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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Marcel93 |
| Aufgabe | Gegeben ist:
A = [mm] \pmat{ 2 & -4 & 1 \\ -4 & 6 & 3 \\ -2 & -4t & 11t } [/mm] , b = [mm] \vektor{-18 \\ 12 \\ 6}
[/mm]
Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus det A.
Für welche Werte von t ist das System Ax = b für beliebige rechte Seiten b [mm] \in \IR [/mm] ^3 eindeutig lösbar?
Bestimmen Sie die Lösungsmenge von Ax = b für den Fall t = 0. |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage bezüglich der gegebenen Aufgabe. Was gemacht werden muss, ist mir im Prinzip klar. Eine kleine Unklarheit würde ich aber gerne dennoch beseitigen.
Bei der Berechnung der Aufgabe muss der Gauß-Algorithmus benutzt werden. Die ersten beiden Zeilenoperationen gehen leicht von Hand. Die Lambdas lauten: 2 und 1. Es ergibt sich: [mm] \pmat{ 2 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & -4t-4 & 11t+1 } [/mm] x = [mm] \vektor{-18 \\ -24 \\ -12}.
[/mm]
(Zeilenoperation Bsp: z2=z2 + [mm] \lambda [/mm] z1)
Als nächstes muss man als Lambda [mm] \bruch{-4t-4}{-2} [/mm] wählen, damit man bei der nächsten Zeilenoperation an der stelle [3,2] eine 0 erzeugt.
Meine Frage lautet jetzt: Muss dieser Bruch noch negiert werden?
Wenn ich das nicht tue ( im Gegensatz zu den ersten beiden Zeilenoperationen) bekomme ich ein durchaus brauchbares Ergebnis raus, wahrscheinlich auch das Richtige. Wenn ich allerdings den Bruch negiere, bekomme ich nur Käse raus. Ich sollte dazu noch sagen, dass es sich um eine Klausuraufgabe handelt, also wird ohne Taschenrechner gerechnet. Wenn man also auf Zahlen mit 10 Nachkommastellen kommt, weiß man, dass etwas nicht stimmt.
Die Zeilenoperationen müssen (bei meinem Dozenten) mit einer Addition durchgeführt werden, anstatt wie bei vielen Anderen mit einer Subtraktion.
Ich hoffe man hat mich verstanden :D
Eine schnelle Antwort wäre mir wichtig, da ich morgen bereits in meiner Klausur sitzen werde ^^
LG, Marcel.
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Hallo,
> Gegeben ist:
> A = [mm]\pmat{ 2 & -4 & 1 \\ -4 & 6 & 3 \\ -2 & -4t & 11t }[/mm] , b = [mm]\vektor{-18 \\ 12 \\ 6}[/mm]
>
> Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus det A.
> Für welche Werte von t ist das System Ax = b für
> beliebige rechte Seiten b [mm]\in \IR[/mm] ^3 eindeutig lösbar?
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge von Ax = b für den Fall t
> = 0.
> Hallo Leute,
>
> ich habe eine Frage bezüglich der gegebenen Aufgabe. Was
> gemacht werden muss, ist mir im Prinzip klar. Eine kleine
> Unklarheit würde ich aber gerne dennoch beseitigen.
>
> Bei der Berechnung der Aufgabe muss der Gauß-Algorithmus
> benutzt werden. Die ersten beiden Zeilenoperationen gehen
> leicht von Hand. Die Lambdas lauten: 2 und 1. Es ergibt
> sich: [mm]\pmat{ 2 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & -4t-4 & 11t+1 }[/mm]
> x = [mm]\vektor{-18 \\ -24 \\ -12}.[/mm]
Mal b, mal x ... was denn nun?
>
> (Zeilenoperation Bsp: z2=z2 + [mm]\lambda[/mm] z1)
>
> Als nächstes muss man als Lambda [mm]\bruch{-4t-4}{-2}[/mm]
> wählen, damit man bei der nächsten Zeilenoperation an der
> stelle [3,2] eine 0 erzeugt.
>
> Meine Frage lautet jetzt: Muss dieser Bruch noch negiert
> werden?
Ja, wenn du das [mm]\lambda[/mm]-fache von Zeile 2 auf die Zeile 3 ADDIEREN möchtest
Allg. möchtest du den Eintrag [mm]a_{32}[/mm] loswerden mithilfe des Eintrags [mm]a_{22}[/mm]
Dazu addiere das [mm]\red{-\frac{a_{32}}{a_{22}}}[/mm]-fache von Zeile 2 auf Zeile 3
[mm]\red{-\frac{a_{32}}{a_{22}}}\cdot{}a_{22} \ + \ a_{32} \ = \ 0[/mm]
> Wenn ich das nicht tue ( im Gegensatz zu den ersten beiden
> Zeilenoperationen) bekomme ich ein durchaus brauchbares
> Ergebnis raus, wahrscheinlich auch das Richtige. Wenn ich
> allerdings den Bruch negiere, bekomme ich nur Käse raus.
Wieso das?
> Ich sollte dazu noch sagen, dass es sich um eine
> Klausuraufgabe handelt, also wird ohne Taschenrechner
> gerechnet. Wenn man also auf Zahlen mit 10 Nachkommastellen
> kommt, weiß man, dass etwas nicht stimmt.
> Die Zeilenoperationen müssen (bei meinem Dozenten) mit
> einer Addition durchgeführt werden, anstatt wie bei vielen
> Anderen mit einer Subtraktion.
Jo, so ist das streng definiert.
Aber das Negative einer Zeile zu einer anderen addieren ist doch subtrahieren ...
>
> Ich hoffe man hat mich verstanden :D
> Eine schnelle Antwort wäre mir wichtig, da ich morgen
> bereits in meiner Klausur sitzen werde ^^
> LG, Marcel.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Marcel93 |
> Hallo,
>
> > Gegeben ist:
> > A = [mm]\pmat{ 2 & -4 & 1 \\ -4 & 6 & 3 \\ -2 & -4t & 11t }[/mm]
> , b = [mm]\vektor{-18 \\ 12 \\ 6}[/mm]
> >
> > Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus det A.
> > Für welche Werte von t ist das System Ax = b für
> > beliebige rechte Seiten b [mm]\in \IR[/mm] ^3 eindeutig lösbar?
> > Bestimmen Sie die Lösungsmenge von Ax = b für den Fall
> t
> > = 0.
> > Hallo Leute,
> >
> > ich habe eine Frage bezüglich der gegebenen Aufgabe.
> Was
> > gemacht werden muss, ist mir im Prinzip klar. Eine
> kleine
> > Unklarheit würde ich aber gerne dennoch beseitigen.
> >
> > Bei der Berechnung der Aufgabe muss der
> Gauß-Algorithmus
> > benutzt werden. Die ersten beiden Zeilenoperationen
> gehen
> > leicht von Hand. Die Lambdas lauten: 2 und 1. Es ergibt
> > sich: [mm]\pmat{ 2 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & -4t-4 & 11t+1 }[/mm]
>
> > x = [mm]\vektor{-18 \\ -24 \\ -12}.[/mm]
>
> Mal b, mal x ... was denn nun?
Es ergibt sich ein Gleichungssystem der Form Ax = b,
A und b sind gegeben und x ist gesucht, das steht aber außerhalb meiner Frage.
>
> >
> > (Zeilenoperation Bsp: z2=z2 + [mm]\lambda[/mm] z1)
> >
> > Als nächstes muss man als Lambda [mm]\bruch{-4t-4}{-2}[/mm]
> > wählen, damit man bei der nächsten Zeilenoperation an
> der
> > stelle [3,2] eine 0 erzeugt.
> >
> > Meine Frage lautet jetzt: Muss dieser Bruch noch
> negiert
> > werden?
>
> Ja, wenn du das [mm]\lambda[/mm]-fache von Zeile 2 auf die Zeile 3
> ADDIEREN möchtest
>
> Allg. möchtest du den Eintrag [mm]a_{32}[/mm] loswerden mithilfe
> des Eintrags [mm]a_{22}[/mm]
>
> Dazu addiere das [mm]\red{-\frac{a_{32}}{a_{22}}}[/mm]-fache von
> Zeile 2 auf Zeile 3
>
> [mm]\red{-\frac{a_{32}}{a_{22}}}\cdot{}a_{22} \ + \ a_{32} \ = \ 0[/mm]
>
> > Wenn ich das nicht tue ( im Gegensatz zu den ersten beiden
> > Zeilenoperationen) bekomme ich ein durchaus brauchbares
> > Ergebnis raus, wahrscheinlich auch das Richtige. Wenn
> ich
> > allerdings den Bruch negiere, bekomme ich nur Käse
> raus.
>
> Wieso das?
Wenn ich den Bruch negiere ( ich hoffe ich hab alles richtig gemacht) bekomme ich in meiner Matrix A an der Stelle 3,3 raus: 21t+11 . Wenn nicht, dann erhalte ich: t-9.
Das ist um einiges angenehmer und wahrscheinlich auch das, worauf abgezielt wurde. Davon gehe ich jedenfalls aus.
> > Ich sollte dazu noch sagen, dass es sich um eine
> > Klausuraufgabe handelt, also wird ohne Taschenrechner
> > gerechnet. Wenn man also auf Zahlen mit 10
> Nachkommastellen
> > kommt, weiß man, dass etwas nicht stimmt.
> > Die Zeilenoperationen müssen (bei meinem Dozenten) mit
> > einer Addition durchgeführt werden, anstatt wie bei
> vielen
> > Anderen mit einer Subtraktion.
>
> Jo, so ist das streng definiert.
>
> Aber das Negative einer Zeile zu einer anderen addieren ist
> doch subtrahieren ...
>
> >
> > Ich hoffe man hat mich verstanden :D
> > Eine schnelle Antwort wäre mir wichtig, da ich morgen
> > bereits in meiner Klausur sitzen werde ^^
> > LG, Marcel.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
LG, Marcel
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Hallo,
> > > leicht von Hand. Die Lambdas lauten: 2 und 1. Es
> ergibt
> > > sich: [mm]\pmat{ 2 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & -4t-4 & 11t+1 }[/mm]
>
> >
> > > x = [mm]\vektor{-18 \\ -24 \\ -12}.[/mm]
> >
> > Mal b, mal x ... was denn nun?
>
> Es ergibt sich ein Gleichungssystem der Form Ax = b,
> A und b sind gegeben und x ist gesucht, das steht aber
> außerhalb meiner Frage.
>
>
> Wenn ich den Bruch negiere ( ich hoffe ich hab alles
> richtig gemacht) bekomme ich in meiner Matrix A an der
> Stelle 3,3 raus: 21t+11 .
Das rechne mal vor!
> Wenn nicht, dann erhalte ich:
> t-9.
???
Das ist richtig und ergibt sich, wenn du [mm]\red{-}\left(\frac{-4t-4}{-2}\right)\cdot{}\text{Zeile 2}[/mm] zu Zeile 3 addierst ...
Beachte: [mm]\red{-}\left(\frac{-4t-4}{-2}\right)=-2t-2[/mm]
Gibt im letzten Eintrag multipliziert mit 5 dann [mm]-10t-10[/mm]
Das zu [mm]11t+1[/mm] addiert, ergibt in Zeile 3 am Ende [mm]t-9[/mm]
> Das ist um einiges angenehmer und wahrscheinlich auch das,
> worauf abgezielt wurde. Davon gehe ich jedenfalls aus.
Irgendwie hast du dich beim Negieren oder Nicht-Negieren verschustert ....
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Marcel93 |
> Das ist richtig und ergibt sich, wenn du
> [mm]\red{-}\left(\frac{-4t-4}{-2}\right)\cdot{}\text{Zeile 2}[/mm]
> zu Zeile 3 addierst ...
>
> Beachte: [mm]\red{-}\left(\frac{-4t-4}{-2}\right)=-2t-2[/mm]
>
> Gibt im letzten Eintrag multipliziert mit 5 dann [mm]-10t-10[/mm]
>
> Das zu [mm]11t+1[/mm] addiert, ergibt in Zeile 3 am Ende [mm]t-9[/mm]
>
> > Das ist um einiges angenehmer und wahrscheinlich auch das,
> > worauf abgezielt wurde. Davon gehe ich jedenfalls aus.
>
> Irgendwie hast du dich beim Negieren oder Nicht-Negieren
> verschustert ....
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Das klingt einleuchtend. Ich habe meine Rechnung nochmal überprüft. Tatsächlich bin ich mit dem Negieren durcheinander gekommen und habe deshalb logischerweise etwas komisches rausbekommen.
Ich bedanke mich für die Hilfe.
LG, Marcel.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo!
Du musst natürlich genau so vorgehen wie bei den anderen Zeilen auch, also, die zweite Zeile mit dem negierten, von dir angegebenen Bruch multiplizieren und zur dritten Zeile addieren.
Die letzte Zeile wird dann zu
[mm] $\pmat{0&0&t-9&|&12*(4t+3)}$.
[/mm]
Somit ist
[mm] $\vmat{A}=4*(9-t)$
[/mm]
und
[mm] ${\vec{x}}=\frac{3}{t-9}\vektor{77*t+9\\2*(22*t-3)\\4*(4*t+3)}$.
[/mm]
Gruß RMix
P.S.: Kann es sein, dass wir diese Aufgabe vor Kurzem schon einmal hier hatten?
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