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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Di 14.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
und nochmal eine LGS-Aufgabe - bis dort bin ich gekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 4b^2 & b-5 & -1+3c \\ 0 & 2b^2 & 2b-10 & -2+3c \\ 0 & 0 & b-5 & -1+c }
[/mm]
Ich soll herausfinden, für welche b und c es unendlich Lösungen gibt.
Den Fall b=5 und c=1 sehe ich ja aus der letzten Zeile unmittelbar. Doch auf den Fall b=0 und c=0 bin ich erst nach Schauen in die Lösung gekommen - nach Einsetzen der Werte ich auch der Fall offensichtlich, doch nur anhand der letzten Zeile kommt man da ja nicht drauf, und ich kann ja nicht Unmengen an Zahlen probieren.
Wann hätte mir diese Lösung im Verfahren auffallen sollen? Wie kann ich nun sicher gehen, solche Lösungen nicht zu übersehen? Meist gibt es ja nur eine... Kann man irgendwie erkennen, wann es zwei gibt?
Danke!
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Hallo oli_k,
> Hallo,
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> und nochmal eine LGS-Aufgabe - bis dort bin ich gekommen:
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> [mm]\pmat{ 1 & 4b^2 & b-5 & -1+3c \\
0 & 2b^2 & 2b-10 & -2+3c \\
0 & 0 & b-5 & -1+c }[/mm]
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> Ich soll herausfinden, für welche b und c es unendlich
> Lösungen gibt.
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> Den Fall b=5 und c=1 sehe ich ja aus der letzten Zeile
> unmittelbar. Doch auf den Fall b=0 und c=0 bin ich erst
> nach Schauen in die Lösung gekommen - nach Einsetzen der
> Werte ich auch der Fall offensichtlich, doch nur anhand der
> letzten Zeile kommt man da ja nicht drauf, und ich kann ja
> nicht Unmengen an Zahlen probieren.
>
> Wann hätte mir diese Lösung im Verfahren auffallen
> sollen?
Nun ja, mir würde erstmal auffallen, dass in der 2ten Zeile steht [mm]2b-10[/mm], das ist [mm]=2(b-5)[/mm], also steht in allen 3 Zeilen in der 3.Spalte der Faktor [mm]b-5[/mm]
Dann sieht man direkt in der 3.Zeile, dass du für [mm]b\neq 5[/mm] durch [mm]b-5[/mm] teilen darfst und zumindest schonmal für [mm]x_3[/mm] eine eind. Lösung rausbekommst.
Dann rückwärts einsetzen.
Zum andern fällt doch auf, dass in der 2.Spalte [mm]4b^2, 2b^2, 0[/mm] steht, man also für [mm]b=0[/mm] eine komplette Nullspalte erhält!
Das kann man einsetzen und die letzten beiden Zeilen verrechnen, das gibt direkt [mm]c=0[/mm]
> Wie kann ich nun sicher gehen, solche Lösungen
> nicht zu übersehen? Meist gibt es ja nur eine... Kann man
> irgendwie erkennen, wann es zwei gibt?
Ich glaube nicht, dass es dafür eine "goldene Regel" gibt.
Man kann es oft an den Faktoren sehen.
In der 3.Zeile steht zum Bsp. der lineare Faktor [mm]b-5[/mm], da wird 1 Fallunterscheidung notwendig. Wann ist das 0, wann nicht, wann darf ich also dadurch teilen, wann nicht
Wenn du etwa einen quadrat. Term hast, etwa als Faktor [mm]a^2-1[/mm], so versuche, zu faktorisieren [mm]..=(a+1)(a-1)[/mm]
Da hast du dann mehrere Fälle [mm]a=1,-1[/mm] oder keines von beiden (Ein Produkt ist =0, wenn mind. einer der Faktoren =0 ist)
Bei Faktoren in höherer Potenz versuche, ähnlich zu zerlegen in Linearfaktoren.
Wenn mehrere Variablen dazu kommen, wird's natürlich unübersichticher ...
Vllt. weiß jemand anderes ein "Patentrezeot".
Ich stelle die Frage mal auf "teilweise beantwortet"
Gruß
schachuzipus
>
> Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Mi 15.09.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > und nochmal eine LGS-Aufgabe - bis dort bin ich gekommen:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 4b^2 & b-5 & -1+3c \\
0 & 2b^2 & 2b-10 & -2+3c \\
0 & 0 & b-5 & -1+c }[/mm]
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> > Ich soll herausfinden, für welche b und c es unendlich
> > Lösungen gibt.
> >
> > Den Fall b=5 und c=1 sehe ich ja aus der letzten Zeile
> > unmittelbar. Doch auf den Fall b=0 und c=0 bin ich erst
> > nach Schauen in die Lösung gekommen - nach Einsetzen der
> > Werte ich auch der Fall offensichtlich, doch nur anhand der
> > letzten Zeile kommt man da ja nicht drauf, und ich kann ja
> > nicht Unmengen an Zahlen probieren.
> >
> > Wann hätte mir diese Lösung im Verfahren auffallen
> > sollen?
>
> Nun ja, mir würde erstmal auffallen, dass in der 2ten
> Zeile steht [mm]2b-10[/mm], das ist [mm]=2(b-5)[/mm], also steht in allen 3
> Zeilen in der 3.Spalte der Faktor [mm]b-5[/mm]
>
> Dann sieht man direkt in der 3.Zeile, dass du für [mm]b\neq 5[/mm]
> durch [mm]b-5[/mm] teilen darfst und zumindest schonmal für [mm]x_3[/mm]
> eine eind. Lösung rausbekommst.
>
> Dann rückwärts einsetzen.
>
> Zum andern fällt doch auf, dass in der 2.Spalte [mm]4b^2, 2b^2, 0[/mm]
> steht, man also für [mm]b=0[/mm] eine komplette Nullspalte
> erhält!
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> Das kann man einsetzen und die letzten beiden Zeilen
> verrechnen, das gibt direkt [mm]c=0[/mm]
>
> > Wie kann ich nun sicher gehen, solche Lösungen
> > nicht zu übersehen? Meist gibt es ja nur eine... Kann man
> > irgendwie erkennen, wann es zwei gibt?
>
> Ich glaube nicht, dass es dafür eine "goldene Regel"
> gibt.
>
> Man kann es oft an den Faktoren sehen.
>
> In der 3.Zeile steht zum Bsp. der lineare Faktor [mm]b-5[/mm], da
> wird 1 Fallunterscheidung notwendig. Wann ist das 0, wann
> nicht, wann darf ich also dadurch teilen, wann nicht
>
> Wenn du etwa einen quadrat. Term hast, etwa als Faktor
> [mm]a^2-1[/mm], so versuche, zu faktorisieren [mm]..=(a+1)(a-1)[/mm]
>
> Da hast du dann mehrere Fälle [mm]a=1,-1[/mm] oder keines von
> beiden (Ein Produkt ist =0, wenn mind. einer der Faktoren
> =0 ist)
>
> Bei Faktoren in höherer Potenz versuche, ähnlich zu
> zerlegen in Linearfaktoren.
>
> Wenn mehrere Variablen dazu kommen, wird's natürlich
> unübersichticher ...
>
> Vllt. weiß jemand anderes ein "Patentrezeot".
>
> Ich stelle die Frage mal auf "teilweise beantwortet"
Wenn mich meine Kopfrechenfertigkeiten nicht im Stich gelassen haben, gibt bereits b = 0 [mm] \infty [/mm] viele Lösungen. Andererseits gibt auch c = 0 und beliebiges b [mm] \infty [/mm] viele Lös.
Daher verschtehe ich das
> Das kann man einsetzen und die letzten beiden Zeilen
> verrechnen, das gibt direkt [mm]c=0[/mm]
nicht.
Und
> > Den Fall b=5 und c=1 sehe ich ja aus der letzten Zeile
> > unmittelbar. Doch auf den Fall b=0 und c=0 bin ich erst ...
ist mißverständlich, ich hätte geschrieben ' ... die Fälle b = 0 oder c = 0 ...'
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Moin Dieter,
> Hi!
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> > > und nochmal eine LGS-Aufgabe - bis dort bin ich gekommen:
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 4b^2 & b-5 & -1+3c \\
0 & 2b^2 & 2b-10 & -2+3c \\
0 & 0 & b-5 & -1+c }[/mm]
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> > >
> > > Ich soll herausfinden, für welche b und c es unendlich
> > > Lösungen gibt.
> > >
> > > Den Fall b=5 und c=1 sehe ich ja aus der letzten Zeile
> > > unmittelbar. Doch auf den Fall b=0 und c=0 bin ich erst
> > > nach Schauen in die Lösung gekommen - nach Einsetzen der
> > > Werte ich auch der Fall offensichtlich, doch nur anhand der
> > > letzten Zeile kommt man da ja nicht drauf, und ich kann ja
> > > nicht Unmengen an Zahlen probieren.
> > >
> > > Wann hätte mir diese Lösung im Verfahren auffallen
> > > sollen?
> >
> > Nun ja, mir würde erstmal auffallen, dass in der 2ten
> > Zeile steht [mm]2b-10[/mm], das ist [mm]=2(b-5)[/mm], also steht in allen 3
> > Zeilen in der 3.Spalte der Faktor [mm]b-5[/mm]
> >
> > Dann sieht man direkt in der 3.Zeile, dass du für [mm]b\neq 5[/mm]
> > durch [mm]b-5[/mm] teilen darfst und zumindest schonmal für [mm]x_3[/mm]
> > eine eind. Lösung rausbekommst.
> >
> > Dann rückwärts einsetzen.
> >
> > Zum andern fällt doch auf, dass in der 2.Spalte [mm]4b^2, 2b^2, 0[/mm]
> > steht, man also für [mm]b=0[/mm] eine komplette Nullspalte
> > erhält!
> >
> > Das kann man einsetzen und die letzten beiden Zeilen
> > verrechnen, das gibt direkt [mm]c=0[/mm]
> >
> > > Wie kann ich nun sicher gehen, solche Lösungen
> > > nicht zu übersehen? Meist gibt es ja nur eine... Kann man
> > > irgendwie erkennen, wann es zwei gibt?
> >
> > Ich glaube nicht, dass es dafür eine "goldene Regel"
> > gibt.
> >
> > Man kann es oft an den Faktoren sehen.
> >
> > In der 3.Zeile steht zum Bsp. der lineare Faktor [mm]b-5[/mm], da
> > wird 1 Fallunterscheidung notwendig. Wann ist das 0, wann
> > nicht, wann darf ich also dadurch teilen, wann nicht
> >
> > Wenn du etwa einen quadrat. Term hast, etwa als Faktor
> > [mm]a^2-1[/mm], so versuche, zu faktorisieren [mm]..=(a+1)(a-1)[/mm]
> >
> > Da hast du dann mehrere Fälle [mm]a=1,-1[/mm] oder keines von
> > beiden (Ein Produkt ist =0, wenn mind. einer der Faktoren
> > =0 ist)
> >
> > Bei Faktoren in höherer Potenz versuche, ähnlich zu
> > zerlegen in Linearfaktoren.
> >
> > Wenn mehrere Variablen dazu kommen, wird's natürlich
> > unübersichticher ...
> >
> > Vllt. weiß jemand anderes ein "Patentrezeot".
> >
> > Ich stelle die Frage mal auf "teilweise beantwortet"
>
> Wenn mich meine Kopfrechenfertigkeiten nicht im Stich
> gelassen haben, gibt bereits b = 0 [mm]\infty[/mm] viele Lösungen.
> Andererseits gibt auch c = 0 und beliebiges b [mm]\infty[/mm] viele
> Lös.
> Daher verschtehe ich das
> > Das kann man einsetzen und die letzten beiden Zeilen
> > verrechnen, das gibt direkt [mm]c=0[/mm]
> nicht.
Damit meinte ich, dass es im Falle $b=0$ überhaupt nur für $c=0$ eine Lösung geben kann.
Das sind hier natürlich unendlich viele ...
Gruß
schachuzipus
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Anhand der Determinante kann man die Grenzfälle bei [mm]Ax=b[/mm] erkennen. In deinem Fall lautet sie ja:
[mm]2*b^2*(b-5)[/mm]
Damit wären für mich die ersten Kandidaten [mm]b\in \{0,5\}[/mm]
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> Hallo,
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> und nochmal eine LGS-Aufgabe - bis dort bin ich gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4b^2 & b-5 & -1+3c \\
0 & 2b^2 & 2b-10 & -2+3c \\
0 & 0 & b-5 & -1+c }[/mm]
>
Hallo,
vielleicht bin ich etwas kleinlich - aber meine erste Frage an Dich wäre hier: worum geht es eigentlich?
Geht es um die Lösung eines homogenen oder eines inhomogenen Systems, dh. soll das da oben die erweiterte Koeffizientenmatrix des inhomogenen oder die Koeffizientenmatrix eines homogenen Systems sein?
Das dürfte schonmal erwähnt werden - auch wenn es in der Fragestellung Indizien dafür gibt, was gemeint ist...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mi 15.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
das ist jeweils die Koeffizientenmatrix (3x3) und der Lösungsvektor rechts dran, also eine ganz "normale" LGS-Aufgabe. Wir sollen immer die einzelnen Fälle (nicht lösbar, eindeutig lösbar, unendlich lösbar) angeben und bei eindeutiger Lösbarkeit die Lösung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 15.09.2010 | | Autor: | statler |
Hi,
ich habe das z. B, falsch interpretiert, weil ich dann den Lösungsvektor durch einen senkrechten Strich von der Koeffizientenmatrix abtrenne, was ich aber in LaTeX so spontan nicht könnte. Also bin ich von einem homogenen GLS in 4 Unbekannten mit 2 Parametern ausgegangen. Man lernt durch Fehler.
Gruß von hier oben
Dieter
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Hallo von hier unten,
wie wär's mit \pmat{a&b&\mi&x\\c&d&\mid&y}
Das gibt das schön lesbare
[mm]\pmat{a&b&\mid&x\\
c&d&\mid&y}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Mi 15.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Werd ich demnächst so machen, ok  Bin es halt so gewohnt, per Hand machen wir da auch keine Trennlinie zwischen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mi 15.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
richtig schön:
[mm]\left ( \begin{array}{ccc|c}1 & 4b^2 & b-5 & -1+3c \\
0 & 2b^2 & 2b-10 & -2+3c \\
0 & 0 & b-5 & -1+c \end{array} \right ) [/mm]| 1: | \left ( \begin{array}{ccc|c}
| | 2: | 1 & 4b^2 & b-5 & -1+3c \\
| | 3: | 0 & 2b^2 & 2b-10 & -2+3c \\
| | 4: | 0 & 0 & b-5 & -1+c
| | 5: | \end{array} \right )
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