzw.

>

> [mm]z^2-\frac{2}{3}z-\frac{1}{3}y^2=0\,.[/mm]

>

> pq-Formel liefert

>

> [mm]z=z_{1,2}=\frac{1}{3}\pm \frac{\sqrt{1+3y^2}}{3}[/mm]

>

> Also muss

>

> [mm]\sqrt{1+3y^2}=3*z-1[/mm] mit [mm]z \in \IN[/mm]

>

> gelten. Irgendwie sehe ich jetzt aber auch nicht, ob bzw.
> was das bringen
> könnte...

>

> Ich mache einfach mal 'ne Mitteilung draus, vielleicht kann
> es ja doch noch
> irgendwie weiter verwenden.

>

> Gruß,
> Marcel

Hallo Marcel,

auf die Idee kam ich auch schon, aber sie hat mich nicht weiter gebracht...

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
        
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Sa 11.04.2015
Autor: abakus


> <br>
> Finde [mm]n\in\mathbb N[/mm], [mm]n>3[/mm] mit [mm]\frac 14\sqrt{3(n+1)^2(n-1)(n+3)}\in\mathbb N[/mm]

>

> <br>
> Liebe Forengemeinde,

>

> ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe aus einer
> Fachzeitschrift. Da damit ein Preisausschreiben verbunden
> ist, verzichte ich mal auf die konkrete Aufgabenstellung.
> Das oben ist eine "Zwischenstation" auf meinem
> Lösungsweg.

>

> Ich habe schon:
> Der Radikand muss teilbar durch 16 sein. Daraus folgt,
> dass [mm]n[/mm] ungerade sein muss, denn anderenfalls werden unter
> der Wurzel fünf ungerade Zahlen multipliziert, was
> wiederum ungerade und somit nicht durch 16 teilbar ist.

>

> Nun habe ich den Term gleich [mm]u\in\mathbb N[/mm] und [mm]n=2k+1[/mm]
> gesetzt:
> [mm]\frac 14\sqrt{3(n+1)^2(n-1)(n+3)}=u\quad\Leftrightarrow[/mm]

>

> [mm]3(n+1)^2(n-1)(n+3)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
> [mm]3(2k+2)^2(2k)(2k+4)=16u^2\quad\Leftrightarrow[/mm]
> [mm]3k(k+1)^2(k+2)=u^2[/mm]
> Links steht das Produkt aus drei aufeinanderfolgender
> natürlicher Zahlen, wovon genau eine durch 3 teilbar ist.

Hallo,
ich glaube, hier fängst du an das argumentativ Naheliegende zu übersehen. (k+1)² IST doch schon eine Quadratzahl. Wenn die gesamte linke Seite eine QZ sein soll, muss also "einfach nur" 3k(k+2) auch eine Quadratzahl sein.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:26 So 12.04.2015
Autor: Fulla


> Hallo,
> ich glaube, hier fängst du an das argumentativ
> Naheliegende zu übersehen. (k+1)² IST doch schon eine
> Quadratzahl. Wenn die gesamte linke Seite eine QZ sein
> soll, muss also "einfach nur" 3k(k+2) auch eine Quadratzahl
> sein.
> Gruß Abakus

Hallo Abakus,

genau das hab ich ja versucht. So einfach scheint das aber nicht zu sein... Ich denke mittlerweile auch, dass mein Ansatz nicht der Richtige war.
Ich gebe darum mal mehr von der eigentlichen Aufgabenstellung preis. (Siehe meine neue Frage)

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
        
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:44 So 12.04.2015
Autor: Fulla

Aufgabe
Die Seitenlängen eines Dreiecks seien drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Der Flächenihnalt dieses Dreiecks sei ebenfalls ganzzahlig.
Zeige, dass die Länge einer Höhe dieses Dreiecks ganzzahlig ist.

(Das ist immernoch nicht die komplette Aufgabenstellung. Es ist noch Weiteres zu zeigen.)
 



Ich habe die Formel [mm]A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/mm] mit [mm]s=\frac{a+b+c}{2}[/mm] verwendet und [mm]a=n[/mm], [mm]b=n+1[/mm], [mm]c=n+2[/mm] eingesetzt.
Das führte zu der Formel aus meiner ersten Frage...


Versucht habe ich schon mit [mm]A=\frac 12 g\cotd h[/mm] gleichzusetzen, was dazu führte, dass nur die "mittlere" Seite (mit Länge [mm]n+1[/mm]) "Grundlinie" [mm]g[/mm] sein kann.

Ich weiß nicht weiter....


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:27 So 12.04.2015
Autor: rmix22

Die zündende Idee hab ich leider auch nicht. Wenn du die Seiten mit n-1, n, n+1 bezeichnest anstatt mit n,n+1,n+2,  schreiben sich die Ausdrücke ein klein wenig einfacher und es kommt dann darauf hinaus, dass mit $n=2k$ dann eben der Ausdruck [mm] $3*k^2*(k^2-1)$ [/mm] eine Quadratzahl sein muss, damit die Fläche ganzzahlig ist. Wirklich einfacher wirds damit leider auch nicht.
Ich hab mal meinen Rechner angeworfen und die ersten Dreiecke mit den geforderten Eigenschaften ausrechnen lassen. All zu viele gibts ja nicht davon und man stößt rasch an die Grenzen.
Hier ist die Tabelle, vielleicht kannst du sie gebrauchen:

[mm] \begin{array}{||r|r|r||r|r||} \hline \hline a & b & c & A & h_b\\ \hline \hline 1& 2& 3 & 0& 0 \\ 3& 4& 5& 6& 3\\ \hline 13& 14& 15& 84& 12\\ 51 &52& 53 &1170& 45\\ 193 &194& 195 &16296 &168\\ 723 &724 &725 &226974& 627\\ 2701 &2702 &2703 &3161340 &2340\\ 10083& 10084& 10085& 44031786& 8733\\ 37633& 37634& 37635& 613283664& 32592\\ 140451& 140452& 140453& 8541939510& 121635\\ 524173& 524174& 524175& 118973869476& 453948\\ 1956243& 1956244& 1956245& 1657092233154& 1694157\\ 7300801& 7300802& 7300803& 23080317394680& 6322680\\ \hline \hline \end{array} [/mm]

Gruß RMix

Bezug
                
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:08 So 12.04.2015
Autor: rmix22

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hoppla - kann es denn wirklich so einfach sein?

Bezeichnen wir die Dreiecksseiten mit $n-1$, $n$ und $n+1$.
Dann berechnet sich der halbe Umfang mit $s=\frac{3n}{2}.
Und Heron liefert $A=\frac{1}{4}*\sqrt {3*n^2*(n+2)*(n-2)}$.

Jetzt sei die Fläche ganzzahlig.
Dann muss der Radikand, wie du ja schon festgestellt hast, durch $16$ teilbar sein und das geht in meiner Darstellung nur, wenn $n$ gerade ist.
Also können wir $n=2*k$ setzen und kommen auf

$A=\frac{1}{4}*\sqrt{3*4*k^2*(2k+2)*(2k-2)}$

und nach Vereinfachung auf

$A=\sqrt{3*k^2*(k^2-1)}=k*\sqrt{3*(k^2-1)$


Unter der Voraussetzung, dass der Flächeninhalt ganzzahlig ist, soll gezeigt werden, dass eine Höhe (und das muss zwangsläufig jene auf die mittlere Seite mit der Länge $n$ sein) eine ganzzahlige Länge hat.

Wenn die Fläche $A$ ganzzahlig ist, dann muss speziell auch der Ausdruck $\sqrt{3*(k^2-1)}$ ganzzahlige sein.

Die Höhe berechnet sich nun mit

$h=\frac{2*A}{n}=\frac {2*k*\sqrt{3*(k^2-1)}}{2*k}=\sqrt{3*(k^2-1)}$

Und damit sind wir auch schon fertig, denn dieser Ausdruck ist nach Voraussetzung ganzzahlig.

Gruß RMix


Bezug
                        
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:00 So 12.04.2015
Autor: Fulla

Tausend Dank, RMix!

Ich habe mich zu sehr darauf versteift, die Seitenlängen zu bestimmen...
Die Formel für deinen Ansatz hatte ich schon mehrfach aufgeschrieben, die Lösung aber einfach nicht gesehen. Den Rest kriege ich jetzt hin bzw. hatte ich das schon vorher.

Da du dich schon mit der Aufgabe auseinandergesetzt hast, magst du vielleicht auch den Rest lösen (das gilt natürlich auch für abakus und Marcel).

Die komplette Aufgabenstellung lautet:
Es seien die Seitenlängen des Dreiecks [mm]ABC[/mm] aufeinanderfolgende ganze Zahlen und die Länge der kürzesten Seite größer als 3. Der Flächeninhalt des Dreiecks sei ebenfalls eine ganze Zahl.
Man beweise, dass dann eine der Höhen von [mm]\Delta ABC[/mm] dieses in zwei Dreiecke teilt, deren Seitenlängen sämtlich ganzzahlig sind. Ferner zeige man, dass die Längen der Seitenabschnitte, die der Höhenfußpunkt auf einer der Dreiecksseiten erzeugt, sich um 4 unterscheiden.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                                
Bezug
Ganzzahlige Funktionswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 So 12.04.2015
Autor: rmix22

Ja, da fehlt ja nun nicht mehr viel und beides lässt sich in einem Aufwasch erledigen, da man sich etwa mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Seitenabschnitte leicht mit [mm] $b_{1,2}=\frac [/mm] b 2 [mm] \pm [/mm] 2=k [mm] \pm [/mm] 2$ ausrechnen kann.

Gruß RMix


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