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Forum "Uni-Numerik" - Gauß - Approximation Rechnung
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Gauß - Approximation Rechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:46 Do 23.01.2020
Autor: inkeddude

Aufgabe
Man bestimme die Gauß - Approximation der Funktion $f(x) = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] bzgl. der [mm] $L^{2}$ [/mm] - Norm über dem Intervall $[0, 1]$ in den Polynomräumen [mm] $P_{0}, P_{1}$ [/mm] und [mm] $P_{2}$. [/mm]

Man stelle die Ergebnisse graphisch dar.


Heyoo.


Ich verzweifle seit einer guten Weile an der Gauß - Approximation, weil ich das Verfahren nicht ganz verstehe...

Ich lese die Gauß-Approximation hier nach: https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf

Fängt ab Seite 58 an.

Und weil ich da nicht durchblicke, dachte ich mir, ich bearbeite einfach mal eine Aufgabe dazu. Vielleicht werde ich da wärmer.


Dazu schreibe ich kurz die Abschnitte ab, die ich wichtig finde.




Gegeben sei eine Funktion $f [mm] \in [/mm] $C[a, b]$, sowie ein endlich dimensionaler Teilraum $S [mm] \subset [/mm] C[a, b], dessen Elemente  zur Approximation von $f$ dienen sollen, z.B.: $S = [mm] P_{n}$, [/mm] Raum der Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] n$.

Im Gegensatz zur Interpolation verwendet die "Gauß - Approximation" das sog. "Quadratische Mittel"

[mm] $\vert \vert [/mm] f [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) \vert^{2} dx \right [/mm] )$


als Maß für die Güte einer Approximation. D.h.: Gesucht ist ein $g [mm] \in [/mm] S$, so dass [mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \min\limits_{\varphi \in S } \vert \vert [/mm] f - [mm] \varphi \vert \vert$. [/mm]


Das Analogon zum zum euklidischen Skalarprodukt ist in diesem Fall das sog. [mm] $L^{2}$ [/mm] - Skalarprodukt


$(f, g) = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] f(t) [mm] \overline{g(t)} [/mm] dt,  (f, f) = [mm] \vert \vert [/mm] f [mm] \vert \vert^{2}$. [/mm]



Versehen mit dem [mm] $L^{2}$ [/mm] - Skalarprodukt wird $C[a, b]$ zu einem sog. "unitären Raum".

Für die Gauß - Approximation in unitären Räumen haben wir folgende Aussage:



Satz 2.13 (Allgemeine Gauß - Approximation)

Seien $H$ ein unitärer Raum und $S [mm] \subset [/mm] H$ ein endlich diensionaler Teilraum. Dann existiert zu jedem $f [mm] \in [/mm] H$ eine eindeutig bestimmte "beste Approximation" $g [mm] \in [/mm] S$:

[mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \min\limits_{\varphi \in S } \vert [/mm] f - [mm] \varphi \vert \vert$ [/mm]


Zur Konstruktion der besten Approximation $g [mm] \in [/mm] S$ zu einer Funktion $f [mm] \in [/mm] H$ kann zunächst das Gleichungssystem dienen:


[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi_{k}, \psi_{i}) a_{k} [/mm] = (f, [mm] \psi_{i}), [/mm] $ i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n$.




Ich würde mehr abtippen, aber dann wird die Frage zu lang.

Jedenfalls hat sich am Ende des Kapitels (Seite 66) herausgestellt, dass die beste Approximation einer Funktion $f [mm] \in [/mm] C[-1, 1]$ in [mm] P_{n}$ [/mm] bzgl. des gewichteten Skalarprodukts [mm] $(\cdot, \cdot)_{\omega}$ [/mm] die Gestalt



$g = [mm] \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} T_{k}(x)$ [/mm]

mit den Koeffizienten

[mm] $a_{0} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} \int_{- 1}^{1} [/mm] f(x) [mm] \omega(x) [/mm] dx,$ [mm] $a_{k} [/mm] = [mm] \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} [/mm]  f(x) [mm] T_{k}(x) \omega(x) [/mm] dx, k = 1, [mm] \ldots, [/mm]  n$ hat.



Dabei sind [mm] $T_{k}$ [/mm] die Tschebyscheff - Polynome und [mm] \omega(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ [/mm]



Ich denke, dass dies nur die beste Approximation speziell für den Fall H = C[- 1, 1]$ und $S = [mm] P_{n} \subset [/mm] H$ gilt. Für andere Teilräume habe ich gar keine Ahnung.




Nun zur Aufgabe.

In der Aufgabe ist von der [mm] $L^{2}$ [/mm] - Norm die Rede und im Skript vom [mm] $L^{2}$ [/mm] - Skalarprodukt.

Wie ist das nun gemeint? Und in der Summe $g = [mm] \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} T_{k}(x)$ [/mm] ist kein Skalarprodukt zu finden oder sonst was.

Das heißt, ich weiß nicht, wie ich die [mm] $L^{2}$ [/mm] - Norm oder das [mm] $L^{2}$ [/mm] - Skalarprodukt hier einbringen soll.


Außerdem ist das Intervall hier $[0, 1]$ und nicht $[- 1, 1]$.

Also man merkt, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe... Würde mich auf eine Antwort freuen.


Wünsche euch einen guten Morgen!

        
Bezug
Gauß - Approximation Rechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Do 23.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

schau dir mal diese Frage hier im Forum an. Da hat einer deiner Komilitonen zum selben Beweis fragen gestellt.
Es lohnt sich also auf jeden Fall, dies nachzuarbeiten…

> Zur Konstruktion der besten Approximation [mm]g \in S[/mm] zu einer
> Funktion [mm]f \in H[/mm] kann zunächst das Gleichungssystem
> dienen:
>
> [mm]$\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi_{k}, \psi_{i}) a_{k}[/mm] = (f,
> [mm]\psi_{i}),[/mm] $ i = 1, [mm]\ldots,[/mm] n$.
>
> Ich würde mehr abtippen, aber dann wird die Frage zu
> lang.

Das wesentliche hast du dann weggelassen, nämlich:

> d. h.: Die beste Approximation ist explizit bestimmt durch
> $g = [mm] \sum_{k=1}^n (f,\psi_k)\psi_k$ [/mm]

Wie sehen denn nun die Orthonormalbasen von [mm] $P_0,P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] aus?
Das solltest du wissen… dann berechnet man noch [mm] $(f,\psi_k)$ [/mm] für [mm] $k\in\{1,2,3\}$ [/mm] und fertig ist der Lack…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Gauß - Approximation Rechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Do 23.01.2020
Autor: inkeddude

Hey!

> Hiho,
>  
> schau dir mal diese Frage
> hier im Forum an. Da hat einer deiner Komilitonen zum
> selben Beweis fragen gestellt.
>  Es lohnt sich also auf jeden Fall, dies nachzuarbeiten…


Vielen Dank, ich habe das gerade eben fertig nachgearbeitet. Da wurde allerdings nur die Hälfte des Beweises besprochen.
In der anderen Hälfte wird die beste Approximation konstruiert.

Ich versuche den Beweis kurz zusammenzufassen:



Es wurde in der ersten Hälfte des Beweises gezeigt:

Seien $H$ ein unitärer Raum und $S [mm] \subset [/mm] H$ ein endlich dimensionaler Teilraum.

Es ist $g [mm] \in [/mm] S$ eine beste Approximation von $f [mm] \in [/mm] H$ genau dann,  wenn $(f - g, [mm] \varphi) [/mm] = [mm] 0\quad \forall \varphi \in [/mm] S$.


In der zweiten Hälfte steht dann folgendes:



Der endlich dimensionale Teilraum Teilraum $S [mm] \subset [/mm] H$ besitzt eine Basis [mm] $\{ \psi_{1}, \ldots, \psi_{n} \}, [/mm] n := dim H$, bzgl. derer sich die gesuchte beste Approximation $g [mm] \in [/mm] S$ darstellen lässt in der Form


$g = [mm] \sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} \psi_{k}$. [/mm]





Oben hatten wir doch besprochen, dass $g [mm] \in [/mm] S$  genau dann eine beste Approximation von $f [mm] \in [/mm] H$ ist, wenn $(f - g, [mm] \varphi) [/mm] = [mm] 0\quad \forall \varphi \in [/mm] S$ gilt.

Wenn wir $g = [mm] \sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} \psi_{k}$ [/mm] in die Gleichung einsetzen, dann erhalten wir die Gleichung:


[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} (\psi_{k}, \varphi) [/mm] = (f, [mm] \varphi)\quad \forall \varphi \in [/mm] S$


Diese Gleichung gilt für alle [mm] $\varphi \in [/mm] S$. Warum setzt man nun [mm] $\varphi [/mm] := [mm] \psi_{i}$? [/mm]


Etwa aus folgendem Grund? (kommt erst später nach dem Beweis, aber ich habe sonst keine Ahnung):

_______________________________________________________________________________________________________________________________

[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} (\psi_{k}, \varphi) [/mm] = (f, [mm] \varphi)$ [/mm] gilt für alle [mm] $\varphi \in [/mm] S$.

Wir können aber nicht jedes [mm] $\varphi \in [/mm] S$ in diese Gleichung einsetzen und dann die [mm] $a_{k}$ [/mm] bestimmen, da es höchstwahrscheinlich  undnendlich viele [mm] $\varphi$ [/mm] in $S$ gibt und wir hätten damit ein "unendlich" [mm] $\times$ [/mm] $n$ - System zu lösen. Wir haben dann $n$ viele Unbekannte [mm] $a_{k}$ [/mm] und unendlich viele Gleichungen, da wir für jedes [mm] $\varphi \in [/mm] S$ eine Gleichung haben und davon gibt es unendlich viele.

Wir hätten dann ein überbestimmtes Gleichungssystem.



Daher orthonormalisiert man die Basis $ B [mm] :=\{ \psi_{1}, \ldots, \psi_{n} \}$ [/mm] und man erhält die Basis  $ B' [mm] :=\{ \psi'_{1}, \ldots, \psi'_{n} \}$. [/mm]  Diese neue Basis erzeugt auch $g$. Es gilt also $ g = [mm] \sum\limits_{k = 1}^{n} [/mm] a'_{k} [mm] \psi'_{k}$. [/mm]

Und für jedes andere [mm] $\varphi \in [/mm] S$ gilt: $ [mm] \varphi [/mm] = [mm] \sum\limits_{k = 1}^{n} [/mm] b'_{k} [mm] \psi'_{k}$ [/mm]


Uns statt dann dieses  "unendlich" [mm] $\times$ [/mm] $n$ - System lösen zu wollen, lösen wir einfach das $n  [mm] \times [/mm] n$ -System

[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \psi'_{1}) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \psi'_{1})$ [/mm]

[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \psi'_{2}) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \psi'_{2})$ [/mm]

[mm] \vdots [/mm]


[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \psi'_{n}) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \psi'_{n})$ [/mm]


Passt das von der Argumentation bisher ?


Es bleibt nur noch die Frage übrig, warum die Lösung der Gleichung [mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} (\psi_{k}, \varphi) [/mm] = (f, [mm] \varphi)\quad \forall \varphi \in [/mm] S$ die selbe ist, wie die von der Gleichung


[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \psi'_{i}) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \psi_{i}) [/mm] ( i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n)$.




Naja, die Lösung der Gleichung  [mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \psi'_{i}) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \psi'_{i}) [/mm] ( i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n)$ ist die selbe Lösung von der Gleichung

[mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \varphi) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \varphi)$ [/mm] für alle [mm] $\varphi \in [/mm] B'$.


Die  Lösung der Gleichung  [mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \psi'_{i}) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \psi'_{i}) [/mm] ( i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n)$ ist auch die Lösung der Gleichung    [mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \sum\limits_{k = 1}^{n} [/mm] b'_{k} [mm] \psi'_{k}) [/mm] a'_{k} = (f, [mm] \sum\limits_{k = 1}^{n} [/mm] b'_{k} [mm] \psi'_{k}) [/mm] ( i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n)$, was exakt das selbe ist wie [mm] $\sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} (\psi_{k}, \varphi) [/mm] = (f, [mm] \varphi)\quad \forall \varphi \in [/mm] S$ .


_______________________________________________________________________________________________________________________________



Passt das soweit ?



> Wie sehen denn nun die Orthonormalbasen von [mm]P_0,P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm]
> aus?
> Das solltest du wissen… dann berechnet man noch
> [mm](f,\psi_k)[/mm] für [mm]k\in\{1,2,3\}[/mm] und fertig ist der Lack…


Das ist das Problem. Ich weiß nicht, welche Orthornmalbasen man meint. Die Legendre - Polynome oder die Teschebyscheff - Polynome ?
Stehe gerade völlig auf dem Schlauch....



Gruß,

Inkeddude


Bezug
                        
Bezug
Gauß - Approximation Rechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Do 23.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> Wenn wir [mm]g = \sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} \psi_{k}[/mm] in die
> Gleichung einsetzen, dann erhalten wir die Gleichung:
>  
> [mm]\sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} (\psi_{k}, \varphi) = (f, \varphi)\quad \forall \varphi \in S[/mm]
>  
>
> Diese Gleichung gilt für alle [mm]\varphi \in S[/mm]. Warum setzt
> man nun [mm]\varphi := \psi_{i}[/mm]?

Ziel ist es ja, die [mm] a_k [/mm] zu finden.
Man hat also n unbekannte.
Man braucht also n linear unabhängige Gleichungen… wir wissen, dass die [mm] \psi_k [/mm] genau n linear unabhängige Funktionen sind.
Da macht es doch Sinn, das zu kombinieren.

> Wir können aber nicht jedes [mm]\varphi \in S[/mm] in diese
> Gleichung einsetzen und dann die [mm]a_{k}[/mm] bestimmen, da es
> höchstwahrscheinlich  undnendlich viele [mm]\varphi[/mm] in [mm]S[/mm] gibt
> und wir hätten damit ein "unendlich" [mm]\times[/mm] [mm]n[/mm] - System zu
> lösen.

Jedes [mm] $\varphi \in [/mm] S$ besitzt aber eine Darstellung bezüglich der [mm] $\psi_k$, [/mm] so dass wir immer wieder nur auf n linear unabhängige Gleichungen kommen…

Wenn du dir aber n andere linear unabhängige Funktionen [mm] $\varphi_k$ [/mm] nehmen willst statt der [mm] $\psi_k$: [/mm] Nur zu, nur ist der Rechenaufwand schlichtweg höher.

> Daher orthonormalisiert man die Basis [mm]B :=\{ \psi_{1}, \ldots, \psi_{n} \}[/mm]
> und man erhält die Basis  [mm]B' :=\{ \psi'_{1}, \ldots, \psi'_{n} \}[/mm].
>  Diese neue Basis erzeugt auch [mm]g[/mm]. Es gilt also [mm]g = \sum\limits_{k = 1}^{n} a'_{k} \psi'_{k}[/mm].

Nein, die orthonormalisiert man, damit man später [mm] $(\psi_k,\psi_k) [/mm] = 1$ hat, womit sich viel einfacher rechnen lässt.
Mathematiker sind faul.

> Es bleibt nur noch die Frage übrig, warum die Lösung der
> Gleichung [mm]\sum\limits_{k = 1}^{n} a_{k} (\psi_{k}, \varphi) = (f, \varphi)\quad \forall \varphi \in S[/mm] die selbe ist, wie die von der Gleichung
>
>
> [mm]\sum\limits_{k = 1}^{n} (\psi'_{k}, \psi'_{i}) a'_{k} = (f, \psi_{i}) ( i = 1, \ldots, n)[/mm].

Ist sie bezogen auf die [mm] $a_k$ [/mm] bzw. [mm] $a_k'$ [/mm] nicht.
D.h. diese werden sich ganz bestimmt sogar unterscheiden… aber die finale Summe stimmt wieder überein.

Wir haben ja nur gesagt, die ideale Lösung g lässt sich schreiben als: [mm]\sum\limits_{k = 1}^{n} a_k\psi_k = \sum_{k=1}^n a_k'\psi_k'[/mm]

Und dann berechnen wir die entsprechenden Koeffizienten [mm] a_k [/mm] bzw. [mm] $a_k'$. [/mm]
Die Berechnung der [mm] $a_k'$ [/mm] ist einfach leichter, weil die [mm] $\psi_k'$ [/mm] normalisiert sind, also berechnen wir eben die.

Wenn wir die haben, haben wir unser g gefunden… und dieses g ist immer dasselbe. Nur die Darstellung unterscheidet sich eben bezüglich der gewählten Basis. Das ist uns aber Wurscht, weil uns ja nur die Funktion als ganzes interessiert und nicht die Darstellung.


> > Wie sehen denn nun die Orthonormalbasen von [mm]P_0,P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm]
> > aus?
> > Das solltest du wissen… dann berechnet man noch
> > [mm](f,\psi_k)[/mm] für [mm]k\in\{1,2,3\}[/mm] und fertig ist der Lack…
>  
>
> Das ist das Problem. Ich weiß nicht, welche
> Orthornmalbasen man meint. Die Legendre - Polynome oder die
> Teschebyscheff - Polynome ?
> Stehe gerade völlig auf dem Schlauch....

Weder noch. Beide Polynome habt ihr bestimmt für $[-1,1]$ hergeleitet. Du hast aber nun $[0,1]$ gegeben.
Wenn du da keine orthonormalen Polynome kennst, musst du sie dir wohl herleiten.

Tipp:
1.) Nimm ein Polynom vom Grad Null und normiere es => erster Basisvektor
2.) Nimm ein beliebiges Polynom vom Grad 1 (also ax + b) und bestimme a und b so, dass es normiert ist und orthogonal zu dem Polynom in 1 steht.
3.) Mach das selbe mit einem Polynom 2. Grades

Gruß,
Gono


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