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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 Fr 14.01.2011 | | Autor: | ich89HD |
| Aufgabe | Man bestimme eine Guaßsche Quadraturformel [mm] I_n [/mm] (f), welche das Integral
[mm] I(f)=\integral_{-1}^{1} [/mm] f(x) [mm] \sqrt{\abs{x}}dx
[/mm]
für alle Polynome aus [mm] P_3 [/mm] exakt integriert.
Anmerkung von mir: Irgendwie wird das Gewicht nicht richtig angezeigt. Soll heißen sqrt(abs(x)), die Betragsstriche, zeigt es aber zumindest bei mir nicht an... |
Hallo,
Mein Ansatz: [mm] \forall [/mm] p [mm] \in P_3§ [/mm] exakt intgeriert, also 4ter Ordnung und damit n=1
Dann habe ich mit Gram-Schmidt [mm] \{1, x, x^2\} [/mm] bzgl. des gewichteten Skalarprodukts orthogonalisiert.
[mm] v_0 [/mm] = 1
[mm] v_1 [/mm] = x
[mm] v_2 [/mm] = [mm] x^2-\frac{3}{7}
[/mm]
Dann habe ich die Nullstellen von [mm] v_2 [/mm] bestimmt:
[mm] \lambda_0 [/mm] = [mm] \sqrt(3/7)
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] -\sqrt(3/7)
[/mm]
Jetzt die Gewichte:
i=0,1
[mm] \alpha_i [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1} \produkt_{j=0, i \neq j}^{n} ({\frac{x-\lambda_j}_{\lambda_i - \lambda_j}})^2*\sqrt{abs( x )} [/mm] dx
[mm] \alpha_0 [/mm] = [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
[mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
Und habe damit dann I(f) = [mm] \frac{2}{3} f(\sqrt{\frac{3}{7}}) [/mm] + [mm] \frac{2}{3} f(-\sqrt{\frac{3}{7}}) [/mm] + REST
Irgendwo habe ich hier einen Fehler gemacht (oder bin zu blöd das richtig nachzuprüfen)...
Hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ich89HD,
> Man bestimme eine Guaßsche Quadraturformel [mm]I_n[/mm] (f), welche
> das Integral
> [mm]I(f)=\integral_{-1}^{1}[/mm] f(x) [mm]\sqrt{\abs{x}}dx[/mm]
> für alle Polynome aus [mm]P_3[/mm] exakt integriert.
>
> Anmerkung von mir: Irgendwie wird das Gewicht nicht richtig
> angezeigt. Soll heißen sqrt(abs(x)), die Betragsstriche,
> zeigt es aber zumindest bei mir nicht an...
> Hallo,
> Mein Ansatz: [mm]\forall[/mm] p [mm]\in P_3§[/mm] exakt intgeriert, also
> 4ter Ordnung und damit n=1
> Dann habe ich mit Gram-Schmidt [mm]\{1, x, x^2\}[/mm] bzgl. des
> gewichteten Skalarprodukts orthogonalisiert.
> [mm]v_0[/mm] = 1
> [mm]v_1[/mm] = x
> [mm]v_2[/mm] = [mm]x^2-\frac{3}{7}[/mm]
>
> Dann habe ich die Nullstellen von [mm]v_2[/mm] bestimmt:
> [mm]\lambda_0[/mm] = [mm]\sqrt(3/7)[/mm]
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]-\sqrt(3/7)[/mm]
>
> Jetzt die Gewichte:
> i=0,1
> [mm]\alpha_i[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1} \produkt_{j=0, i \neq j}^{n} ({\frac{x-\lambda_j}_{\lambda_i - \lambda_j}})^2*\sqrt{abs( x )}[/mm]
> dx
Hier gilt nach ![[]](/images/popup.gif) hier die Formel für die Gewichte:
[mm]\alpha_i[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1} \produkt_{j=0, i \neq j}^{n} ({\blue{\frac{x-\lambda_j}_{\lambda_i - \lambda_j}}})*\sqrt{abs( x )} \
dx[/mm]
> [mm]\alpha_0[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm]
> [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm]
>
> Und habe damit dann I(f) = [mm]\frac{2}{3} f(\sqrt{\frac{3}{7}})[/mm]
> + [mm]\frac{2}{3} f(-\sqrt{\frac{3}{7}})[/mm] + REST
>
> Irgendwo habe ich hier einen Fehler gemacht (oder bin zu
> blöd das richtig nachzuprüfen)...
> Hoffe, dass mir jemand helfen kann.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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