Gateauxidff-barkeit zweier Fkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:31 Do 14.05.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass die durch
f(x,y) [mm] =\bruch{xy^{2}}{x^{2}+y{4}} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
= 0 für (x,y) = (0,0)
(Klammer und dann noch Bruch hat Formeleditor irritiert, daher die Form bitte entschuldigen)
definierte Funktion f: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] im Nullpunkt partielle Ableitungen in jede Richtung besitzt, aber dass [mm] h-->\partial [/mm] f(0) nicht linear ist und somit nicht Gateaux diff-bar, sowie f im Nullpunkt nicht stetig ist. |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie, dass die durch
g(x,y) = [mm] \bruch{2x\wurzel[y^{2}]{e^{2}}}{x^{2}+\wurzel[y^{2}]{e}} [/mm] für y [mm] \not= [/mm] 0
= 0 sonst
definierte Funktion f: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] zwar im Nullpunkt Gateaux diff.-barist, aber dort trotzdem nicht stetig ist. |
| Aufgabe 3 | Sei ein Banachraum X gegeben. Zeigen Sie, dass x--> [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{p} [/mm] für jedes p > 1 Gateaux-diff.-bar im Nullpunkt ist.
|
Hallo,
Ich hab zwar ein paar Ideen, aber einiges Widerspricht sich mit der Aufgabe.
Könntet ihr das mal bitte korrigieren. Vielen Dank.
Aufgabe 1:
g(th) = [mm] \bruch{(th_1)*(th_2)^{2}}{(th_1)^{2} + (th_2)^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{th_1h_2^{2}}{h_1+ (th_2)^{2}} \not= [/mm] t * f(h)
h(1,1), [mm] \partial_h [/mm] f(0,0) = 1/2
[mm] \partial_{e_{1}} [/mm] f(0,0) + [mm] \partial_{e_{2}} [/mm] f(0,0) ... = 0
daraus folgt doch, dass nicht gateaux-diff.-bar und nicht linear.
d.h. [mm] f(x+\lambda [/mm] y) [mm] \not= [/mm] f(x) + [mm] \lambda [/mm] f(y)
|f(x,y) - f(0,0)| = [mm] |\bruch{xy^{2}}{x^{2}+y{4}} [/mm] | = |x| [mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}+y{4}} \le [/mm] |x|
und
|f(x,y) - f(0,0)| = [mm] |\bruch{xy^{2}}{x^{2}+y{4}} [/mm] | = [mm] y^{2} \bruch{x}{x^{2}+y{4}} \le y^{2}
[/mm]
wenn x gegen null dann acuh y gegen null damit (x,y) gegen (0,0) damit ist es stetig und das solls ja nicht sein.
Aufgabe 2:
h(1,1), [mm] \partial_h [/mm] f(0,0) = (2 * e) * [mm] (e)^{-1/2}
[/mm]
[mm] \partial_{e_{1}} [/mm] f(0,0) + [mm] \partial_{e_{2}} [/mm] f(0,0) ... = 0
daraus folgt doch, dass nicht gateaux-diff.-bar und nicht linear.
d.h. [mm] f(x+\lambda [/mm] y) [mm] \not= [/mm] f(x) + [mm] \lambda [/mm] f(y)
WIDERSPRUCH ZUR AUFGABE
Aufgabe3:
f(x) = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{p}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{\infty} |x|^{p} )^{1/p}
[/mm]
[mm] \partial_{h} [/mm] f(0,0,...,0) = 0
[mm] \partial_{e_{1}} [/mm] f(0,0,...,0) + [mm] \partial_{e_{2}} [/mm] f(0,0,...,0) ... = 0
Gateaux-diff.-bar.
Gruß Ultio
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 18.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
