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| Aufgabe | | Sei B [mm] \in \IZ^{m \times m} [/mm] eine gegebene reguläre Matrix. Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] B^{-1}b [/mm] genau dann für alle b [mm] \in \IZ^{m} [/mm] ganzzahlig sind, wenn det(B) = [mm] \pm [/mm] 1gilt. |
ich habe den beweis in zwei teile aufgeteit:
1. [mm] B^{-1}b \in \IZ^{m} \Rightarrow [/mm] det(B) = [mm] \pm [/mm] 1
2. det(B) = [mm] \pm [/mm] 1 [mm] \Rightarrow B^{-1}b \in \IZ^{m}
[/mm]
zu 1.:
da [mm] B^{-1}b \in \IZ^{m} [/mm] für alle b gilt, muss [mm] B^{-1} [/mm] nur ganzzahlige einträge haben. also ist auch die determinante von [mm] B^{-1} [/mm] ganzzahlig.
es gilt det(B) = [mm] det(B^{-1})^{-1} [/mm] aber auch det(B) [mm] \in \IZ
[/mm]
daher kann det(B) nur 1 oder -1 sein.
bei dem zweiten teil habe ich nun aber das problem, dass ich von [mm] det(B^{-1}) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 nicht auf die ganzzahligkeit von [mm] B^{-1} [/mm] schliessen kann.
wäre für tipps und lösungsansätze sehr dankbar
mfg,
Ilia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mo 28.06.2010 | | Autor: | andreas |
> Sei B [mm]\in \IZ^{m \times m}[/mm] eine gegebene reguläre Matrix.
> Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm]B^{-1}b[/mm] genau dann für alle
> b [mm]\in \IZ^{m}[/mm] ganzzahlig sind, wenn det(B) = [mm]\pm[/mm] 1gilt.
> ich habe den beweis in zwei teile aufgeteit:
> 1. [mm]B^{-1}b \in \IZ^{m} \Rightarrow[/mm] det(B) = [mm]\pm[/mm] 1
> 2. det(B) = [mm]\pm[/mm] 1 [mm]\Rightarrow B^{-1}b \in \IZ^{m}[/mm]
>
> zu 1.:
> da [mm]B^{-1}b \in \IZ^{m}[/mm] für alle b gilt, muss [mm]B^{-1}[/mm] nur
> ganzzahlige einträge haben.
warum? hier würde ich als korrektor noch eine begründung erwarten.
> also ist auch die determinante
> von [mm]B^{-1}[/mm] ganzzahlig.
> es gilt det(B) = [mm]det(B^{-1})^{-1}[/mm] aber auch det(B) [mm]\in \IZ[/mm]
>
> daher kann det(B) nur 1 oder -1 sein.
jep.
> bei dem zweiten teil habe ich nun aber das problem, dass
> ich von [mm]det(B^{-1})[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1 nicht auf die ganzzahligkeit
> von [mm]B^{-1}[/mm] schliessen kann.
sagt dir die cramersche regel beziehungsweise die adjunkte etwas?
grüße
andreas
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> sagt dir die cramersche regel beziehungsweise die adjunkte
> etwas?
das hilft mir leider nicht viel weiter, ich weiss dann zwar, dass alle [mm] det(B^{-1}_{i}) \in \IZ [/mm] sind und dass [mm] adj(B^{-1}) \in \IZ^{m \times m} [/mm] gelten muss.
aber ich komme nicht drauf, wie ich daraus auf die einträge der matrix schliessen könnte.
ilia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 06.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Di 06.07.2010 | | Autor: | andreas |
hallo,
vielleicht etwas spät, aber wie sehen denn die einträge von [mm] $B^{-1}$ [/mm] nach der cramer'schen regel aus (was sind denn die einzigen ausdrücke im nenner)?
grüße
andreas
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