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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Wir (bzw zwei weitere Schüler und ich) haben heute das Gauss-Verfahren neu kennen gelernt, jedoch wird dieses Verfahren in meinem Mathekurs vorausgesetzt, dementsprechend viel die Erklärung aus.
Wir haben folgendes Beispiel bekommen:
I 2a - 4b + 5c = 3 |*3
II 3a + 3b + 7c = 13 |* (-2)
III 4a - 2b - 3c = -1
---------------------
6a - 12b + 15c = 9
- 18b + c = -26
Das rote unter dem Strich sind meine "Ansätze".
Unsere Regeln (die wir leider nur so aufgeschrieben haben) lauten:
* I+ II addieren, so das a weg fällt (habe ich ja irgendwie gemacht, durch das Erweitern von *3 und * (-2))
* I+III so addieren, dass a weg fällt
* 1. + 2. Zeile (welche Zeile?) hinschreiben
* 2. + 3. Zeile so addieren, dass b weg fällt
6) on unten auflösen (---> das einzige, was ich verstanden habe).
Mein Problem ist, dass ich die Regeln nicht anwenden kann (und sie zum Teil auch nicht verstehe) und dass ich nie weiß, wann ich was hinschreiben soll.
Ich hoffe, mir kann Jemand diese Thematik gut erklären, da wir uns dieses Verfahren selbst aneignen müssen.
Liebe Grüße und vielen Dank,
Sarah 
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Hallo Sarah!
> Wir haben folgendes Beispiel bekommen:
>
> I 2a - 4b + 5c = 3 |*3
> II 3a + 3b + 7c = 13 |* (-2)
> III 4a - 2b - 3c = -1
> ---------------------
Also:
Ziel des Gauß-Verfahren ist es, ein Gleichungssystem in die sogenannte "Stufenform" zu überführen, da man dann relativ einfach die Lösungen (sofern es welche gibt) bestimmen kann.
Ich rechne es mal eben beispielhaft durch:
Schritt 1: a soll eleminiert werden.
1.1 Zeile I und Zeile II so miteinander verrechnen, dass a "rausfällt"
Dazu hast du schon den richtigen Ansatz gehabt. Zeile I mit 3 und Zeile II mit -2 erweitern und addieren. Das ergibt:
3*I: 6a - 12b + 15c = 9
+(-2)*II: -6a - 6b - 14c = -26
----------------------------
= - 18b + c = -17 (<--- das ist die Zeile, die dann in das Gleichungssystem eingefügt wird)
1.2 Zeile I und Zeile III so miteinander verrechnen, dass a "rausfällt"
Dazu ist es effektiv, wenn man lediglich Zeile I mit -2 erweitert (Koeffizient bei a ist 2) und dann zu Zeile III (Koeffizient beim a ist 4) addiert. Das ergibt:
-2*I: -4a + 8b - 10c = -6
+III: 4a - 2b - 3c = -1
-------------------------
= 6b - 13c = -7 (<--- diese Zeile wird in das Gleichungssystem eingetragen)
Das veränderte Gleichungssystem sieht nu also so aus (Zeile I wird unverändert übernommen, lediglich die eben berechneten neuen Gleichungen werden als Zeile II bzw. Zeile III eingefügt):
I 2a - 4b + 5c = 3
II 3a + 3b + 7c = 13
III 4a - 2b - 3c = -1
---------------------
I 2a - 4b + 5c = 3
II -18b + c = -17
III 6b - 13c = -7
----------------------
Schritt 2: b soll eleminiert werden.
[2.1 Zeile II und Zeile III so miteinander verrechnen, dass b "rausfällt"[/u]
Es ist Zeile III mit 3 zu erweitern und dann zu Zeile II zu addieren:
II: -18b + c = -17
+3*III: 18b - 39c = -21
--------------------------
= -38c = -38 (<--- diese Zeile wird nun als neue Zeile II in das Gleichungssystem eingefügt)
Nun sieht das veränderte Gleichungssystem so aus:
I 2a - 4b + 5c = 3
II 3a + 3b + 7c = 13
III 4a - 2b - 3c = -1
----------------------
I 2a - 4b + 5c = 3
II -18b + c = -17
III 6b - 13c = -7
----------------------
I 2a - 4b + 5c = 3 |
II -18b + c = -17 |--> Das ist das Gleichungssystem in "Stufenform"!
III -38c = -38 |
----------------------
Das rote Gleichungssystem ist nun das Gleichungssystem, mit dem du die Lösungen bestimmen kannst. Aus Zeile III kann man recht schnell ermitteln, dass c=1 ist. Setzt man das nun in Zeile II ein und stellt nach b um erhält man b=1. Mit den nisherigen Lösungen b=1 und c=1 und der Zeile I bestimmt man nun a. Man erhält nun a=1. Im Endeffekt ist die Lösung für dein anfängliches Gleichnungssystem nun also gegeben als: [gree]a=1, b=1, c=1.[/green]
Das wars "schon". Wenn noch Fragen sind, dann her damit. 
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Sa 18.08.2007 | | Autor: | espritgirl |
Hey Tommy ,
Du hast mir das wirklich so prima erklärt, dass ich meinen Fehler gefunden habe: Ich habe als Gleichungen immer die Nebenrechnungen aufgeschrieben und wusste deshalb nie weiter
Vielen Dank für die Zeit, die du für meine Erklärung inverstiert hast. Auf den ersten Blick denke ich, dass ich dieses Verfahren nun anwenden müsste, aber sollte ich Probleme bekommen, dann melde ich mich noch einmal
An den Analytiker:
Sorry, aber ich glaube nicht, dass wir deine Methode verwenden dürfen, wir müssen schön das "Lang-Verfahren" nutzen.
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Zusammen ,
Ich habe eine neue Aufgabe und ein neues Problem:
I a + b = 3 | * (-1)
II a + b - c = 0
III b + c = 4
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a + b = 3 (---> I wird ganz normal hingeschrieben)
- c = 0 (---> I und II so addiert, das a weg fällt)
So und jetzt kommt ein Problem:
I und III müssen so addiert werden, dass a weg fällt ---> hier müsste ich doch eigentlich III mit * (-a) mulitiplizieren, dass a weg fällt.
Aber: wenn ich dann mit -a mulipliziere, dann müsste ich ja auch "b + c = 4" mit a multiplizieren und dann kann ich doch nicht weiter rechnen?!
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Sarah,
> Hallo Zusammen ,
>
> Ich habe eine neue Aufgabe und ein neues Problem:
>
> I a + b = 3 | * (-1)
> II a + b - c = 0
> III b + c = 4
> -------------
> a + b = 3 (---> I wird ganz normal
> hingeschrieben)
> - c = 0 (---> I und II so addiert, das a weg
> fällt)
>
> So und jetzt kommt ein Problem:
>
> I und III müssen so addiert werden, dass a weg fällt ---
Wieso denn I und III? Es gilt doch [mm]b + c = 4 \Leftrightarrow 0\cdot{a} + b+ c =4[/mm]. Wenn du also III mit -a multiplizierst, "gewinnst" du dadurch kein "neues freies a" in der Gleichung. Also: [mm]0\cdot{a}\cdot{(-a)}+ab+ac=ab+ac=4a[/mm].
Im Übrigen ist da noch ein Fehler. Es gilt stattdessen:
II+(-1)I: [mm]-c = -3 \Leftrightarrow c = 3[/mm]. Setze dies in III ein und erhalte b. b eingesetzt in I liefert dir dann a.
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 18.08.2007 | | Autor: | espritgirl |
Hey Zusammen *winke*
Beim Nachrechnen der ersten Aufgabe habe ich doch noch eine Frage:
> Schritt 2: b soll eleminiert werden.
>
> [2.1 Zeile II und Zeile III so miteinander verrechnen, dass
> b "rausfällt"[/u]
>
> Es ist Zeile III mit 3 zu erweitern und dann zu Zeile II zu
> addieren:
>
> II: -18b + c = -17
> +3*III: 18b - 39c = -21
> --------------------------
> = -38c = -38 (<--- diese Zeile wird nun als
> neue Zeile II in das Gleichungssystem eingefügt)
Welche Gleichung muss ich hier mit drei erweitern? Doch nicht II und III von der Aufgabe, oder?
Welche Zeilen sind hier gemeint?
Kann mir das bitte jemand erklären?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Sa 18.08.2007 | | Autor: | espritgirl |
Man sollte sich die Geschichte mal in Ruhe angucken und nicjt sofort in Pamnik ausbrechen ---> ich habs verstnden.
Hab die Frage als Mitteilung deklariert.
Sarah
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
) es erklärt hat geht es finde ich nicht, also von daher sollte dir grundsätzlich der Weg klar sein!?! Ich kann ja nur für mich sprechen, aber ich war in Sachen Gauss immer ein fauler Hund ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Gekürztes Verfahren![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]"){kind=small}
