Gauß Fluss < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mi 22.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Gegeben ist das Vektorfeld m: [mm] (x,y,z)^{t} [/mm] -> [mm] \vektor{x \\ y \\ z }
[/mm]
und der Bereich S: [mm] {x^2 + y^2 + z^2 \le 1}
[/mm]
x,y und z sind jeweils größer gleich 0.
T ist die Randfläche von S, welche geschlossen ist.
Berechnen sie den Fluss von m durch T |
Ich habe dies nun versucht über die Formel von Gauß:
[mm] \integral \integral \integral_{T} [/mm] div(m) dx dy dz anzuwenden.
div(m) = 3
Nun dachte ich da es sich ja beim Bereich B um eine Kugel mit dem Radius 1 handelt, kann ich das ganze folgendermaßen parametrisieren:
x = r [mm] sin(\gamma) [/mm] * cos( [mm] \delta)
[/mm]
y= r [mm] sin(\gamma) [/mm] * sin( [mm] \delta)
[/mm]
z= r [mm] cos(\gamma)
[/mm]
die Funktionaldeterminante |J| = [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin(\gamma)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} {3r^2 * sin(\gamma) dr d\gamma d\delta}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2\pi} {sin(\gamma)} d\gamma d\delta
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi} [-cos(\gamma)] [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi d\delta
[/mm]
erhalt ich nun 0..was ja aber nicht sein kann.
Ist mein Ansatz denn überhaupt korrekt?
Vielen Dank fürs drüber schauen!
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Hallo zocca21,
> Gegeben ist das Vektorfeld m: [mm](x,y,z)^{t}[/mm] -> [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
>
> und der Bereich S: [mm]{x^2 + y^2 + z^2 \le 1}[/mm]
> x,y und z sind
> jeweils größer gleich 0.
>
> T ist die Randfläche von S, welche geschlossen ist.
>
> Berechnen sie den Fluss von m durch T
> Ich habe dies nun versucht über die Formel von Gauß:
>
> [mm]\integral \integral \integral_{T}[/mm] div(m) dx dy dz
> anzuwenden.
>
> div(m) = 3
>
> Nun dachte ich da es sich ja beim Bereich B um eine Kugel
> mit dem Radius 1 handelt, kann ich das ganze
> folgendermaßen parametrisieren:
>
> x = r [mm]sin(\gamma)[/mm] * cos( [mm]\delta)[/mm]
> y= r [mm]sin(\gamma)[/mm] * sin( [mm]\delta)[/mm]
> z= r [mm]cos(\gamma)[/mm]
>
> die Funktionaldeterminante |J| = [mm]r^2[/mm] * [mm]sin(\gamma)[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} {3r^2 * sin(\gamma) dr d\gamma d\delta}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2\pi} {sin(\gamma)} d\gamma d\delta[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi} [-cos(\gamma)][/mm] von 0 bis [mm]2\pi d\delta[/mm]
>
> erhalt ich nun 0..was ja aber nicht sein kann.
Bedenke, daß sich alles im 1. Oktanten abspielt.( [mm]x,y,z \ge 0[/mm] )
Damit ändern sich au die Integrationsbereiche für [mm]\gamma, \ \delta[/mm]
>
> Ist mein Ansatz denn überhaupt korrekt?
>
> Vielen Dank fürs drüber schauen!
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mi 22.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Vielen Dank,
das hatte ich natürlich übersehen..
Habe nun das richtige Ergebnis raus ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 22.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist das Vektorfeld m: [mm](x,y,z)^{t}[/mm] -> [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
>
> und der Bereich S: [mm]{x^2 + y^2 + z^2 \le 1}[/mm]
> x,y und z sind
> jeweils größer gleich 0.
>
> T ist die Randfläche von S, welche geschlossen ist.
>
> Berechnen sie den Fluss von m durch T
> Ich habe dies nun versucht über die Formel von Gauß:
>
> [mm]\integral \integral \integral_{T}[/mm] div(m) dx dy dz
> anzuwenden.
>
> div(m) = 3
>
> Nun dachte ich da es sich ja beim Bereich B um eine Kugel
> mit dem Radius 1 handelt, kann ich das ganze
> folgendermaßen parametrisieren:
>
> x = r [mm]sin(\gamma)[/mm] * cos( [mm]\delta)[/mm]
> y= r [mm]sin(\gamma)[/mm] * sin( [mm]\delta)[/mm]
> z= r [mm]cos(\gamma)[/mm]
>
> die Funktionaldeterminante |J| = [mm]r^2[/mm] * [mm]sin(\gamma)[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} {3r^2 * sin(\gamma) dr d\gamma d\delta}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\gamma$ [/mm] läuft von 0 bis [mm] $\pi$, [/mm] nicht bis [mm] $2\pi$.
[/mm]
Übrigens ist das gerade 3 mal dem Volumen der Einheitskugel, kommt also [mm] $4\pi$ [/mm] heraus.
Viele Grüße
Rainer
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> Gegeben ist das Vektorfeld m: [mm](x,y,z)^{t}[/mm] -> [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
> und der Bereich S: [mm]{x^2 + y^2 + z^2 \le 1}[/mm]
> x,y und z sind
> jeweils größer gleich 0.
>
> T ist die Randfläche von S, welche geschlossen ist.
>
> Berechnen sie den Fluss von m durch T
> Ich habe dies nun versucht über die Formel von Gauß:
>
> [mm]\integral \integral \integral_{T}[/mm] div(m) dx dy dz
> anzuwenden.
Nach diesen Vorüberlegungen könnte man die Aufgabe
doch auch ganz ohne 3D-Integral lösen, nämlich so:
der Fluss durch die gesamte Kugeloberfläche muss
(nach Gauß) gleich [mm] div(m)*Kugelvolumen=3*\frac{4\,\pi}{3}*R^3=4\,\pi [/mm] sein.
Der Fluss durch den Teil der Kugeloberfläche im
Bereich mit [mm] x\ge0 [/mm] , [mm] y\ge0 [/mm] , [mm] z\ge0 [/mm] ist ein Achtel davon, also [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] .
Man kann sich leicht überlegen, dass der Fluss des
Vektorfeldes durch jede der drei Ebenen x=0 , y=0 , z=0
überall gleich Null sein muss.
Also ist der gesamte Fluss von m durch T gleich [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] .
Auch sogar ohne den Satz von Gauß kann man den
gesuchten Fluß durch die Achtels-Kugeloberfläche
ganz leicht berechnen. Da der Vektor [mm] \vec{m} [/mm] an jeder
Stelle dieser Fläche den Betrag 1 hat und radial nach
außen gerichtet ist, ist der Fluss gleich [mm] |\vec{m}|*Flaecheninhalt
[/mm]
[mm] =1*\frac{4\,\pi}{8}=\frac{\pi}{2} [/mm] .
Stimmt dies mit dem "offiziellen" Ergebnis überein ?
(andernfalls ist die Aufgabenstellung nicht korrekt
zu mir rüber gekommen ...)
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
> > Gegeben ist das Vektorfeld m: [mm](x,y,z)^{t}[/mm] -> [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
>
> > und der Bereich S: [mm]{x^2 + y^2 + z^2 \le 1}[/mm]
> > x,y und z
> sind
> > jeweils größer gleich 0.
> >
> > T ist die Randfläche von S, welche geschlossen ist.
> >
> > Berechnen sie den Fluss von m durch T
> > Ich habe dies nun versucht über die Formel von Gauß:
> >
> > [mm]\integral \integral \integral_{T}[/mm] div(m) dx dy dz
> > anzuwenden.
>
>
> Nach diesen Vorüberlegungen könnte man die Aufgabe
> doch auch ganz ohne 3D-Integral lösen, nämlich so:
> der Fluss durch die gesamte Kugeloberfläche muss
> (nach Gauß) gleich
> [mm]div(m)*Kugelvolumen=3*\frac{4\,\pi}{3}*R^3=4\,\pi[/mm] sein.
> Der Fluss durch den Teil der Kugeloberfläche im
> Bereich mit [mm]x\ge0[/mm] , [mm]y\ge0[/mm] , [mm]z\ge0[/mm] ist ein Achtel davon,
> also [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] .
> Man kann sich leicht überlegen, dass der Fluss des
> Vektorfeldes durch jede der drei Ebenen x=0 , y=0 , z=0
> überall gleich Null sein muss.
> Also ist der gesamte Fluss von m durch T gleich
> [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] .
>
> Auch sogar ohne den Satz von Gauß kann man den
> gesuchten Fluß durch die Achtels-Kugeloberfläche
> ganz leicht berechnen. Da der Vektor [mm]\vec{m}[/mm] an jeder
> Stelle dieser Fläche den Betrag 1 hat und radial nach
> außen gerichtet ist, ist der Fluss gleich
> [mm]|\vec{m}|*Flaecheninhalt[/mm]
> [mm]=1*\frac{4\,\pi}{8}=\frac{\pi}{2}[/mm] .
>
> Stimmt dies mit dem "offiziellen" Ergebnis überein ?
Ja, das ist das "offizielle" Ergebnis.
> (andernfalls ist die Aufgabenstellung nicht korrekt
> zu mir rüber gekommen ...)
>
> LG Al-Chw.
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ja, das ist das "offizielle" Ergebnis.
Hallo MathePower,
ich fand halt in der Aufgabenstellung
Gegeben ist das Vektorfeld m: $\green{(x,y,z)^{t}} $ -> $\green{ \vektor{x \\ y \\ z } $
und der Bereich S: $\green{ {x^2 + y^2 + z^2 \le 1} $
x,y und z sind jeweils größer gleich 0.
T ist die Randfläche von S, welche geschlossen ist.
die geometrische Beschreibung von S zumindest ungeschickt.
Klar wäre gewesen:
$\ S\ =\ \{\ (x,y,z)\ |\ x\ge0\ \wedge\ y\ge0\ \wedge\ z\ge0\ \wedge\ x^2 + y^2 + z^2 \le 1\,\}$
LG Al-Chw.
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