Gauß-Verfahren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
also irgendwie werde ich bei diesem Verfahren nicht schlau. Also das mit Matrix oder so hatten wir noch nicht.
Ich habe hier mal ein Beispiel:
|3x-2y+5z=13|
|-x+3y+4z=-1|
|5x+6y-1z=3 |
ALso ich würde mich sehr freuen, wenn mir das mal jemand an diesem beispiel einfach erklären würde 
danke im vorraus und viele grüße
informacao
|
|
| |
|
Hallo Informacao,
wirf doch bitte mal einen Blick in unsere  MatheBank, insbesondere in Gauß-Algorithmus.
Dann wendset du dir dort beschriebenen Regeln auf dein Gleichungssystem an, löst es auf diese Weise und machst die Probe.
Wenn dann noch Fragen bleiben, zeigst du uns deinen Rechenweg und wir helfen dir weiter.
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hi!
Ich kenne die Mathe-Bank 
Ich kann allerdings mit diesen mir noch unbekannte Schreibweisen nichts anfangen...
Ist eine andere Hilfe möglich?
Ich weiß schon, dass es sich hierbei um ein Eliminationsverfahren handelt und das Ziel darin besteht, die Variablen in eine Dreiecksform zu führen. Allerdings verzweifle ich dann immer, wenn ich das selbst mache.. Ich bräuchte soetwas wie ein allgemeines Vorgehen!
Viele Grüße
Informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:37 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Informacao!
wenn ihr die schreibweise noch nicht hattet, dann machs doch ganz einfach:
löse eine gleichung nach x auf und setz das in die anderen beiden ein. dann hast du 2 gleichungen, in denen nur y und z vorkommen, dann wieder nach einem auflösen - z.b. y - und einsetzen....
aber ich kann dir auch die (viel einfachere) matrix version erklären:
als erstes packst du das gleichungssystem in eine matrix. die variablen lässt du dabei weg und das was auf der rechten seite steht kommt hinter einen strich:
[mm] \pmat{3&-2&5&|&13\\-1&3&4&|&-1\\5&6&-1&|&3}
[/mm]
du darfst jetzt sog. zeilenumformungen durchführen.
also zum beispiel
- eine zeile mit einem beliebigen faktor (ungleich null) multiplizieren
- eine zeile zu einer anderen addieren / von einer anderen abziehen
- zwei zeilen vertauschen
wichtig ist nur, dass du auch das, was hinter dem strich steh einbeziehst!
bei deiner aufgabe gehe ich so vor:
zuerst vertausche ich die erste mit der zweiten zeile
[mm] \pmat{-1&3&4&|&-1\\3&-2&5&|&13\\5&6&-1&|&3}
[/mm]
und multipliziere die erste zeile mit -1
[mm] \pmat{1&-3&-4&|&1\\3&-2&5&|&13\\5&6&-1&|&3}
[/mm]
jetzt ziehe ich von der zweiten zeile das 3-fache der ersten zeile ab
[mm] \pmat{1&-3&-4&|&1\\0&7&17&|&10\\5&6&-1&|&3}
[/mm]
von der dritten zeile ziehe ich das 5-fache der ersten zeile ab
[mm] \pmat{1&-3&-4&|&1\\0&7&17&|&10\\0&21&19&|&-2}
[/mm]
jetzt die dritte zeile minus das 3-fache der zweiten zeile
[mm] \pmat{1&-3&-4&|&1\\0&7&17&|&10\\0&0&-32&|&-32}
[/mm]
dritte zeile durch -32 teilen
[mm] \pmat{1&-3&-4&|&1\\0&7&17&|&10\\0&0&1&|&1} [/mm] (*)
zweite zeile minus 17 mal die dritte
[mm] \pmat{1&-3&-4&|&1\\0&7&0&|&-7\\0&0&1&|&1}
[/mm]
zweite zeile durch 7
[mm] \pmat{1&-3&-4&|&1\\0&1&0&|&-1\\0&0&1&|&1}
[/mm]
erste zeile plus drei mal die zweite
[mm] \pmat{1&0&-4&|&-2\\0&1&0&|&-1\\0&0&1&|&1}
[/mm]
erste zeile plus vier mal die dritte
[mm] \pmat{1&0&0&|&2\\0&1&0&|&-1\\0&0&1&|&1}
[/mm]
du kannst jederzeit die matrix wieder in ein gleichungssystem zurückführen. hier wäre das jetzt
[mm]x+0*y+0*z=2 \quad \gdw \quad x=2[/mm]
[mm]0*x+y+0*z=-1 \quad \gdw \quad y=-1[/mm]
[mm]0*x+0*y+z=1 \quad \gdw \quad z=1[/mm]
eigentlich kannst du auch schon bei (*) aufhören, denn ab da weißt du schon, dass z=1 ist... der rest ergibt sich durch einsetzen...
jetzt alles klar?
lieben gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Hi!
DAnke schonmal!
Also ich hab das so weit verstanden..nur ich möchte daraus ein REferat machen, aber ich suche eine beispielaufgabe, wie man den SINN des verfahrens den anderen erläutern kann...als man subtrahiern und addieren eingeführt hat, hat man mir das auch immer so erklärt.
Ich hab zb.
10 Äpfel ..und nehme dir 5 weg . Wie viele habe ich noch?
10-5=5
nur will ich das nicht unbedingt mit äpfeln machen also habt ihr eine idee?
ich habe noch keine...
viele grüße
informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Fr 06.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Beliebte Aufgaben dazu sind die "Altersrätsel"
Also Aufgaben á la:
Marc und sein Vater sind zusammen 40 Jahre alt. Marcs Vater ist dreimal so alt wie er. Wie alt sind beide.
Oder die "Taschengeldaufgaben"
Marc und Walter bekommen zusammen 20 Euro Taschengeld.
Wenn Marc doppelt soviel bekäme, wie etzt und Walter dreimal so viel, bekommen sie zusammen 60 Euro.
Was bekommen die beiden?
(Keine Ahnung, ob da jetzt halbwegs plausible Werte herauskommen. Bei dem Alter, glaube ich, kommt was sinniges heraus)
Das ergibt jewils zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
Diese Aufgaben kammst du noch erwitern, indem du z.B. den Opa "einbaust". Dann brauchst du aber noch eine Zusatzinfo in Form einer weiteren Gleichung.
Marius
|
|
|
| |
|
Hi,
kannst du mir vielleicht mal ein Beispiel für ein Altersrätsel mit 3 Variablen aufstellen? Ich verstehe schon die idee..aber ich versteeh nict, wie ich das jetzt genau aufstellen soll...
wäre sehr nett!
viele grüße
informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Fr 06.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Nimm meine Vorgabe + die Bedingung:
Opa ist genauso alt, wie beide zusammen
Dann hast du auch ein schönes Gleichumgssystem mit drei Variablen O, M, V
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Informacao,
> Also ich hab das so weit verstanden..nur ich möchte daraus
> ein REferat machen, aber ich suche eine beispielaufgabe,
> wie man den SINN des verfahrens den anderen erläutern
> kann...als man subtrahiern und addieren eingeführt hat, hat
> man mir das auch immer so erklärt.
> Ich hab zb.
>
> 10 Äpfel ..und nehme dir 5 weg . Wie viele habe ich noch?
>
> 10-5=5
>
> nur will ich das nicht unbedingt mit äpfeln machen also
> habt ihr eine idee?
> ich habe noch keine...
Trenn das lieber:
Warum brauchen wir LGS?
Einführung in LGS mit Textaufgaben.
Verfahren zum Lösen der LGS:
- zwei LGS mit drei Zeilen in Dreiecksform [mm] \Rightarrow [/mm] leicht zu lösen, wenn man "von unten" anfängt.
- anderes LGS mit drei (oder mehr) Zeilen: man kommt leicht durcheinander, wenn man nicht einem genauen Schema folgt:
1. Schritt: verwandele in Dreiecksform [mm] \rightarrow [/mm] Gauß-Verfahren
2. Schritt: löse von unten nach oben (wie vorher)
Hast du kein Mathebuch 9. oder 10. Klasse? Du musst ja nicht alles selbst erfinden.
Kann man vielleicht leihen?
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Alles klar, danke für die tipps!
aber irgendwie geht das prinzip da doch nicht wirklich in meinen kopf rein!!
also ich hab eben diese tolle aufgabe gefunden:
"Ein Bauer kauft Gänse zu je 10 Euro, Hühner zu je 5 Euro und Küken zu je 1 Euro. Er kauft doppelt so viele Gänse wie Hühner. Insgesamt kauft er 34 Tiere für 100 Euro. Wie viele Hühner hat er gekauft?"
dann habe ich gleichungen aufgestellt:
Gänse = x Hühner = y Küken = z
Er kauft 2x so viele Gänse wie Hühner: 2y=x; 2y-x = 0
Insgesamt kauft er 34 Tiere : x + y + z = 34
Er bezahlt 100 Euro : 10x + 5y + z = 100
und habe ein vollständiges gleichungssystem mit 3 variablen:
-x+2y = 0
x+y+z=34
10x+5y+z=100
so mit der lösung ist das in matrixschreibweise vorgegeben. aber ich kapier das so nicht...kann mir das vielleicht jemand mal anders erläutern an dem beispiel?
viele grüße
informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Fr 06.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Alles klar, danke für die tipps!
> aber irgendwie geht das prinzip da doch nicht wirklich in
> meinen kopf rein!!
>
> also ich hab eben diese tolle aufgabe gefunden:
>
> "Ein Bauer kauft Gänse zu je 10 Euro, Hühner zu je 5 Euro
> und Küken zu je 1 Euro. Er kauft doppelt so viele Gänse wie
> Hühner. Insgesamt kauft er 34 Tiere für 100 Euro. Wie viele
> Hühner hat er gekauft?"
>
> dann habe ich gleichungen aufgestellt:
>
> Gänse = x Hühner = y Küken = z
>
> Er kauft 2x so viele Gänse wie Hühner: 2y=x; 2y-x = 0
> Insgesamt kauft er 34 Tiere : x + y + z =
> 34
> Er bezahlt 100 Euro : 10x + 5y
> + z = 100
>
> und habe ein vollständiges gleichungssystem mit 3
> variablen:
>
> -x+2y = 0
> x+y+z=34
> 10x+5y+z=100
>
> so mit der lösung ist das in matrixschreibweise vorgegeben.
> aber ich kapier das so nicht...kann mir das vielleicht
> jemand mal anders erläutern an dem beispiel?
>
> viele grüße
> informacao
Hallo
Als erstes "Packen" wir das mal in die Matrizenschreibweise.
Also
-x+2y = 0
> x+y+z=34
> 10x+5y+z=100
wird zu:
[mm] \pmat{-1&2&0&0\\1&1&1&34\\10&5&1&100}
[/mm]
Jetzt solltest du sehen, dass die zweite Zeile sehr einfachist, also setzen wir sie im nächsten Schritt als erste Zeile.
[mm] \pmat{1&1&1&34\\-1&2&0&0\\10&5&1&100}
[/mm]
Jetzt können wir die ersten beiden Zeilen addieren, dann "fällt" eine Variable raus. Gleichzeitig können wir vom Zehnfachen der ersten Gleichung die letzte subtrahieren.
Die erste Zeile belibt stehen.
Wenn du das gemacht hast,steht dort:
[mm] \pmat{1&1&1&34\\0&3&1&34\\0&5&9&240}
[/mm]
Jetzt multipliziere mal die 2.Gl. mit 5 und die dritte mit 3.
[mm] \pmat{1&1&1&34\\0&15&5&170\\0&15&27&720}
[/mm]
Jetzt kannst du nämlich die beiden Gleichungen subtrahieren.(Ich nehme mal Gl.3-Gl.2)
(ich teile die zweite wieder durch 5)
[mm] \pmat{1&1&1&34\\0&3&1&34\\0&0&22&550}
[/mm]
Jetzt teil mal die letzte noch durch 22
[mm] \pmat{1&1&1&34\\0&3&1&34\\0&0&1&25} [/mm] (*)
Jetzt transferiere das mal wieder in ein LGS.
[mm] \vmat{x+y+z=34\\3y+z=34\\z=25}
[/mm]
Wenn du jetzt Rückwärts einsetzt, erhältst du die Lösungen für x und y.
Wenn du das Gauss-Verfahren vollständig zuende führen willst, musst du bei (*) noch weiterrechnen.
[mm] \pmat{1&1&1&34\\0&3&1&34\\0&0&1&25}
[/mm]
Jetzt subtrahiere mal Gl.2-Gl.3 und schreibe das Ergebnis anstelle der zweiten Gl.
Gleichzeitig subtrahiere mal Gl.1-Gl.3 und schreibe das Ergebnis anstelle der ersten Gl.
[mm] \pmat{1&1&0&9\\0&3&0&9\\0&0&1&25}
[/mm]
Teile jetzt mal Gl.2 durch drei, und subtrahiere sie dann von Gl.1
[mm] \pmat{1&0&0&6\\0&1&0&3\\0&0&1&25}
[/mm]
Jetzt das ganze mal wieder in ein LGS verwandeln
[mm] \vmat{x=6\\y=3\\z=25}
[/mm]
Fertig.
Das muss jetzt als Erklärung reichen.
Marius
>
|
|
|
| |
|
aaaah... mist -.- danke für die antwort!!
aber ich hab ja gesagt, ob man das auch normal (ohne die matrizenschreibweise) schreiben kann??
ich muss das nämlich en paar leuten erklären (aber OHNE matrixschreibweise)!
viele grüße
informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Fr 06.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Dann mach halt dieselben Schritte im GLS.
[mm] \vmat{-1x+2y+0z=0\\1x+1y+1z=34\\10x+5y+1z=100}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Informacao |
achso ^^ ok alles klarooo!! danke danke an alle!!
|
|
|
| |
|
Hallo Informacao,
vor 'nen Jahr etwa wurde auf dieses ![[]](/images/popup.gif) Applet mal hingewiesen. Wir fanden es alle sehr hilfreich.
Du kannst es gerne weiter empfehlen.
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hi!
Danke für den Link! Ich habe ihn auch schon entdeckt! Ich habe allerdings ein technisches Problem gerade. Wie füge ich in Powerpoint so eine Matrixklammer ein??
Würde mich freuen, wenn ihr mir weiter helfen könnt.
Wenn ihr wollt, kann ich meine Präsentation (wenn sie fertig ist) der Community zur Verfügung stellen. Ich erkläre dort in auschaulichen Wegen wie man 3 Gleichungen mit 3 Variablen über das Gauß-Verfahren lösen kann - einmal "so" und einmal mit der Matrixschreibweise. (Ich finde sie bis jetzt sehr interessant )
Viele Grüße
Informacao
|
|
|
| |
|
Hallo,
auch in Powerpoint, ebenso wie in Word, gibt es den Formel-Editor. Den findest du unter
Einfügen
Objekte
Microsoft Formel Editor
Damit kannst du nun auch Matrizen uvm. editieren und einfach in dein Dokument einfügen. Wenn man keine Ahnung von MikTex (LaTex-Umgebung unter Windows) hat, dann ist der Formel-Editor eigentlich eine gelungene Alternative.
Viele Grüße
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
