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Gauß-Verfahren allgemein: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:00 So 15.01.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe Fragen zur allgemeinen Formulierung des Gauß-Verfahrens, wie er in einem Skript steht. Es wird in zwei-Teile gegliedert:

---

Das Gauß-Verfahren Teil 1:

Sei

[mm] a_{11}x_{1} [/mm] + [mm] a_{12}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{1n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{1}, [/mm]     (1)
[mm] a_{21}x_{1} [/mm] + [mm] a_{22}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{2n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{2}, [/mm]     (2)
...

[mm] a_{m1}x_{1} [/mm] + [mm] a_{m2}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{mn}x_{n} [/mm] = [mm] b_{m} [/mm]    (m)

ein System von m Gleichungen mit n Unbekannten [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}. [/mm] Dieses Gleichungssystem soll in ein äquivalentes umgeformt werden, an welchem man sofort die Lösbarkeit und die Lösungen ablesen kann.

Zunächst betrachte man diejenige Unbekannte [mm] x_{j_{1}} [/mm] mit dem kleinsten Index [mm] j_{1}, [/mm] die tatsächlich in dem Gleichungssystem auftritt. [mm] j_{1} [/mm] wird charakterisiert durch

[mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i,
[mm] a_{ij_{1}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i.

Sind alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen, dass

[mm] a_{1j_{1}} \not= [/mm] 0

ist. Das Gleichungssystem hat dann die Form

[mm] a_{1j_{1}}x_{j_{1}} [/mm] + ... + [mm] a_{1n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm]    (1)

...

[mm] a_{mj_{1}}x_{j_{1}} [/mm] + ... + [mm] a_{mn}x_{n} [/mm] = [mm] b_{m} [/mm]   (m)


Addiert man zu der Gleichung (i) das [mm] -\frac{a_{ij_{1}}}{a_{1j_{1}}}-fache [/mm] der Gleichung (1), so wird aus den Gleichungen (2), ..., (m) die Unbekannte [mm] x_{j_1} [/mm] eliminiert:

[mm] a_{1j_{1}}x_{j_{1}} [/mm] + [mm] a_{1j_{1}+1}x_{j_{1}+1} [/mm] ... + [mm] a_{1n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm]              (1)

(2) - [mm] \frac{a_{2j_{1}}}{a_{1j_{1}}} [/mm] (1): [mm] a_{2j_{1}+1}'x_{j_{1}+1} [/mm] + ... + [mm] a_{2n}'x_{n} [/mm] = [mm] b_{2}' [/mm]    (2')

...

(m) - [mm] \frac{a_{mj_{1}}}{a_{1j_{1}}} [/mm] (1): [mm] a_{mj_{1}+1}'x_{j_{1}+1} [/mm] + ... + [mm] a_{mn}'x_{n} [/mm] = [mm] b_{m}' [/mm]   (m')


In dem Gleichungssystem (2'), ..., (m') betrachten wir wieder die Unbekannte [mm] x_{j_2} [/mm] mit

[mm] a_{ij}' [/mm] = 0 für j < [mm] j_{2} [/mm] und alle i = 2, ..., m,
[mm] a_{ij_{2}}' \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i.

Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen, dass

[mm] a_{2j_{2}}' \not= [/mm] 0

Durch Addition von geeigneten Vielfachen der Gleichung (2') zu den Gleichungen (3'), ..., (m') lässt sich [mm] x_{j_2} [/mm] aus den Gleichungen (3'), ..., (m') eliminieren. Durch endliche Wiederholung dieses Verfahrens erhalten wir schließlich ein Gleichungssystem der

Stufenform bzw. Zeilenstufenform

[mm] \overline{a}_{1j_{1}}x_{j_1} [/mm] + ...           + [mm] \overline{a}_{1n}x_{n} [/mm]    = [mm] \overline{b}_{1} [/mm]
                        
      [mm] \overline{a}_{2j_{2}}x_{j_2} [/mm] + ...     + [mm] \overline{a}_{2n}x_{n} [/mm]    = [mm] \overline{b}_{2} [/mm]

...

            [mm] \overline{a}_{rj_{r}}x_{j_r} [/mm] + ... + [mm] \overline{a}_{rn}x_{j_1} [/mm]  = [mm] \overline{b}_{r} [/mm]

                           0 = [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm]

...

                           0 = [mm] \overline{b}_{m} [/mm]


Dabei ist [mm] j_1 [/mm] < [mm] j_2 [/mm] < ... < [mm] j_r [/mm] und

[mm] \overline{a}_{ij_{i}} \not= [/mm] 0 für i = 1, ..., r.

Die Elemente [mm] \overline{a}_{ij_{i}} [/mm] heißen auch Angelpunkte oder Pivotelemente.

An diesem Gleichungssystem können wir sofort ablesen, ob es lösbar ist oder nicht. Es ist genau dann lösbar, wenn

[mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] = ... = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] = 0 ist.

Bei der Umformung des Gleichungssystems haben wir die folgenden Schritte durchgeführt:

(i) Vertauschung zweier Gleichungen,

(ii) Addition des [mm] \lambda-fachen [/mm] einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. Die Lösungsmenten von Gleichungssystemen, die durch diese Umformungen auseinander hervorgehen, sind gleich.



Das Gauß-Verfahren Teil II:

Um die Lösungen eines Gleichungssystems sofort angeben zu können, werden wir die Zeilenform noch weiter vereinfachen. Dazu brauchen wir die Umformung

(iii) Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor [mm] \lambda \not= [/mm] 0.

Auf die Umformungen vom Typ (iii) ändern die Lösungsmenge nicht.

Mit (iii) kann erreicht werden, dass alle [mm] \overline{a}_{ij_{i}} [/mm] in 1 übergehen. Mit (ii) lassen sich ferner die Unbekannten [mm] x_{j_{1}} [/mm] aus den ersten i - 1 Gleichungen eliminieren:

Dazu addiere man geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1 Gleichungen. Dann erhalten wir die endgültige Zeilenstufenform

[mm] x_{j_{1}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{1}' [/mm]
          [mm] x_{j_{2}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{2}' [/mm]
                    [mm] x_{j_{3}} [/mm] + ... + 0 + ... = [mm] b_{3}' [/mm]
...
                              [mm] x_{j_{r}} [/mm] + ... = [mm] b_{r}' [/mm]

                                     0 = [mm] b_{r+1}' [/mm]
...
                                     0 = [mm] b_{m}' [/mm]


Dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn

[mm] b_{r+1}' [/mm] = ... = [mm] b_{m}' [/mm] = 0

gilt (tatsächlich ist [mm] b_{r+1}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{r+1}, [/mm] ..., [mm] b_{m}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{m}). [/mm] Ist das Gleichungssystem lösbar, so erhalten wir die Lösungen wie folgt:

[mm] x_{k} [/mm] beliebig aus [mm] \IR [/mm] für k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}. [/mm]
[mm] x_{j_{i}} [/mm] aus der i-ten Gleichung
[mm] x_{j_{i}} [/mm] = [mm] b_{i}' [/mm] + linearer Ausdruck in den [mm] x_{k}, [/mm] k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}. [/mm]

---

Um nun zu meinen Fragen zu kommen:

1) Zu der Stelle "Zunächst betrachte man diejenige Unbekannte [mm] x_{j_{1}} [/mm] mit dem kleinsten Index [mm] j_{1}, [/mm] die tatsächlich in dem Gleichungssystem auftritt. [mm] j_{1} [/mm] wird charakterisiert durch

[mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i,
[mm] a_{ij_{1}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i.

Sind alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen, dass

[mm] a_{1j_{1}} \not= [/mm] 0

ist."

habe ich zwei Fragen a) und b):

a) Wie kann ich die Bedingungen " [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i,
[mm] a_{ij_{1}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i
" z.B. beim LGS  
[mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 4
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 2

verstehen, hier gibt es doch kein [mm] a_{ij} [/mm] = 0? Oder meint man die nicht vorhandenen Koeffizienten "links" von 2 bzw. 3 und die sind "null" ?

Wo es mir einleuchtet ist z.B. beim LGS, wo bereits [mm] x_{1} [/mm] eliminiert wurde:

[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 1  (1)
  + [mm] 3x_{2} [/mm]  - [mm] x_{3} [/mm] = 2  (2')
      [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 3  (3')

In dem Gleichungssystem (2'), (3') betrachtet man die Unbekannte [mm] x_{j_{2}} [/mm] mit dem Index [mm] j_{2} [/mm] = 2, denn es gilt [mm] a_{ij}' [/mm] = 0 für j < 2 und alle i = 2, 3 und [mm] a_{ij_{2}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i [mm] (a_{i2} \not= [/mm] 0 für zum Beispiel i=2

Aber wie ist es ganz zu Beginn, wenn kein Koeffizient "null" ist?

b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden wenn alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0 sind?


2) Wieso ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] = ... = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] = 0 ist?
Spielt dieser Punkt darauf an, dass keine Ungleichheit (also z.B. 0 = 2) vorkommen darf?

Und das wären die [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] = ... = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] z.B. im folgenden eliminierten LGS?

[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 1
     [mm] 5x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 2
          [mm] 9x_3 [/mm]  = 3

Und im Falle
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 1
      [mm] 5x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 2
           0  = 0

wäre doch [mm] \overline{b}_{3} [/mm] = 0, oder?


3) Wieso gilt " tatsächlich ist [mm] b_{r+1}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{r+1}, [/mm] ..., [mm] b_{m}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] "? Also wieso sind die [mm] b_{r}' [/mm] der endgültigen Zeilenstufenform gleich den [mm] \overline{b}_{r} [/mm] der vorläufigen Zeilenstufenform?

4) Wie kann ich den Schluss " Die Lösungen erhält man wie folgt:
[mm] x_{k} [/mm] beliebig aus [mm] \IR [/mm] für k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}. [/mm]
[mm] x_{j_{i}} [/mm] aus der i-ten Gleichung
[mm] x_{j_{i}} [/mm] = [mm] b_{i}' [/mm] + linearer Ausdruck in den [mm] x_{k}, [/mm] k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}. [/mm]
"verstehen?



Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
Ich weiß es ist sehr viel zu lesen, dementsprechend habe ich den Fälligkeitszeitraum höher gesetzt.
Aber vielleicht findet einer die Zeit :-)


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Gauß-Verfahren allgemein: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> Hallo zusammen!
>  
> Ich habe Fragen zur allgemeinen Formulierung des
> Gauß-Verfahrens, wie er in einem Skript steht. Es wird in
> zwei-Teile gegliedert:
>  
> ---
>  
> Das Gauß-Verfahren Teil 1:
>  
> Sei
>  
> [mm]a_{11}x_{1}[/mm] + [mm]a_{12}x_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{1n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{1},[/mm]    
> (1)
>  [mm]a_{21}x_{1}[/mm] + [mm]a_{22}x_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{2n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{2},[/mm]    
> (2)
>  ...
>  
> [mm]a_{m1}x_{1}[/mm] + [mm]a_{m2}x_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{mn}x_{n}[/mm] = [mm]b_{m}[/mm]    
> (m)
>  
> ein System von m Gleichungen mit n Unbekannten [mm]x_{1},[/mm] ...,
> [mm]x_{n}.[/mm] Dieses Gleichungssystem soll in ein äquivalentes
> umgeformt werden, an welchem man sofort die Lösbarkeit und
> die Lösungen ablesen kann.
>  
> Zunächst betrachte man diejenige Unbekannte [mm]x_{j_{1}}[/mm] mit
> dem kleinsten Index [mm]j_{1},[/mm] die tatsächlich in dem
> Gleichungssystem auftritt. [mm]j_{1}[/mm] wird charakterisiert
> durch
>  
> [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm] und alle i,
>  [mm]a_{ij_{1}} \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i.
>  
> Sind alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem
> nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können
> wir erreichen, dass
>  
> [mm]a_{1j_{1}} \not=[/mm] 0
>  
> ist. Das Gleichungssystem hat dann die Form
>  
> [mm]a_{1j_{1}}x_{j_{1}}[/mm] + ... + [mm]a_{1n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]    (1)
>  
> ...
>  
> [mm]a_{mj_{1}}x_{j_{1}}[/mm] + ... + [mm]a_{mn}x_{n}[/mm] = [mm]b_{m}[/mm]   (m)
>  
>
> Addiert man zu der Gleichung (i) das
> [mm]-\frac{a_{ij_{1}}}{a_{1j_{1}}}-fache[/mm] der Gleichung (1), so
> wird aus den Gleichungen (2), ..., (m) die Unbekannte
> [mm]x_{j_1}[/mm] eliminiert:
>  
> [mm]a_{1j_{1}}x_{j_{1}}[/mm] + [mm]a_{1j_{1}+1}x_{j_{1}+1}[/mm] ... +
> [mm]a_{1n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]              (1)
>  
> (2) - [mm]\frac{a_{2j_{1}}}{a_{1j_{1}}}[/mm] (1):
> [mm]a_{2j_{1}+1}'x_{j_{1}+1}[/mm] + ... + [mm]a_{2n}'x_{n}[/mm] = [mm]b_{2}'[/mm]    
> (2')
>  
> ...
>  
> (m) - [mm]\frac{a_{mj_{1}}}{a_{1j_{1}}}[/mm] (1):
> [mm]a_{mj_{1}+1}'x_{j_{1}+1}[/mm] + ... + [mm]a_{mn}'x_{n}[/mm] = [mm]b_{m}'[/mm]  
> (m')
>  
>
> In dem Gleichungssystem (2'), ..., (m') betrachten wir
> wieder die Unbekannte [mm]x_{j_2}[/mm] mit
>  
> [mm]a_{ij}'[/mm] = 0 für j < [mm]j_{2}[/mm] und alle i = 2, ..., m,
>  [mm]a_{ij_{2}}' \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i.
>  
> Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen,
> dass
>  
> [mm]a_{2j_{2}}' \not=[/mm] 0
>  
> Durch Addition von geeigneten Vielfachen der Gleichung (2')
> zu den Gleichungen (3'), ..., (m') lässt sich [mm]x_{j_2}[/mm] aus
> den Gleichungen (3'), ..., (m') eliminieren. Durch endliche
> Wiederholung dieses Verfahrens erhalten wir schließlich
> ein Gleichungssystem der
>  
> Stufenform bzw. Zeilenstufenform
>  
> [mm]\overline{a}_{1j_{1}}x_{j_1}[/mm] + ...           +
> [mm]\overline{a}_{1n}x_{n}[/mm]    = [mm]\overline{b}_{1}[/mm]
>                          
> [mm]\overline{a}_{2j_{2}}x_{j_2}[/mm] + ...     +
> [mm]\overline{a}_{2n}x_{n}[/mm]    = [mm]\overline{b}_{2}[/mm]
>  
> ...
>  
> [mm]\overline{a}_{rj_{r}}x_{j_r}[/mm] + ... +
> [mm]\overline{a}_{rn}x_{j_1}[/mm]  = [mm]\overline{b}_{r}[/mm]
>  
> 0 = [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm]
>  
> ...
>  
> 0 = [mm]\overline{b}_{m}[/mm]
>  
>
> Dabei ist [mm]j_1[/mm] < [mm]j_2[/mm] < ... < [mm]j_r[/mm] und
>
> [mm]\overline{a}_{ij_{i}} \not=[/mm] 0 für i = 1, ..., r.
>  
> Die Elemente [mm]\overline{a}_{ij_{i}}[/mm] heißen auch Angelpunkte
> oder Pivotelemente.
>  
> An diesem Gleichungssystem können wir sofort ablesen, ob
> es lösbar ist oder nicht. Es ist genau dann lösbar, wenn
>  
> [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] = 0 ist.
>  
> Bei der Umformung des Gleichungssystems haben wir die
> folgenden Schritte durchgeführt:
>  
> (i) Vertauschung zweier Gleichungen,
>  
> (ii) Addition des [mm]\lambda-fachen[/mm] einer Gleichung zu einer
> anderen Gleichung. Die Lösungsmenten von
> Gleichungssystemen, die durch diese Umformungen auseinander
> hervorgehen, sind gleich.
>  
>
>
> Das Gauß-Verfahren Teil II:
>  
> Um die Lösungen eines Gleichungssystems sofort angeben zu
> können, werden wir die Zeilenform noch weiter
> vereinfachen. Dazu brauchen wir die Umformung
>  
> (iii) Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor
> [mm]\lambda \not=[/mm] 0.
>  
> Auf die Umformungen vom Typ (iii) ändern die Lösungsmenge
> nicht.
>  
> Mit (iii) kann erreicht werden, dass alle
> [mm]\overline{a}_{ij_{i}}[/mm] in 1 übergehen. Mit (ii) lassen sich
> ferner die Unbekannten [mm]x_{j_{1}}[/mm] aus den ersten i - 1
> Gleichungen eliminieren:
>  
> Dazu addiere man geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu
> den ersten i-1 Gleichungen. Dann erhalten wir die
> endgültige Zeilenstufenform
>  
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{1}'[/mm]
>            [mm]x_{j_{2}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{2}'[/mm]
>                      [mm]x_{j_{3}}[/mm] + ... + 0 + ... = [mm]b_{3}'[/mm]
>  ...
>                                [mm]x_{j_{r}}[/mm] + ... = [mm]b_{r}'[/mm]
>  
> 0 = [mm]b_{r+1}'[/mm]
>  ...
>                                       0 = [mm]b_{m}'[/mm]
>  
>
> Dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn
>  
> [mm]b_{r+1}'[/mm] = ... = [mm]b_{m}'[/mm] = 0
>  
> gilt (tatsächlich ist [mm]b_{r+1}'[/mm] = [mm]\overline{b}_{r+1},[/mm] ...,
> [mm]b_{m}'[/mm] = [mm]\overline{b}_{m}).[/mm] Ist das Gleichungssystem
> lösbar, so erhalten wir die Lösungen wie folgt:
>  
> [mm]x_{k}[/mm] beliebig aus [mm]\IR[/mm] für k [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm]
>  [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus der i-ten Gleichung
>  [mm]x_{j_{i}}[/mm] = [mm]b_{i}'[/mm] + linearer Ausdruck in den [mm]x_{k},[/mm] k
> [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm]
>  
> ---
>  
> Um nun zu meinen Fragen zu kommen:
>
> 1) Zu der Stelle "Zunächst betrachte man diejenige
> Unbekannte [mm]x_{j_{1}}[/mm] mit dem kleinsten Index [mm]j_{1},[/mm] die
> tatsächlich in dem Gleichungssystem auftritt. [mm]j_{1}[/mm] wird
> charakterisiert durch
>
> [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm] und alle i,
> [mm]a_{ij_{1}} \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i.
>
> Sind alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem
> nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können
> wir erreichen, dass
>
> [mm]a_{1j_{1}} \not=[/mm] 0
>
> ist."
> habe ich zwei Fragen a) und b):
>  
> a) Wie kann ich die Bedingungen " [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm]
> und alle i,
> [mm]a_{ij_{1}} \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i " z.B. beim LGS  
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 4
>  [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 2
>
> verstehen, hier gibt es doch kein [mm]a_{ij}[/mm] = 0? Oder meint
> man die nicht vorhandenen Koeffizienten "links" von 2 bzw.
> 3 und die sind "null" ?
>  
> Wo es mir einleuchtet ist z.B. beim LGS, wo bereits [mm]x_{1}[/mm]
> eliminiert wurde:
>  
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 1  (1)
>    + [mm]3x_{2}[/mm]  - [mm]x_{3}[/mm] = 2  (2')
>        [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 3  (3')
>  
> In dem Gleichungssystem (2'), (3') betrachtet man die
> Unbekannte [mm]x_{j_{2}}[/mm] mit dem Index [mm]j_{2}[/mm] = 2, denn es gilt
> [mm]a_{ij}'[/mm] = 0 für j < 2 und alle i = 2, 3 und [mm]a_{ij_{2}} \not=[/mm]
> 0 für wenigstens ein i [mm](a_{i2} \not=[/mm] 0 für zum Beispiel
> i=2
>  
> Aber wie ist es ganz zu Beginn, wenn kein Koeffizient
> "null" ist?

Hallo,
es wird ja nicht vorausgesetzt, dass zu Beginn alle (oder auch nur bestimmte) Koeffizienten ungleich 0 sind. Grundsätzlich hast du recht, wenn zu Beginn [mm]x_1[/mm] tatsächlich (in irgendeiner Gleichung) mit einem Faktor ungleich 0 auftritt, dann ist [mm]j_1=1[/mm], so dass es keine [mm]j

>  
> b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden
> wenn alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0 sind?

Wenn auf der linken Seite nur Nullen stehen, bleiben nur zwei Möglichkeiten. Entweder ist (mindestens) eines der [mm]b_i\ne 0[/mm], dann gibt es keine Lösung. Oder auch die rechte Seite ist komplett Null, dass sind alle [mm]x\in\mathbb{R}^n[/mm] Lösung.
In jedem Fall erkennt man die Lösung sofort, so dass keine Umformung nötig ist.

>  
>
> 2) Wieso ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn
> [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] = 0 ist?
>  Spielt dieser Punkt darauf an, dass keine Ungleichheit
> (also z.B. 0 = 2) vorkommen darf?

Ja. [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] sind ja die Koeffizienten auf der rechten Seite zu denjenigen Gleichungen, wo auf der linken Seite 0 steht. Und das LGS ist genau dann lösbar, wenn es in der Zeilenstufenform keine Gleichung der Form [mm]0=b_i[/mm] mit [mm]b_i\ne 0[/mm] gibt.

>  
> Und das wären die [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... =
> [mm]\overline{b}_{m}[/mm] z.B. im folgenden eliminierten LGS?
>  
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 1
>       [mm]5x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 2
>            [mm]9x_3[/mm]  = 3

Hier ist [mm]m=r=3[/mm], so dass es keine [mm]\overline{b}_i[/mm] gibt mit [mm]r

>  
> Und im Falle
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 1
>        [mm]5x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 2
>             0  = 0
>  
> wäre doch [mm]\overline{b}_{3}[/mm] = 0, oder?

Ja.

>  
>
> 3) Wieso gilt " tatsächlich ist [mm]b_{r+1}'[/mm] =
> [mm]\overline{b}_{r+1},[/mm] ..., [mm]b_{m}'[/mm] = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] "? Also
> wieso sind die [mm]b_{r}'[/mm] der endgültigen Zeilenstufenform
> gleich den [mm]\overline{b}_{r}[/mm] der vorläufigen
> Zeilenstufenform?

Weil die Zeilen mit nur Nullen auf der linken Seite nicht weiter umgeformt werden.

>  
> 4) Wie kann ich den Schluss " Die Lösungen erhält man wie
> folgt:
> [mm]x_{k}[/mm] beliebig aus [mm]\IR[/mm] für k [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm]
> [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus der i-ten Gleichung
> [mm]x_{j_{i}}[/mm] = [mm]b_{i}'[/mm] + linearer Ausdruck in den [mm]x_{k},[/mm] k
> [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm] "verstehen?
>  
>

Die betreffenden  [mm]x_{k}[/mm] werden durch das LGS ja nicht eindeutig festgelegt, sondern sind in der allgemeinen Lösung als frei wählbare Parameter enthalten. Diese können in jeder Komponente der Lösung vorkommen.
Beispiel: Am Ende bleiben zwei Gleichungen  [mm]x_1+2x_2=3[/mm] und 0=0.
Dann ist  [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar und  [mm]x_1=3-2x_2[/mm], wobei  [mm]b_1'=3[/mm] und das [mm]-2x_2[/mm] der "lineare Ausdruck ..." wäre.

>
> Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
>  Ich weiß es ist sehr viel zu lesen, dementsprechend habe
> ich den Fälligkeitszeitraum höher gesetzt.
>  Aber vielleicht findet einer die Zeit :-)
>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Gauß-Verfahren allgemein: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:22 Mi 18.01.2017
Autor: X3nion

Hallo donquijote,

dankeschön für deine Antwort und Erklärung! :-)

> Hallo,
> es wird ja nicht vorausgesetzt, dass zu Beginn alle (oder auch nur
> bestimmte) Koeffizienten ungleich 0 sind. Grundsätzlich hast du recht,
> wenn zu Beginn $ [mm] x_1 [/mm] $ tatsächlich (in irgendeiner Gleichung) mit einem
> Faktor ungleich 0 auftritt, dann ist $ [mm] j_1=1 [/mm] $, so dass es keine $ [mm] j
> gibt, für die irgendwas 0 sein muss. Da aber der allgemeine Fall betrachtet > wird, muss auch die Möglichkeit berücksichtigt werden, dass einzelne
> Spalten der Koeffizientenmatrix nur Nullen enthalten.

Wenn man ein LGS hat, in welchem die [mm] a_{ij} [/mm] vor den [mm] x_{1} \not= [/mm] 0 sind, dann setzt man ja [mm] j_{1} [/mm] = 1. Aber wieso ist dann die Bedingung wahr, dass [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i? Wenn keine Indizes j < [mm] j_{1} [/mm] existieren (bzw. sie nicht definiert sind), dann können die [mm] a_{ij} [/mm] ja eigentlich alles mögliche sein, oder?


>  
> b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden
> wenn alle $ [mm] a_{ij} [/mm] $ = 0 sind?

> Wenn auf der linken Seite nur Nullen stehen, bleiben nur zwei
> Möglichkeiten. Entweder ist (mindestens) eines der $ [mm] b_i\ne [/mm] 0 $, dann gibt > es keine Lösung. Oder auch die rechte Seite ist komplett Null, dass sind alle > $ [mm] x\in\mathbb{R}^n [/mm] $ Lösung.
> In jedem Fall erkennt man die Lösung sofort, so dass keine Umformung
> nötig ist.

Also spielt der Fall: alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0 darauf an, dass das Gleichungssystem von der Form 0 = 0 oder 0 = a mit a [mm] \not= [/mm] 0 ist?


>  $ [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] $ = ... = $ [mm] \overline{b}_{m} [/mm] $ sind ja die
> Koeffizienten auf der rechten Seite zu denjenigen Gleichungen, wo auf der > linken Seite 0 steht. Und das LGS ist genau dann lösbar, wenn es in der
> Zeilenstufenform keine Gleichung der Form $ [mm] 0=b_i [/mm] $ mit $ [mm] b_i\ne [/mm] 0 $ gibt.

>  
> Und das wären die $ [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] $ = ... =
> $ [mm] \overline{b}_{m} [/mm] $ z.B. im folgenden eliminierten LGS?
>  
> $ [mm] x_1 [/mm] $ + $ [mm] 2x_2 [/mm] $ + $ [mm] 3x_3 [/mm] $ = 1
>       $ [mm] 5x_2 [/mm] $ + $ [mm] 6x_3 [/mm] $ = 2
>            $ [mm] 9x_3 [/mm] $  = 3

> Hier ist m=r=3, so dass es keine $ [mm] \overline{b}_i [/mm] $ gibt mit $ [mm] r

Ist es also so, dass die [mm] b_{m} [/mm] nur dann auftreten, wenn auf der linken Seite 0 steht und eben nicht vorhanden sind, wenn auf der linken Seite [mm] \not= [/mm] 0 steht?


> Die betreffenden  $ [mm] x_{k} [/mm] $ werden durch das LGS ja nicht eindeutig
> festgelegt, sondern sind in der allgemeinen Lösung als frei wählbare
> Parameter enthalten. Diese können in jeder Komponente der Lösung
> vorkommen.
> Beispiel: Am Ende bleiben zwei Gleichungen  $ [mm] x_1+2x_2=3 [/mm] $ und 0=0.
> Dann ist  $ [mm] x_{2} [/mm] $ frei wählbar und  $ [mm] x_1=3-2x_2 [/mm] $, wobei  $ [mm] b_1'=3 [/mm] $ > und das $ [mm] -2x_2 [/mm] $ der "lineare Ausdruck ..." wäre.

[mm] x_{j_{1}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{1}' [/mm]
          [mm] x_{j_{2}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{2}' [/mm]
                    [mm] x_{j_{3}} [/mm] + ... + 0 + ... = [mm] b_{3}' [/mm]
...
                              [mm] x_{j_{r}} [/mm] + ... = [mm] b_{r}' [/mm]

                                     0 = [mm] b_{r+1}' [/mm]
...
                                     0 = [mm] b_{m}' [/mm]


Den letzten Punkt mit den [mm] x_{k} [/mm] bzw. mit dem resultierenden LGS habe ich noch nicht ganz verstanden. Was bedeutet zum Beispiel die Zeile
[mm] x_{j_{1}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{1}' [/mm] ?
Also für was sollen die ... stehen, für 0 oder für Ausdrücke?
Weil wenn man "geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1 Gleichungen hinzuaddiert", so wie es im Skript steht, dann würden doch die [mm] x_{j_{i}} [/mm] aus den ersten i-1 Gleichungen verschwinden und übrig bliebe in der 1. Zeile
[mm] x_{j_{1}} [/mm] = [mm] b_{1}', [/mm] in der 2. Zeile [mm] x_{j_{2}} [/mm] = [mm] b_{2}' [/mm] usw.., aber in diesem Falle würden dann doch die Fälle ausgeschlossen, dass z.B. [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 2 und 0=0 als LGS übrig bleibt.

Also was ich damit sagen möchte, dass in diesem Beispiel aus der 1. Zeile gar nicht [mm] x_{2} [/mm] eliminiert werden kann, weil in der 2. Zeile 0=0 steht.
Aber im Skript steht, dass wenn man eben geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1 hinzuaddiert, dass dann die [mm] x_{j_{i}} [/mm] aus den i-1 Gleichungen verschwinden, aber was garantiert mir hier, dass es wirklich möglich ist?


Für Antworten wie immer dankbar,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Gauß-Verfahren allgemein: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mi 18.01.2017
Autor: donquijote


> Hallo donquijote,
>  
> dankeschön für deine Antwort und Erklärung! :-)
>  
> > Hallo,
>  > es wird ja nicht vorausgesetzt, dass zu Beginn alle

> (oder auch nur
> > bestimmte) Koeffizienten ungleich 0 sind. Grundsätzlich
> hast du recht,
> > wenn zu Beginn [mm]x_1[/mm] tatsächlich (in irgendeiner Gleichung)
> mit einem
> > Faktor ungleich 0 auftritt, dann ist [mm]j_1=1 [/mm], so dass es
> keine [mm]j
>  > gibt, für die irgendwas 0 sein muss. Da aber der

> allgemeine Fall betrachtet > wird, muss auch die
> Möglichkeit berücksichtigt werden, dass einzelne
> > Spalten der Koeffizientenmatrix nur Nullen enthalten.
>
> Wenn man ein LGS hat, in welchem die [mm]a_{ij}[/mm] vor den [mm]x_{1} \not=[/mm]
> 0 sind, dann setzt man ja [mm]j_{1}[/mm] = 1. Aber wieso ist dann
> die Bedingung wahr, dass [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm] und alle
> i? Wenn keine Indizes j < [mm]j_{1}[/mm] existieren (bzw. sie nicht
> definiert sind), dann können die [mm]a_{ij}[/mm] ja eigentlich
> alles mögliche sein, oder?

In dem Fall ist [mm]a_{ij}=0[/mm] für [mm]j Das Gegenteil würde ja bedeuten: Es gibt ein [mm]j

>  
>
> >  

> > b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden
>  > wenn alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0 sind?

>  
> > Wenn auf der linken Seite nur Nullen stehen, bleiben nur
> zwei
> > Möglichkeiten. Entweder ist (mindestens) eines der [mm]b_i\ne 0 [/mm],
> dann gibt > es keine Lösung. Oder auch die rechte Seite
> ist komplett Null, dass sind alle > [mm]x\in\mathbb{R}^n[/mm]
> Lösung.
>  > In jedem Fall erkennt man die Lösung sofort, so dass

> keine Umformung
> > nötig ist.
>
> Also spielt der Fall: alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0 darauf an, dass das
> Gleichungssystem von der Form 0 = 0 oder 0 = a mit a [mm]\not=[/mm]
> 0 ist?

Ja, schließlich sollen alle möglichen Fälle abgedeckt werden.

>  
>
> >  [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] sind ja die

> > Koeffizienten auf der rechten Seite zu denjenigen
> Gleichungen, wo auf der > linken Seite 0 steht. Und das LGS
> ist genau dann lösbar, wenn es in der
> > Zeilenstufenform keine Gleichung der Form [mm]0=b_i[/mm] mit [mm]b_i\ne 0[/mm]
> gibt.
>  
> >  

> > Und das wären die [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... =
>  > [mm]\overline{b}_{m}[/mm] z.B. im folgenden eliminierten LGS?

>  >  
> > [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 1
>  >       [mm]5x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 2
>  >            [mm]9x_3[/mm]  = 3
>  
> > Hier ist m=r=3, so dass es keine [mm]\overline{b}_i[/mm] gibt mit
> [mm]r
>
> Ist es also so, dass die [mm]b_{m}[/mm] nur dann auftreten, wenn auf
> der linken Seite 0 steht und eben nicht vorhanden sind,
> wenn auf der linken Seite [mm]\not=[/mm] 0 steht?

Du meinst die [mm]\overline{b}_{i}[/mm] für i>m. Diese treten nur auf, wenn auf der linken Seite (mindestens) eine Nullzeile entsteht. Für den Eintrag rechts gibt es dann die zwei Möglichkeiten [mm]\overline{b}_{i}=0[/mm] und [mm]\overline{b}_{i}\ne 0[/mm].

>  
>
> > Die betreffenden  [mm]x_{k}[/mm] werden durch das LGS ja nicht
> eindeutig
> > festgelegt, sondern sind in der allgemeinen Lösung als
> frei wählbare
> > Parameter enthalten. Diese können in jeder Komponente der
> Lösung
> > vorkommen.
>  > Beispiel: Am Ende bleiben zwei Gleichungen  [mm]x_1+2x_2=3[/mm]

> und 0=0.
>  > Dann ist  [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar und  [mm]x_1=3-2x_2 [/mm], wobei  

> [mm]b_1'=3[/mm] > und das [mm]-2x_2[/mm] der "lineare Ausdruck ..." wäre.
>
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{1}'[/mm]
>            [mm]x_{j_{2}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{2}'[/mm]
>                      [mm]x_{j_{3}}[/mm] + ... + 0 + ... = [mm]b_{3}'[/mm]
>  ...
>                                [mm]x_{j_{r}}[/mm] + ... = [mm]b_{r}'[/mm]
>  
> 0 = [mm]b_{r+1}'[/mm]
>  ...
>                                       0 = [mm]b_{m}'[/mm]
>  
>
> Den letzten Punkt mit den [mm]x_{k}[/mm] bzw. mit dem resultierenden
> LGS habe ich noch nicht ganz verstanden. Was bedeutet zum
> Beispiel die Zeile
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{1}'[/mm] ?
>  Also für was sollen die ... stehen, für 0 oder für
> Ausdrücke?
>  Weil wenn man "geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu
> den ersten i-1 Gleichungen hinzuaddiert", so wie es im
> Skript steht, dann würden doch die [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus den
> ersten i-1 Gleichungen verschwinden und übrig bliebe in
> der 1. Zeile
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] = [mm]b_{1}',[/mm] in der 2. Zeile [mm]x_{j_{2}}[/mm] = [mm]b_{2}'[/mm]
> usw.., aber in diesem Falle würden dann doch die Fälle
> ausgeschlossen, dass z.B. [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 2 und 0=0 als LGS
> übrig bleibt.
>  
> Also was ich damit sagen möchte, dass in diesem Beispiel
> aus der 1. Zeile gar nicht [mm]x_{2}[/mm] eliminiert werden kann,
> weil in der 2. Zeile 0=0 steht.
>  Aber im Skript steht, dass wenn man eben geeignete
> Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1
> hinzuaddiert, dass dann die [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus den i-1
> Gleichungen verschwinden, aber was garantiert mir hier,
> dass es wirklich möglich ist?

Im Teil II des beschriebenen Algorithmus werden nur die Variablen [mm]x_{j_{k}}[/mm] für [mm]k\ne i[/mm] eliminiert, also diejenigen Unbekannten, die in einer anderen Gleichung als Pivotelemente auftreten. Und die bekommt man immer weg, wenn zur i-ten Gleichung ein Vielfaches der k-ten Gleichung addiert/subtrahiert wird. Die übrigen Unbekannten (wie [mm]x_{2}[/mm] in deinem Beispiel) können in anderen Gleichungen stehenbleiben. Diese Unbekannten bleiben in der allgemeinen Lösung als freie Parameter enthalten. Das heißt, ein umgeformtes LGS könnte z.B. so aussehen
x-2y   =3
     z=1
     0=0
was dann zur allgemeinen Lösung z=1, y beliebig und x=3+2y führt. Wichtig ist nur, das in dem Beispiel (in Teil II) z aus der 1. Gleichung eliminiert wurde.

>  
>
> Für Antworten wie immer dankbar,
>  X3nion


Bezug
                                
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Gauß-Verfahren allgemein: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:15 Do 19.01.2017
Autor: X3nion

Hallo donquijote,

Danke für deine Hilfe, mir ist es nun klar geworden! :-)

VG X3nion

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