Gauss-Interpolation höhe ermit < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pfeiffy |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe folgendes Problem: ich habe n Messpunkte mit den Koordinaten (x,y,z) und einen bekannten Punkt (x,y), welcher sich innerhalb der Messpunkte befindet, von diesem möchte ich annähernd die Höhe (z)ermitteln.
Folgendes habe ich gefunden:
Es seien n Messpunkte (xi,yi), i=1,...n, mit zugehörigen Messwerten zi vorhanden.
Als Ausgangspunkt zur Berechnung einer Interpolationsfunktion dienen beim Gaussverfahren die Gauss'schen Glockenfunktionen (Grundfunktionen) für die Messwerte. Diese haben die Form
Gl1: g(x) = 1/1+sqrt((x-x1)²+(y-yi)²)/m²) (sqrt ist die Wurzel)
mit m: Mittel aller Messpunktabstände zueinander.
Die Grundfunktionen gi stellen Rotationsflächen dar mit der Rotationsachse im zugeordneten Messpunkt (xi,yi). Diese werden linear zu einer Flächenfunktion verknüpft:
Gl2: z(x,y) = b1 g1(x,y) + b2 g2(x,y) + ... + bn gn(x,y)
Die zur Linearkombination verwendeten Koeffizienten bj sind unbekannt und bilden die Scharparameter der Flächenfunktion. Die Bestimmung der Scharparameter ergibt sich aus der Forderung, dass die Messwerte auf der durch die Flächenfunktion definierten Fläche liegen müssen. Für jeden Messpunkt i ergibt sich eine Bedingungsgleichung:
Gl3: zi = z(xi,yi) = b1 g1(xi,yi) + b2 g2(xi,yi) + ... + bn gn(xi,yi)
Dies führt zu einem symmetrischen (n x n) Gleichungssystem, für die n Unbekannten bi, i=1,...n.
Nach der Ermittlung der Unbekannten bi kann für jeden Netzknoten bzw. für jeden Elementmittelpunkt mit den Koordinaten x und y der zugehörige Funktionswert durch Einsetzen in die Flächenfunktion z(x,y) berechnet werden.
Die Gleichung g(i) ist kein Problem, wie bekomme ich jedoch die verwendeten Koeffizienten bj (1..n) heraus? kann mir hier jemand weiterhelfen.
Gruß und Dank Pfeiffy
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=358034&hilightuser=19111
oder
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Hallo Pfeiffy,
Wenn Du die Funktionen g1..gn hast musst Du zur Bestimmung der Koeffizienten ein Gleichungssystem aufstellen.
Grüße
mathemaduenn
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