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| Aufgabe | Man soll eine asymptotisch korrekte Fehlerschätzung für die Gaußformel [mm] $G_{3}(f)$ [/mm] anbieten. Die Idee ist , als Schätzung für den unbekannten Fehler [mm] $G_{3}(f) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt}$ [/mm] die Differenz [mm] $G_{3}(f) [/mm] - [mm] g_{5}(f)$ [/mm] zu nehmen. Machen Sie das folgende Experiment: Unterteilen Sie das Intervall [0,1] in äquidistante Teilintervalle der Länge h. Wenden Sie darauf stückweise die transformierte Formel [mm] $G_{3}(f)$ [/mm] an. Das Resultat sei mit [mm] $G_{h}^{3}(f) [/mm] $bezeichnet.
Führen Sie die Näherungsformel für eine Reihe feiner werdenden Schrittweiten h aus und berechnen Sie für jede dieser Schrittweiten den Fehler $| [mm] G_{h}^{3}(f) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt}$. [/mm] Aus dem Ansatz:
$| [mm] G_{h}^{3}(f) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt}| \approx [/mm] c [mm] \cdot h^{p} [/mm] , h [mm] \to [/mm] 0 $
kann man für jeweils zwei aufeinanderfolgende Schrittweiten eine Schätzung für die, von h unabhängige, Konstante c und die Ordnung p ausrechnen.
Wir wollen eine asymptotisch korrekte Fehlerschätzung, also die Potenz q in:
[mm] \Bigg| G_{h}^{3}(f) - \int_{a}^b f(t)dt - (G_{h}^{3}(f) - G_{h}^{5}(f)) \Bigg| = \Big| G_{h}^{5}(f) - \int_{a}^b f(t)dt \Big| \approx c \cdot h^{q} , h \to 0 [/mm]
muss $q [mm] \ge [/mm] p+1$ erfüllen.
Prüfen Sie die Zuverlässigkeit dieser Schätzprozedur anhand einiger Beispiele. |
Hallo ,
Ich sitze gerade an dieser Numerik Aufgabe und würde mich freuen wenn ihr ein paar Gedanken einbringen könntet.
Hier das bisweilen Geleistete:
Für die Gauß-Integration (ich bezeichne hiermit die Gauß-Legendre-Integration) erhalten wir durch Transformation folgende Verfahrensformel:
[mm] \int_{a}^b f(y)dy = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n \omega_{i} f(y_{i}) , y_{i} = (\frac{b-a}{2})x_{i} + \frac{b+a}{2} [/mm]
wobei [mm] $x_{i}$ [/mm] die i-te Nullstelle des Legendre - Polynoms und [mm] $\omega_{i}$ [/mm] die entsprechenden Gewichte bezeichne.
Das Programmieren der Gaußquadratur für 3 und 5 Stützpunkte (also [mm] $G_{3}(f) [/mm] , [mm] G_{5}(f)$) [/mm] ging ziemlich problemlos und die (Matlab)-Funktionen approximieren den exakten Integral-Wert ausgesprochen gut (Egal welche Funktionen gewählt werden).
Meine Frage: Wie sollte ich denn nun $p,q$ bestimmen?
Mein Ansatz wäre p aus: [mm] $\frac{ \Delta G_{h}^{3} }{ \Delta G_{h/2}^{3}} [/mm] = [mm] 2^{p} [/mm] also p = [mm] \frac{\frac{ \Delta G_{h}^{3} }{ \Delta G_{h/2}^{3}}}{ln(2)} [/mm] zu bestimmen. (wobei [mm] \Delta G_{h}^{3} [/mm] = [mm] G_{h}^{3} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}f(t)dt)
[/mm]
Analoges Vorgehen für q und [mm] $G_{h}^{5}$.
[/mm]
Das Problem ist nur : Gelangen wir zum Teilungsschritt $h = [mm] \frac{1}{8}$ [/mm] , demnach [mm] $\frac{h}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{16}$ [/mm] , erfüllt q nicht mehr die Bedingung $ [mm] \ge [/mm] p+1$.
Der Verlust dieser Eigenschaft kommt mir etwas früh vor.... ?
Habe ich die Aufgabe missverstanden? Sollte p und q anders bestimmt werden?
Beste Grüße und vielen Dank
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:12 So 19.01.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Also die Bestimmung von p passt auch. Wenn ich das einsetze , das c ausrechne und das ganze dann versuche entspricht dann [mm] c \cdot h^p[/mm] dem Fehlder bzw. der Differenz von Approximation zu exakten Integral.
Eventuell müsste ich q anders bestimmen - obgleich ich mir das nicht vorstellen kann...
würde mich sehr über Ideen freuen.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 20.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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