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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 16.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | Lösen Sie die beiden folgenden linearen Gleichungssysteme jeweils mit dem Gauß-Algorithmus und geben Sie bei beiden Systemen die Menge der Lösungen an.
a) [mm] 2x_{1}+4x_{3}=-1
[/mm]
[mm] -4x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=-6
[/mm]
[mm] 2x_{2}+2x_{3}=-4
[/mm]
b) [mm] x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=2
[/mm]
[mm] -x_{1}+x_{2}+x_{3}=3
[/mm]
[mm] -x_{1}+5x_{3}=3 [/mm] |
Hallo,
ich hab es leider nicht hinbekommen, die beiden Gleichungssysteme ordentlich untereinander zu schreiben.
Die Aufgabe a) habe ich ohne Probleme lösen können. Die Lösungen sind:
[mm] x_{1}=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=-1
[/mm]
[mm] x_{3}=-1
[/mm]
Bei Aufgabe b) hab ich aber leider Probleme. Als erstes habe ich I und II addiert um [mm] x_{2} [/mm] zu eliminieren. Dann hatte ich aber [mm] -x_{1}+5x_{3}=8 [/mm] und [mm] -x_{1}+5x_{3}=3 [/mm] und wenn ich die verrechne bekomme ich 0=5 raus.
Also hab ich es mit II-III versucht, da kommt [mm] x_{2}-4x_{3}=0 [/mm] raus und das mit I addiert, ergibt leider [mm] x_{1}-5x_{3}=2. [/mm] Also wieder das gleiche Problem, ich habe auch noch einen weiteren Versuch gestartet aber auch da das gleiche Problem.
Kann man dieses Gleichungssystem also nicht lösen oder mache ich einen Fehler in meiner Vorgehensweise?
Außerdem macht mir die Aufgabenstellung "...und geben Sie bei beiden Systemen die Menge der Lösungen an." Kopfschmerzen. Was wird mir "Menge der Lösungen" gemeint? Sind die drei Lösungen, wie ich sie in Aufgabe a) habe, gemeint oder wird nnoch mehr gefordert?
Ich hoffe auf eure Hilfe.
Jan
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Hallo, a) hast du korrekt gelöst, b) hat keine Lösung
stelle mal Gleichung (3) um [mm] x_1=5x_3-3 [/mm] dann in (1) und (2) einsetzen
(1) [mm] 5x_3-3-2x_2+3x_3=2
[/mm]
(2) [mm] -5x_3+3+x_2+x_3=3
[/mm]
(1) [mm] -2x_2+8x_3=5
[/mm]
(2) [mm] x_2-4x_3=0 [/mm] Multiplikation mit 2
(1) [mm] -2x_2+8x_3=5
[/mm]
(2) [mm] 2x_2-8x_3=0
[/mm]
addierst du die Gleichungen 0=5 hast du auch, somit hat b) keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 16.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Vielen Dank für die Antwort. Es freut mich, dass meine Berechnungen richtig sind. Muss ich also bei der Aufgabe b) an einem Beispiel zeigen, dass es nicht lösbar ist?
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> Vielen Dank für die Antwort. Es freut mich, dass meine
> Berechnungen richtig sind. Muss ich also bei der Aufgabe b)
> an einem Beispiel zeigen, dass es nicht lösbar ist?
Hallo,
ich weiß gar nicht, was Du mit "Beispiel" meinst. was schwebt Dir vor?
Normalerweise würde ich den gaußalgorithmus bis zum bitteren Ende durchführen und dann schreiben:
Rang der Koeffizientenmatrix [mm] \not= [/mm] Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, also hat das System keine Lösung, dh. [mm] L=\emptyset.
[/mm]
(Diese Rangsachen hattet Ihr doch, oder?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 16.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Das habe ich mit Beispiel gemeint, also solange weiterrechnen, bis man eindeutig sehen kann, dass es keine Lösung gibt, aber so weit habe ich doch eigentlich schon gerechnet?
Das mit den Rangsachen hatten wir zwar, ich war da aber leider krank, und mit den Unterlagen eines Kommilitonen kann ich leider nicht sehr viel anfangen, deshalb beruhen meine Überlegungen auf das, was ich darüber im Abi gelernt habe.
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> Das habe ich mit Beispiel gemeint, also solange
> weiterrechnen, bis man eindeutig sehen kann, dass es keine
> Lösung gibt, aber so weit habe ich doch eigentlich schon
> gerechnet?
Hallo,
man erwartet von Dir hier sicher, daß Du das in Matrixform aufschreibst, also die Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix angibst.
>
> Das mit den Rangsachen hatten wir zwar, ich war da aber
> leider krank, und mit den Unterlagen eines Kommilitonen
> kann ich leider nicht sehr viel anfangen
Du mußt das nacharbeiten.
Begriffe: Koeffizientenmatrix, erweiterte Koeffizientenmatrix.
Sätze:
1. Rang Koeffizientenmatrix = Rang erweiterte Koeffizientenmatrix ==> System ist lösbar
2. Rang Koeffizientenmatrix [mm] \not= [/mm] Rang erweiterte Koeffizientenmatrix ==> System ist nicht lösbar
3. Koeffizientenmatrix hat vollen Rang ==> System ist eindeutig lösbar
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 So 16.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
OK vielen Dank. Dann werde ich mich mal im Lehrbuch damit beschäftigen und hoffen, dass ich alles verstehe. Bei Fragen, werde ich nochmal schreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 16.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Habe grade bemerkt, dass wir noch garnicht über lineare Gleichungssysteme in Matrixform geredet haben. Laut Plan kommen Matrizen erst nächste Woche dran. Dann werden die doch wohl kaum von mir die Matrixform erwarten, oder?
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Hallo Jan,
> Habe grade bemerkt, dass wir noch garnicht über lineare
> Gleichungssysteme in Matrixform geredet haben. Laut Plan
> kommen Matrizen erst nächste Woche dran. Dann werden die
> doch wohl kaum von mir die Matrixform erwarten, oder?
Nein, dann nicht, aber wenn du bei den Umformungen auf eine Gleichung [mm] $0=\text{irgendwas} \neq [/mm] 0$ kommst, kann das LGS nie lösbar sein, du kannst also an der Stelle getrost aufhören ...
Also [mm] $\mathbb{L}=\emptyset$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 So 16.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke! Das freut mich. Vielleicht muss ich ja dann nächste Woche auf die Matrixform eingehen. Dann kann ich aber auch das Wissen von der Vorlesung einbringen.
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