Gauß-ALg. und Laplace. Ent. < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Di 11.09.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | Berechen Sie die Determinante der Folgenden Matrix sowohl durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte als auch durch den Gauß-Algorithmus:
[mm] \pmat{ 3 & 0 & 2 & 4 \\ -1 & -4 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 5} [/mm] |
Ich bekommen mit Gauß folgende Dreiecksmatrix:
[mm] \pmat{ -1 & -4 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 21}
[/mm]
Meine Lösung ist somit det A = -105
Mit dem Laplaceschem Entwicklungssatz komme ich aber auf folgende Lösung:
3* [mm] \vmat{ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 5} [/mm] - 0 * [mm] \vmat{ -1 & 1 & -2\\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 5} [/mm] + 2* [mm] \vmat{ -1 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 5} [/mm] - 4* [mm] \vmat{ -1 & -4 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 3}
[/mm]
Ergibt bei mir det A = 133
So meine Frage ist was hab ich falsch gemacht?
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Hallo Marius,
nun, beides stimmt nicht 
Aber das erste Ergebnis ist nahe dran. Du hast irgendwo nen VZF gemacht.
Es sollte $det(A)=105$ sein.
Hast du vllt bei der Umformung in ZSF mal Zeilen vertauscht und unterschlagen, dass die Determinante dabei ihr VZ ändert?
Oder ne Zeile mit -1 multipliziert?
> Berechen Sie die Determinante der Folgenden Matrix sowohl
> durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte als auch
> durch den Gauß-Algorithmus:
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & 2 & 4 \\ -1 & -4 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 5}[/mm]
>
> Ich bekommen mit Gauß folgende Dreiecksmatrix:
> [mm]\pmat{ -1 & -4 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 21}[/mm]
>
> Meine Lösung ist somit det A = -105
>
> Mit dem Laplaceschem Entwicklungssatz komme ich aber auf
> folgende Lösung:
> 3* [mm]\vmat{ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 5}[/mm] - 0 *
> [mm]\vmat{ -1 & 1 & -2\\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 5}[/mm] + 2* [mm]\vmat{ -1 & \red{-}4 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 5}[/mm]
> - 4* [mm]\vmat{ -1 & -4 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 3}[/mm]
>
> Ergibt bei mir det A = 133
> So meine Frage ist was hab ich falsch gemacht?
Ich hab das hier nicht nachgerechnet, mir ist nur auf die Schnelle aufgefallen, dass da in der einen Unterdeterminante ne [mm] \red{-4} [/mm] hin muss.
Ich hab hier noch nen link zu einem netten pdf über Rechenregeln für Determinanten.
Falls dich das interessiert, schau mal rein, ich find's gut
http://www-user.tu-chemnitz.de/~benner/Lehre/HM1/DeterminantenRegeln.pdf
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 11.09.2007 | | Autor: | vohigu |
kann mir das hier bitte jemand vorrechnen?
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Jo,
Entwicklung nach der 1. Zeile - also nach deinem Ansatz
[mm] $det(A)=3\cdot{}det\pmat{ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \\ 1 & 3 & 5}+2\cdot{}det\pmat{ -1 & -4 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 5}-4\cdot{}det\pmat{ -1 & -4 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 3}$
[/mm]
Die Determinanten der [mm] $3\times [/mm] 3$ Untermatrizen nun mit Sarrus berechnen:
[mm] $=3\cdot{}\left[(-4)\cdot{}(-2)\cdot{}5+1\cdot{}(-1)\cdot{}1+(-2)\cdot{}(-2)\cdot{}3-1\cdot{}(-2)\cdot{}(-2)-3\cdot{}(-1)\cdot{}(-4)-5\cdot{}(-2)\cdot{}1\right]$
[/mm]
[mm] $+2\cdot{}\left[(-1)\cdot{}(-2)\cdot{}5+(-4)\cdot{}(-1)\cdot{}0+(-2)\cdot{}2\cdot{}1-0\cdot{}(-2)\cdot{}(-2)-1\cdot{}(-1)\cdot{}(-1)-5\cdot{}2\cdot{}(-4)\right]$
[/mm]
[mm] $-4\cdot{}\left[(-1)\cdot{}(-2)\cdot{}3+(-4)\cdot{}(-2)\cdot{}0+1\cdot{}2\cdot{}1-0\cdot{}(-2)\cdot{}1-1\cdot{}(-2)\cdot{}(-1)-3\cdot{}2\cdot{}(-4)\right]$
[/mm]
[mm] $=3\cdot{}(40-1+12-4-12+10)+2(10-4-1+40)-4(6+2-2+24)=3\cdot{}45+2\cdot{}45-4\cdot{}30=135+90-120=105$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Di 11.09.2007 | | Autor: | vohigu |
ja hatte nochmal nachgerechnet, war ein bock in meiner Rechnung.
Danke dir vielmals musste testen ob ich das prinzip verstanden habe.
bist korekt, danke nochmals für deine zeit.
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Jo kein Ding,
es gibt ein nettes kleines online-tool, das dir Determinanten ausrechnet
Schau mal auf
[mm] \center{\text{www.mathetools.de}}
[/mm]
Da im linken Reiter unter Studium...
Damit hab ich dein erstes Ergebnis auch zuerst mal checken lassen
LG
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:54 Sa 03.11.2007 | | Autor: | jura |
mein problem ist wohl eher der gauss-algo- ich komme einfach nicht auf obige det in stufenform- kannst du mir evtl vorrechnen (oder einzelne zwischenschritte angeben)?? die restliche det-auflösung ist mir ja dann klar....nur wenn der anfang leider schon falsch is....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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