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Forum "Uni-Numerik" - Gauß Seidel
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Gauß Seidel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:13 So 04.12.2016
Autor: Schmetterling99

Hi,
ich soll folgende Aufgabe lösen:

Sei A (nxn) eine symmetrische nichtsinguläre Matrix mit einer Zerlegung [mm] A=I+L+L^{t}, [/mm] wobei L eine echte untere Dreiecksmatrix und I die Einheitsmatrix sei. Das symmetrische Gauß Seidel Verfahren ist gegeben durch [mm] x^{0} \in \IR^{n} [/mm] und

(I+L) [mm] x^{k+\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] b-L^{t}x^{k} [/mm]

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b-Lx^{k+\bruch{1}{2}} [/mm]

Zeige:
a) Das symmetrische Gauß Seidel Verfahren ist ein lineares Iterationsverfahren der Form

[mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] M^{-1} (b+Nx^{k}) [/mm] und gebe M und N an.

Meine Idee:

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b-L(b-L^{t}x^{k})(I+L)^{-1} [/mm] also [mm] x^{k+\bruch{1}{2}} [/mm] eingesetzt

[mm] (I+L)(I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b-L(b-L^{t}x^{k}) [/mm]

[mm] (I+L)(I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b+LL^{t}x^{k} [/mm]

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] (I+L)^{-1}b+(I+L)^{-1}LL^{t}x^{k} [/mm]


Jetzt kommen viele Umformungsschritte, mit deren Hilfe ich gezeigt habe, dass [mm] (I+L)^{-1}LL^{t}=L(I+L)^{-1}L^{t} [/mm] ist. Erhalte dann also

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] (I+L)^{-1}b+L (I+L)^{-1} L^{t} x^{k} [/mm]

Ich weiß, dass für

[mm] M^{-1}= ((I+L^{t}))^{-1} [/mm] und für N= [mm] L(I+L)^{-1}L^{t} [/mm]

rauskommen soll. Bei mir stört also das [mm] (I+L)^{-1}b, [/mm] wobei ich natürlich nur [mm] (I+L)^{-1} [/mm] wegbekommen muss und nicht b um auf die Form
[mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] M^{-1} (b+Nx^{k}) [/mm] zu kommen.
Komme da also nicht weiter

b) G sei die Iterationsmatric [mm] G=M^{-1}*N, [/mm] also
[mm] G=(I+L^{t})^{-1}L(I+L)^{-1}L^{t} [/mm]

Zeige G ist ähnlich zu [mm] BB^{t} [/mm] mit [mm] B=(I+L)^{-1}L [/mm]

Meine Idee: [mm] BB^{t}=((I+L)^{-1}L)((I+L)^{-1}L)^{t}=(I+L)^{-1}LL^{t}(I+L^{t})^{-1} [/mm]

Ab hier komme ich nicht weiter, ich weiß, dass Ähnlichkeit bedeutet, dass es eine invertierbare Matrix Z geben muss mit [mm] G=Z^{-1}BB^{t}Z [/mm]

c) [mm] I-BB^{t} [/mm] ist genau dann positiv definit, wenn [mm] (I+L)^{-1}A(I+L)^{t} [/mm] positiv definit ist.
Habe ich.

d) Das Verfahren konvergiert für alle Startvektoren [mm] x^{0} \in \IR^{n} [/mm] genau dann wenn A positiv definit ist.
Hier habe ich leider nichts zu.

Mfg

        
Bezug
Gauß Seidel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:39 Di 06.12.2016
Autor: Schmetterling99

Die b) habe ich jetzt auch noch hinbekommen.
Bei a) weiß ich immer noch nicht weiter und bei d) habe ich leider noch keine Idee, außer, dass es mit dem Spektralradius zu tun haben muss.
Vielleicht weiß jemand bei diesen Teilaufgaben weiter?
Mfg

Bezug
                
Bezug
Gauß Seidel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Do 08.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Gauß Seidel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Di 06.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Gauß Seidel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:31 Di 06.12.2016
Autor: Schmetterling99

Wie in meinem zweiten Post schon geschrieben, bin ich immer noch an dem ersten und letzten Aufgabenteil interessiert.

MfG

Bezug
                        
Bezug
Gauß Seidel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 08.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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