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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Gauß-Elimination mit Variablen
Gauß-Elimination mit Variablen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gauß-Elimination mit Variablen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Mo 07.07.2014
Autor: Marcel93

Aufgabe
Gegeben ist das lienare Gleichungssystem
A * x = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 6 & 5 & 13 \\ -2 & -5 & -11} [/mm] * x [mm] =\vektor{1 \\ 5 \\ t} [/mm]

Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von t. Falls diese nicht leer ist, geben Sie sie in Punkt-Richtungs-Form an und deren geometrische Form.

Ich habe hier noch eine weitere Aufgabe, an der ich grade ein wenig hänge. Gleiches Thema wie bei meiner anderen Frage, nur liegt das Problem jetzt an einer anderen Stelle.

Den Anfang mache ich wieder mit dem Gauß-Algorithmus.
Die stellen a21 und a31 sind schnell errechnet.
Ich erhalte: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & -8 } [/mm] * x = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ t + 1} [/mm]
Wenn ich den nächsten Eliminationsschritt durchführe, komme ich zwangsweise auf eine Nullzeile in meiner Matrix. Auf der Rechten Seite steht dann der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ t+5} [/mm]

Wie genau gehe ich jetzt weiter vor?

LG, Marcel

        
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 Mo 07.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe hier noch eine weitere Aufgabe, an der ich grade
> ein wenig hänge. Gleiches Thema wie bei meiner anderen
> Frage, nur liegt das Problem jetzt an einer anderen
> Stelle.

Gleiches Thema hin oder her: bitte beginne jede neue Aufgabe auch in einem neuen Thread, der Übersicht halber. Diese Frage habe ich von dem ursprünglichen Thread abgespalten.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mo 07.07.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Gegeben ist das lienare Gleichungssystem
> A * x = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 6 & 5 & 13 \\ -2 & -5 & -11}[/mm] *
> x [mm]=\vektor{1 \\ 5 \\ t}[/mm]

>

> Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von t.
> Falls diese nicht leer ist, geben Sie sie in
> Punkt-Richtungs-Form an und deren geometrische Form.
> Ich habe hier noch eine weitere Aufgabe, an der ich grade
> ein wenig hänge. Gleiches Thema wie bei meiner anderen
> Frage, nur liegt das Problem jetzt an einer anderen
> Stelle.

>

> Den Anfang mache ich wieder mit dem Gauß-Algorithmus.
> Die stellen a21 und a31 sind schnell errechnet.
> Ich erhalte: [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & -8 }[/mm]
> * x = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ t + 1}[/mm]
> Wenn ich den nächsten Eliminationsschritt durchführe,
> komme ich zwangsweise auf eine Nullzeile in meiner Matrix.
> Auf der Rechten Seite steht dann der Vektor [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ t+5}[/mm]

>

> Wie genau gehe ich jetzt weiter vor?

Es muss der letzte Eintrag wohl 0 sein, damit es eine Lösung gibt. Also [mm]t=-5[/mm].

Bestimme dann die Lösung

Wie sieht's im Falle [mm]t\neq -5[/mm] mit der Lösbarkeit aus?

>

> LG, Marcel

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mo 07.07.2014
Autor: Marcel93


> Es muss der letzte Eintrag wohl 0 sein, damit es eine
> Lösung gibt. Also [mm]t=-5[/mm].
>  
> Bestimme dann die Lösung
>  
> Wie sieht's im Falle [mm]t\neq -5[/mm] mit der Lösbarkeit aus?
>  
> >
>  > LG, Marcel

>  
> Gruß
>  
> schachuzipus


Damit es eine Lösung geben kann, muss t = -5 sein, damit in der letzten Zeile steht: 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0.
Wenn t [mm] \not= [/mm] -5 ist, dann ist die Lösbarkeit nicht gegeben, weil dort dann im Endeffekt stehen würde 0 = [mm] \IR [/mm] ohne 0 und das ist ja falsch.

Wie gehe ich weiter vor um die Aufgabe komplett zu lösen?
Dass die geometrische Form eine Gerade sein muss kann ich jetzt schon sagen.

LG, Marcel

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Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mo 07.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> > Es muss der letzte Eintrag wohl 0 sein, damit es eine
> > Lösung gibt. Also [mm]t=-5[/mm].
> >
> > Bestimme dann die Lösung
> >
> > Wie sieht's im Falle [mm]t\neq -5[/mm] mit der Lösbarkeit aus?
> >
> > >
> > > LG, Marcel
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus

>
>

> Damit es eine Lösung geben kann, muss t = -5 sein, damit
> in der letzten Zeile steht: 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0.
> Wenn t [mm]\not=[/mm] -5 ist, dann ist die Lösbarkeit nicht
> gegeben, weil dort dann im Endeffekt stehen würde 0 = [mm]\IR[/mm]
> ohne 0

Das ist aber arg unschön notiert, so etwas sollte man sich nicht angewöhnen.

> und das ist ja falsch.

Sei so gut und rechne nochmals nach. Ich hab es jetzt zweimal gerechnet und bekomme als potentielle Nullzeile

0 0 0 | t-5

Insofern würde alles oben gesagte stimmen bis eben auf die Tatsache, dass dich der Fall t=5 interessiert.

> Wie gehe ich weiter vor um die Aufgabe komplett zu lösen?
> Dass die geometrische Form eine Gerade sein muss kann ich
> jetzt schon sagen.

Löse für t=5 das LGS in Abhängigkeit eines Parameters, etwa [mm] x_3=\lambda [/mm] und bringe die Lösungsmenge anschließend in die gewünschte Form.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mo 07.07.2014
Autor: schachuzipus

Hi Diophant,

ich komme wie der Aufgabensteller auf $t+5$ ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Debugger gefragt :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 Mo 07.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hi Diophant,

>

> ich komme wie der Aufgabensteller auf [mm]t+5[/mm] ...

>

> Gruß

>

> schachuzipus

Hm.

[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 2&1&3&3\\ 6&5&13&5\\ -2&-5&-11&t\end{array} \right) [/mm]

III'=I+III:

[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 2&1&3&3\\ 6&5&13&5\\ 0&-4&-8&t+3\end{array}\right) [/mm]


II'=-3*I+II:

[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 2&1&3&3\\ 0&2&4&-4\\ 0&-4&-8&t+3\end{array} \right) [/mm]


III''=2*II'+III': 

[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 2&1&3&3\\ 0&2&4&-4\\ 0&0&0&t-5\end{array} \right) [/mm]

Wo ist mein Fehler? :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Mo 07.07.2014
Autor: schachuzipus

Hola,

> Hallo,

>

> > Hi Diophant,
> >
> > ich komme wie der Aufgabensteller auf [mm]t+5[/mm] ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus

>

> Hm.

>

> [mm]\left( \begin{array}{ccc|c} 2&1&3&\red{3}\\ 6&5&13&5\\ -2&-5&-11&t\end{array} \right)[/mm]

So kann das nix werden ;-)

[lupe]


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                        
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Mo 07.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hola,
> >
> > [mm]\left( \begin{array}{ccc|c} 2&1&3&\red{3}\\ 6&5&13&5\\ -2&-5&-11&t\end{array} \right)[/mm]

>

> So kann das nix werden ;-)

>

> [lupe]

Ja, jetzt hab ichs auch gesehen. Vielen Dank fürs drüber sehen und sorry für die Verwirrung. :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Mo 07.07.2014
Autor: Marcel93


> Das ist aber arg unschön notiert, so etwas sollte man
> sich nicht angewöhnen.
>  
> > und das ist ja falsch.
>  
> Sei so gut und rechne nochmals nach. Ich hab es jetzt
> zweimal gerechnet und bekomme als potentielle Nullzeile
>  
> 0 0 0 | t-5
>  

Habs nochmal gerechnet, ich komme wieder auf:
0 0 0 | t+5

Es gibt 2 Zeilenoperationen, von denen die dritte Zeile Betroffen ist.
Einmal z3 = z3 + 1*z1
und    z3 = z3 + 2*z2

Im Bezug zu dem t also:
t + 1
und danach: (t+1) + (2*2)
Also: t+5

> Insofern würde alles oben gesagte stimmen bis eben auf die
> Tatsache, dass dich der Fall t=5 interessiert.
>  
> > Wie gehe ich weiter vor um die Aufgabe komplett zu lösen?
>  > Dass die geometrische Form eine Gerade sein muss kann

> ich
>  > jetzt schon sagen.

>  
> Löse für t=5 das LGS in Abhängigkeit eines Parameters,
> etwa [mm]x_3=\lambda[/mm] und bringe die Lösungsmenge anschließend
> in die gewünschte Form.
>  
>
> Gruß, Diophant

Also kann ich schon mal davon ausgehen, dass x3 = 0 ist?
In dem Fall würde ich für x2 auf 1 kommen und für x1 auch auf 0. In dem Fall wäre:
x = [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

und die Punkt-Richtungs-Form:

g : x = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Wäre das richtig so?

LG, Marcel


Bezug
                                        
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 07.07.2014
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Habs nochmal gerechnet, ich komme wieder auf:
> 0 0 0 | t+5

Passt!


> Also kann ich schon mal davon ausgehen, dass x3 = 0 ist?

Nein, [mm] $x_3$ [/mm] kann eine bel. reelle Zahl [mm] $\lambda$ [/mm] sein.

Also [mm] $x_3=\lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm]

Das setze in Zeile 2 ein, um [mm] $x_2$ [/mm] abzugreifen.

Das dann zusammen mit [mm] $x_3=\lambda$ [/mm] in Zeile 1 und nach [mm] $x_1$ [/mm] auflösen ...


> In dem Fall würde ich für x2 auf 1 kommen und für x1
> auch auf 0. In dem Fall wäre:
> x = [mm]\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]

>

> und die Punkt-Richtungs-Form:

>

> g : x = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + t * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]

>

> Wäre das richtig so?

[mm] $\vektor{0\\1\\0}$ [/mm] ist der Stützvektor, aber der Richtungsvektor stimmt nicht.

Löse wie beschrieben ...


>

> LG, Marcel

>

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mo 07.07.2014
Autor: Marcel93


> > Also kann ich schon mal davon ausgehen, dass x3 = 0 ist?
>  
> Nein, [mm]x_3[/mm] kann eine bel. reelle Zahl [mm]\lambda[/mm] sein.
>  
> Also [mm]x_3=\lambda[/mm] mit [mm]\lambda\in\IR[/mm]
>  
> Das setze in Zeile 2 ein, um [mm]x_2[/mm] abzugreifen.
>  
> Das dann zusammen mit [mm]x_3=\lambda[/mm] in Zeile 1 und nach [mm]x_1[/mm]
> auflösen ...
>  

Ich habe für x3 = 2 gewählt und komme dadurch dann auf
x = [mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ 2} [/mm]


> Löse wie beschrieben ...
>  

Wie genau mache ich das denn mit der Punkt-Richtungs-Form? Stehe da grade ein wenig auf dem Schlauch...

> >
>  > LG, Marcel

>  >
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus

LG, Marcel

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Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mo 07.07.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

eine ZSF sieht bei mir so aus:

[mm] \pmat{2&1&3&\parallel&1\\0&1&2&\parallel&1\\0&0&0&\parallel&5+t}. [/mm]

Wie Du bereits erwähntest, hat das System für [mm] t\not=-5 [/mm] keine Lösung.

Für t=-5 haben wir die ZSF

[mm] \pmat{\red{2}&1&3&\parallel&1\\0&\red{1}&2&\parallel&1\\0&0&0&\parallel&0}. [/mm]

Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) stehen in Spalte 1 und 2. Wir können die 3. Variable frei wählen.

Mit

[mm] x_3=\lambda [/mm] bekommen wir aus Zeile 2

   [mm] x_2+2x_3=1 [/mm] <==> [mm] x_2=-2x_3+1, [/mm] also

[mm] x_2=-2\lambda [/mm] +1,

aus der 1. Zeile bekommen wir

   [mm] 2x_1+x_2+3x_3=1 [/mm] <==> [mm] x_1=0.5*(1-x_2-3x_3), [/mm] also

[mm] x_1=-0.5\lambda. [/mm]

Alle Lösungsvektoren haben die Gestalt

[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-0.5\lambda \\-2\lambda +1\\\lambda}=\vektor{0\\1\\0}+\lambda\vektor{-0.5\\-2\\1}, \qquad \lambda\in \IR, [/mm]

und damit hast Du die Punkt-Richtungsform.

LG Angela


 

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Bezug
Gauß-Elimination mit Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Mo 07.07.2014
Autor: Marcel93


> Hallo,
>  
> eine ZSF sieht bei mir so aus:
>  
> [mm]\pmat{2&1&3&\parallel&1\\0&1&2&\parallel&1\\0&0&0&\parallel&5+t}.[/mm]
>  
> Wie Du bereits erwähntest, hat das System für [mm]t\not=-5[/mm]
> keine Lösung.
>  
> Für t=-5 haben wir die ZSF
>  
> [mm]\pmat{\red{2}&1&3&\parallel&1\\0&\red{1}&2&\parallel&1\\0&0&0&\parallel&0}.[/mm]
>  
> Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) stehen in
> Spalte 1 und 2. Wir können die 3. Variable frei wählen.
>  
> Mit
>  
> [mm]x_3=\lambda[/mm] bekommen wir aus Zeile 2
>  
>    [mm]x_2+2x_3=1[/mm] <==> [mm]x_2=-2x_3+1,[/mm] also
>  
> [mm]x_2=-2\lambda[/mm] +1,
>  
> aus der 1. Zeile bekommen wir
>  
>    [mm]2x_1+x_2+3x_3=1[/mm] <==> [mm]x_1=0.5*(1-x_2-3x_3),[/mm] also
>  
> [mm]x_1=-0.5\lambda.[/mm]
>  
> Alle Lösungsvektoren haben die Gestalt
>  
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-0.5\lambda \\-2\lambda +1\\\lambda}=\vektor{0\\1\\0}+\lambda\vektor{-0.5\\-2\\1}, \qquad \lambda\in \IR,[/mm]
>  
> und damit hast Du die Punkt-Richtungsform.
>  
> LG Angela
>  

Vielen Dank für die Antwort(en)

Hab das selbst nochmal durchgerechnet und kann auch alles nachvollziehen.
Jetzt müsste ich alles verstanden haben :)

LG Marcel

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