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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Gauß ohne Pivotierung
Gauß ohne Pivotierung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gauß ohne Pivotierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Fr 03.11.2023
Autor: Euler123

Aufgabe
Ist das Gaußsche Eliminationsverfahren für reguläre und diagonaldominante Matrizen ohne Pivotierung durchführbar? Dabei heißt [mm] A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1}^{n} \in \mathbb{R}^{n \times n} [/mm] diagonaldominant, falls

[mm] \sum \limits_{k=1, k \neq j}^{n}\left|a_{j k}\right| \leq\left|a_{j j}\right| [/mm]

für  j=1, [mm] \ldots, [/mm] n gilt.

Ich hätte nun einmal versucht die gegebene Aufgabenstellung folgerndermaßen zu lösen?

Ich zeige, dass nach Eliminierung von a2,1 die diagonale Dominanz erhalten bleibt:
[mm] \left|a_{2,2}-a_{1,2} \frac{a_{2,1}}{a_{1,1}}\right|>\sum \limits_{i=3}^{n}\left|a_{2, i}-a_{1, i} \frac{a_{2,1}}{a_{1,1}}\right|, [/mm]

Dies ist äquivalent zu

[mm] \left|a_{2,2} a_{1,1}-a_{1,2} a_{2,1}\right|>\sum \limits_{i=3}^{n}\left|a_{2, i} a_{1,1}-a_{1, i} a_{2,1}\right| [/mm] .


[mm] \begin{aligned} \sum \limits_{i=3}^{n}\left|a_{2, i} a_{1,1}-a_{1, i} a_{2,1}\right| & \leq\left|a_{1,1}\right| \sum \limits_{i=3}^{n}\left|a_{2, i}\right|+\left|a_{2,1}\right| \sum \limits_{i=3}^{n}\left|a_{1, i}\right| \\ & <\left|a_{1,1}\right|\left(\left|a_{2,2}\right|-\left|a_{2,1}\right|\right)+\left|a_{2,1}\right|\left(\left|a_{1,1}\right|-\left|a_{1,2}\right|\right) \\ & =\left|a_{1,1}\right|\left|a_{2,2}\right|-\left|a_{2,1}\right|\left|a_{1,2}\right| \\ & \leq\left|a_{1,1} a_{2,2}-a_{2,1} a_{1,2}\right| \end{aligned} [/mm]

Ist mein Ansatz so richtig im Sinne der Aufgabe?

"Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!"


        
Bezug
Gauß ohne Pivotierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Fr 03.11.2023
Autor: statler

Hi,

so weit, so gut, aber warum brauche ich jetzt keine Pivotierung? Nach meinem Geschmack fehlt da noch ein abschließender Satz.

Gruß Dieter

Bezug
                
Bezug
Gauß ohne Pivotierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Fr 03.11.2023
Autor: Euler123

Hallo Dieter,
Danke dir vielmals -  ein abschließender Satz wäre mit Sicherheit gut.

Wäre eventuell dieser Ansatz richtig:
Das man keine Pivotierung braucht liegt daran, dass es beim Pivotieren von Zeilen eine Hierarchie gibt und die Zeilen vertauscht werden, so dass der Diagonaleintrag der neuen Zeile der größte ist. Bei einer diagonal dominanten Matrix ist die Diagonale aber immer die größte, so dass kein Pivotieren erforderlich ist, sondern nur Addieren des Lambda-Fachen einer Zeilen zu einer anderen Zeilen.

Bezug
                        
Bezug
Gauß ohne Pivotierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:34 Sa 04.11.2023
Autor: statler

Hallo,

ich hatte mehr daran gedacht, wie du mit Nullen umgehst. Du teilst ja z. B. durch [mm] a_{11}, [/mm] geht das überhaupt?

Um die numerische Stabilität habe ich mir weniger Sorgen gemacht, ich bin kein Numeriker.

Gruß Dieter

Bezug
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