Gauß mit 4 Gleich. und 4 Unbe. < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 3a + 6b + 3c + 3d = 6
2a + 3b + 2c + 3d = 5
4a + 9b + 9c + 13d = 12
Aufgabe mit dem Gauß lösen |
Ich habe eigentlich nur eine Verständnisfrage. Ich beschäftige mich dem Gauß-Lösungsverfahren.
Mein Ergebnis ist:
a b c d
1 0 0 1 = 3
0 1 0 -1 = -1
0 0 1 2 = 1
wie mache ich den jetzt weiter??
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> 3a + 6b + 3c + 3d = 6
> 2a + 3b + 2c + 3d = 5
> 4a + 9b + 9c + 13d = 12
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> Aufgabe mit dem Gauß lösen
> Ich habe eigentlich nur eine Verständnisfrage. Ich
> beschäftige mich dem Gauß-Lösungsverfahren.
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> Mein Ergebnis ist:
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> a b c d
> 1 0 0 1 = 3
> 0 1 0 -1 = -1
> 0 0 1 2 = 1
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> wie mache ich den jetzt weiter??
Hallo,
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen Deiner ZSF stehen in der 1., 2., 3. Spalte. Also kannst Du die 4.Variable frei wählen.
mit [mm] x_4=t
[/mm]
bekommst Du aus Zeile 3
[mm] x_3=1-2t,
[/mm]
aus Zeile 2
[mm] x_2=-1+t,
[/mm]
aus Zeile 1
[mm] x_1=3-t.
[/mm]
Damit weißt Du, daß alle Lösungen [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{3-t\\-1+t\\1-2t\\t}=\vektor{3\\-1\\1\\0}+t*\vektor{-1\\1\\-2\\1} [/mm] mit [mm] t\in \IR [/mm] haben.
Der erste Vektor ist eine spezielle Lösung des inhomogen LGS, der zweite eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems.
Oder Du arbeitest mit dem "-1-Trick":
wenn die Matrix auf reduzierte (!) ZSF gebracht ist, Nullzeilen entfernen, führende Zeilenelemente markieren (rot) und
Hilfszeilen (grün) mit Nullen und einer -1 einfügen, so daß man eine quadratische Matrix hat, die auf den eingefügten Diagonalplätzen eine -1 stehen hat:
1 0 0 1 = 3
0 1 0 -1 = -1
0 0 1 2 = 1
0 0 0 -1 = 0
Jetzt ablesen:
rechts des Gleichheitszeichens steht eine spezielle Lösung des Systems, und und in den den Spalten, in denen kein führendes Zeilenelement ist, steht eine Basis des homogenen Systems, hier: [mm] \vektor{1\\-1\\2\\-1}.
[/mm]
Die Lösungsvektoren haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{3\\-1\\1\\0}+t*\vektor{1\\-1\\2\\-1}, [/mm] qquad [mm] t\in \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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