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Ganzzahllösung finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:44 Do 23.06.2011
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo!

ich mache gerade meine ersten Gehversuche als Physik-Lehrer und denk mir allerhand Aufgaben aus. Dabei sollen immer möglichst "glatte" (am besten ganzzahlige) Werte entstehen und dies auch bei folgendem Problem.

[mm] $$z=\sqrt{x^2+y^2+x\cdot y}$$ [/mm] (Kraftvektorenaddition)

Nun suche $x,y$ möglichst aus [mm] $\mathbb [/mm] N$ oder zumindest Dezimalzahlen mit wenig Nachkommastellen, so dass $z$ ebenso ein recht "glatter" Wert wird. Ich suche also einen Befehl, der mir eine Lsg obiger Gleichung als Werte $x,y,z$ aus [mm] $\mathbb [/mm] Q$ oder noch besser [mm] $\mathbb [/mm] N$ liefert.

Ich habe diese Frage auch im Zahlentheorie Thread  gestellt (mit dem Hinweis, dass ich sie auch hier gestellt habe).

Bin sehr dankbar für Hilfe!

        
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Ganzzahllösung finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:01 Do 23.06.2011
Autor: leduart

Hallo
Rat an einen anfangenden Physiklehrer
Es ist schrecklich, wenn Schüler den Eindruck kriegen, das in der Physik glatte Zahlen üblich sind. Im Zeitalter  der TR ist das ja auch überflüssig. Wichtiger ist für die S. die einen TR benutzen nur, dass ein Ergebnis nicht mehr gültige Stellen haben sollte als die Eingangsgrößen.
wichtig auch für den Alltag ist etwas gut abschätzen zu können, fasr nie exakte Zahlen.
Kannst du begründen warum du das willst? Wie sollen sich Schüler dann selbst mal aufgaben ausdenken, wenn du maple brauchst, um welche zu stellen?
und was hat deine formel mit Vektoraddition zu tun?
Gruss leduart


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Ganzzahllösung finden: Mr. P.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 Do 23.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


>  und was hat deine formel mit Vektoraddition zu tun?
>  Gruss leduart


Hallo leduart,

meine leise Befürchtung ist die , dass der ziemlich
bekannte "Satz von P." und eine leider falsch notierte
"B-Formel" dahinter stecken.
Für diesen Fall sollte man allerdings nicht einmal
Wertetabellen aufstellen müssen, denn für "P-Tripel"
gibt es einfache []Erzeugungsformeln und []Listen .
Ein kleines Sortiment von P-Tripeln sollte man als
Mathe- oder Physiklehrer eigentlich allzeit abrufbar
besitzen ...

LG   Al-Chw.  


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Ganzzahllösung finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:26 Do 23.06.2011
Autor: Schadowmaster

@ leduart: Also ich persönlich finde es ist durchaus von Vorteil, wenn nicht all zu krumme Werte rauskommen.
Vor allem wenn dann später mehr als nur eine Wurzel berechnet werden muss, wenn man mehrere Gleichungen hat, die eine in die andere einsetzt, etc.
Ich kann mich noch an so manche Pysikstunde erinnern, wo es auf die Frage "wieso kommt da was anderes raus als bei mir?" immer nur hieß: "Da hast du wohl mehr/weniger/anders gerundet."

Heißt also meine Meinung ist: Entweder man sorgt (und sei es mit maple; wieso denn nicht?) dafür, dass die Ergebnisse keiner Rundung bedürfen oder man bläut den Schülern ein, dass bis ganz zum Schluss mit exakten Werten gerechnet werden soll (was für einigen Unmut sorgen wird; denn immer einen Bruch mit 5 Wurzeln drinn mitzuschleifen anstatt einmal den Wert auszurechnen ist wirklich, wirklich nervig^^).

Also @ Riesenrad:
Ich finde es schon gut, dass du versuchst schöne Lösungswerte zu bekommen.
Achte nur darauf, dass es nicht zuu offensichtlich wird und lass ab und zu (aber eher selten) eine Aufgabe mit einfließen, bei denen [mm]\sqrt{2}[/mm] oder irgend etwas irrationales (aber dennoch nicht zu "böses") stehen bleibt.

bzw. eine Lösung mit maple für dein Problem hab ich in den anderen Tread geschrieben. ;)


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Ganzzahllösung finden: "exakte" Rechnung überflüssig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:57 Do 23.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> ... oder man bläut den
> Schülern ein, dass bis ganz zum Schluss mit exakten Werten
> gerechnet werden soll (was für einigen Unmut sorgen wird;
> denn immer einen Bruch mit 5 Wurzeln drin mitzuschleifen
> anstatt einmal den Wert auszurechnen ist wirklich, wirklich
> nervig^^).

Um am Ende ein Ergebnis mit z.B. drei signifikanten Stellen
zu erhalten, muss man doch nicht wirklich alle Wurzeln etc.
durch die ganze Rechnung durchschleppen. Es genügt im
Allgemeinen, sich Zwischenresultate mit 5 signifikanten Stellen
zu notieren, um am Ende die "Genauigkeitsreserve" zu haben,
um das Resultat mit den 3 signifikanten Dezimalen korrekt
hinschreiben zu können.
Dazu haben doch die meisten heute eingesetzten Taschen-
rechner z.B. 10 oder mehr Speicherplätze, in welchen man
Zwischenergebnisse ablegen und dann wiederverwenden
kann. Dies muss natürlich auch etwas geübt werden, bringt
aber eine erhebliche Zeiteinsparung.

LG   Al

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Ganzzahllösung finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:02 Do 23.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> ich mache gerade meine ersten Gehversuche als Physik-Lehrer
> und denk mir allerhand Aufgaben aus. Dabei sollen immer
> möglichst "glatte" (am besten ganzzahlige) Werte entstehen
> und dies auch bei folgendem Problem.
>  
> [mm]z=\sqrt{x^2+y^2+x\cdot y}[/mm] (Kraftvektorenaddition)
>  
> Nun suche [mm]x,y[/mm] möglichst aus [mm]\mathbb N[/mm] oder zumindest
> Dezimalzahlen mit wenig Nachkommastellen, so dass [mm]z[/mm] ebenso
> ein recht "glatter" Wert wird. Ich suche also einen Befehl,
> der mir eine Lsg obiger Gleichung als Werte [mm]x,y,z[/mm] aus
> [mm]\mathbb Q[/mm] oder noch besser [mm]\mathbb N[/mm] liefert.
>  
> Ich habe diese Frage auch im Zahlentheorie Thread  gestellt
> (mit dem Hinweis, dass ich sie auch hier gestellt habe).
>  
> Bin sehr dankbar für Hilfe!


Hallo,

ohne auf die "Sinnfrage" einzugehen, sage ich dir, wie
ich selber vorgehen würde: ich mache mir (von Hand
oder allenfalls mit Tabellenkalkulation) eine kleine
Tabelle für den Term [mm] x^2+y^2+x\,y [/mm] mit ganzzahligen
x=1,2,3,4,... und y=1,2,3,4,... und führe diese Tabelle
so weit fort, bis ich eine oder ein paar Quadratzahlen
entdecke. Dann bastle ich mir daraus ein für die Aufgabe
geeignetes Zahlenbeispiel, das dann nicht notwendiger-
weise auch ganzzahlige Eingangswerte haben muss.

Ich würde aber empfehlen, diesen "Zusatzservice" mit
den "schönen Lösungen" (so quasi um der Bequemlich-
keit der Schüler entgegenzukommen) nicht immer an-
zubieten ...

LG    Al-Chw.


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Ganzzahllösung finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Do 23.06.2011
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo,

vielen Dank an alle, die sich meinem Problem hier gewidmet haben!

An leduart: Danke für die sicher sinnvollen Einwände, auch ich kenne es aus dem Physikstudium nicht glatte Werte herauszubekommen. Allerdings muss ich Dir in anderer Perspektive widersprechen, was das Rechnen mit glatten Werten angeht - oder warum normieren Physiker auf $c$, [mm] $\hbar [/mm] c$ ect. ? Natürlich um krumme Werte zu umgehen!
Ich will hier glatte Werte für eine Aufgabe in einer Klausuren, um den Teilnehmern den "Kontrollbonus" zu geben, in dem ich glatte Werte verspreche. Meine Schüler aber selbstverständlich schon krumme, realistische Werte gesehen.

An Al-Chwarizmi: Ich hab auch Zahlentheo besucht. Hier geht's aber um den [mm] \textbf{nicht falschen} [/mm] Kosinussatz (auch wenn natürlich thematisch überschneidend) für den Fall, dass der eingeschlossene Winkel 120° ist, also zwei Kräfte x, y im Winkel von 60° angreifen. Trotzdem Danke für die Erinnerung, vielleicht kann ich ja einen anderen Winkel und Kräfte wählen, so dass die Formel hier einsetzbar ist.

Herzlichen Gruß,
Lorenz

Bezug
                        
Bezug
Ganzzahllösung finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 Do 23.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Lorenz,

> An Al-Chwarizmi: Ich hab auch Zahlentheo besucht. Hier
> geht's aber um den [mm]\textbf{nicht falschen}[/mm] Kosinussatz
> (auch wenn natürlich thematisch überschneidend) für den
> Fall, dass der eingeschlossene Winkel 120° ist, also zwei
> Kräfte x, y im Winkel von 60° angreifen.

Alles klar. Das wussten wir nur nicht ...
Dann gäbe es also z.B. die ganzzahligen
(und teilerfremden !) Lösungen

[mm] (|\vec{F}_1|,|\vec{F}_2|,|\vec{F}_1+\vec{F}_2|) [/mm]   mit [mm] $\angle(\vec{F}_1\,,\, \vec{F}_2)\ [/mm] =\ 60$°

(3,5,7)
(5,16,19)
(7,8,13)
(9,56,61)
(11,24,31)
(13,35,43)
.....
.....

LG   Al-Chw.






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