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| Aufgabe | 2b) Man zeige, dass zwei Geraden, die durch die Punktepaare [mm] (z_0 w_0) [/mm] und [mm] (z_1 w_1) [/mm] bestimmt sind, sich genau dann in einem rechten Winkel schnneiden,
[mm]\bruch{z_1-w_1}{z_0-w_0} \in\iota\IR [/mm]
d. h. eine rein imaginäre Zahl ist
2c) Mit Hilfe des Kriteriums aus b) bestimme man den Abstand des Punktes [mm] p\in\IC [/mm] zur Gerade g(w,z) in Abhängigkeit der drei Zahlen (p;w,z). |
Hallo,
ich habe bereits Aufgabe 2b) gerechnet. Ich habe sie aber trotzdem hereingestellt, damit der Zusammenhang zu c) klar wird. Ich habe leider keine Lösung aus meinen Ansaetzen zu c). Könnte mir bitte jemand helfen?
Schöne Grüße
Mathestudent
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> 2b) Man zeige, dass zwei Geraden, die durch die Punktepaare
> [mm](z_0 w_0)[/mm] und [mm](z_1 w_1)[/mm] bestimmt sind, sich geenau dann in
> einem rechten Winkel schnneiden,
>
> [mm]\bruch{z_1-w_1}{z_0-w_0} \in\iota\IR[/mm]
>
> d. h. eine rein imaginaere Zahl ist
>
> 2c) Mit Hilfe des Kriteriums aus b) bestimme man den
> Abstand des Punktes [mm]p\in\IC[/mm] zur Gerade g(w,z) in
> Abhaengigkeit der drei Zahlen (p;w,z).
> Hallo,
>
> ich habe bereits Aufgabe 2b) gerechnet. Ich habe sie aber
> trotzdem hereingestellt, damit der Zusammenhang zu c) klar
> wird. Ich habe leider keine Loesung aus meinen Ansaetzen zu
> c). Koennte mir jemand helfen?
Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden entspricht der Länge der kürzesten (=senkrechten) Verbindung dieses Punktes zu einem Geradenpunkt.
Deshalb der Wink in b) mit dem senkrechten Zaunpfahl.
Gruß Abakus
>
> Schoene Gruesse
>
> Mathestudent
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Dann müsste aber p doch auf einer der Geraden liegen. Wo steht das denn in der Aufgabe bzw. wie kann man sich das erschließen?
Sofern ich das verstanden habe ist doch p "irgendwo", oder?
Schöne Grüße
Mathestudent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann müsste aber p doch auf einer der Geraden liegen. Wo
> steht das denn in der Aufgabe bzw. wie kann man sich das
> erschließen?
ich versteh' Deine Frage nicht. Durch zwei verschiedene Punkte läuft genau eine Gerade. Durch einen Punkt laufen unendlich viele Geraden. $p$ liegt also auf unendlich vielen Geraden.
> Sofern ich das verstanden habe ist doch p "irgendwo",
> oder?
Ja schon, aber:
Es gibt ja genau eine Gerade, die durch $p$ geht und parallel zu der Geraden $g(w,z)$ ist. Weiter gibt es (sofern $p$ nicht auf $g(w,z)$ liegt) unendlich viele Geraden, die durch $p$ gehen und $g(w,z)$ in genau einem Punkt schneiden.
Von diesen Geraden interessiert Dich aber nur diejenige, die auch senkrecht auf $g(w,z)$ steht.
Da ein Bild bekanntlich mehr als tausend Worte sagen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe, Du weißt es auch alleine zu interpretieren? Ansonsten frag' nochmal nach 
P.S.:
So ganz sind mir bei Deiner Aufgabe die Bezeichnungen nicht klar. Aber vielleicht hilft's Dir, wenn Du bei meinem Bildchen den Schnittpunkt beim rechten Winkel mal $s$ nennst. Wenn $s$ nicht mit $w$ zusammenfällt, so ist dann $g(w,z)=g(w,s)$ etc.
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
mir ist die Situation schon klar mit dem Punkt und der Geraden. Die Zeichnung habe ich auch. Nur wie soll so etwas rechnerisch gehen, wenn ich nur spärliche Angaben habe??
@Marcus: Ich gebe dir da total recht. Die Aufgabe ist schon komisch.
Schöne Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> mir ist die Situation schon klar mit dem Punkt und der
> Geraden. Die Zeichnung habe ich auch. Nur wie soll so etwas
> rechnerisch gehen, wenn ich nur spärliche Angaben habe??
>
> @Marcus:
Marcus? 
> Ich gebe dir da total recht. Die Aufgabe ist schon
> komisch.
Ne, ich finde die Aufgabe nicht komisch. Nur verwirren mich die Bezeichnungen ein wenig.
Aber Du hast doch nun folgendes:
Du suchst die komplexe Zahl $s$, das ist ja der "Schnittpunkt" der Geraden durch $p$ senkrecht auf $g(w,z)$, wobei wir o.E. annehmen, dass $p$ nicht auf $g(w,z)$ liege (andernfalls ist die Aufgabe trivial).
Damit $g(w,z)$ eine Gerade ist, ist ja $w [mm] \not=z$. [/mm] Dann gilt $s [mm] \not=w$ [/mm] oder $s [mm] \not=z$.
[/mm]
1. Fall:
$s [mm] \not=w$:
[/mm]
Dann gilt $g(w,z)=g(w,s)$. Gesucht ist nun die Gerade $g(p,s)$.
Und jetzt musst Du Aufgabe 2b) ins Spiel bringen.
Also beachte:
Du hast hier zwei Geraden. Die erste geht durch die Punkte $w$ und $s [mm] (\not=w)$. [/mm]
Und die zweite Gerade geht durch die Punkte $p$ und $s$.
Und diese sollen ja senkrecht aufeinander stehen, damit Du danach $|p-s|$ berechnen kannst.
.
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.
P.S.:
Der Fall $s [mm] \not=z$ [/mm] verläuft dann natürlich analog.
Gruß,
Marcel
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Oh Sorry, Marcel tut mir leid das mit dem Namen. Naja ich bekomme nur ellen lange Terme heraus. Ist nicht gerade schön. Hast du auch solche langen Terme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh Sorry, Marcel tut mir leid das mit dem Namen.
das ist nicht schlimm. Passiert (komischerweise) in letzter Zeit häufiger ^^
> Naja ich
> bekomme nur ellen lange Terme heraus. Ist nicht gerade
> schön. Hast du auch solche langen Terme?
Mhm, schau'n wir mal:
$g(p,s)$ (Gerade durch $(p,s)$) soll senkrecht auf $g(w,s)$ (Gerade durch $(w,s)$) stehen. Das gilt genau dann, wenn:
[mm] $$\frac{s-w}{s-p} \in i*\IR$$
[/mm]
Nun ist
[mm] $$\frac{s-w}{s-p}=\frac{(s-w)(\overline{s}-\overline{p})}{(s-p)(\overline{s}-\overline{p})}$$
[/mm]
Dabei ist der letzte Nenner einfach [mm] $=(s-p)*(\overline{s}-\overline{p})=(s-p)\overline{(s-p)}=|s-p|^2 [/mm] > 0$, also insbesondere [mm] $\in \IR\,.$
[/mm]
Es reicht also, zu untersuchen, wann [mm] $(s-w)(\overline{s}-\overline{p})$ [/mm] eine rein imaginäre Zahl ist.
(Allgemein: Sind [mm] $\black{x}=r+i*s$, $\black{y}=t+i*v \in \IC$, [/mm] so gilt [mm] $\black{x}*y \in i*\IR$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $\black{r}*t=v*s$ [/mm] bzw. [mm] $\text{Re}(x)\text{Re}(y)=\text{Im}(x)\text{Im}(y)$.)
[/mm]
Schreiben wir nun [mm] $s=s_1+i*s_2$ [/mm] (also [mm] $s_1=\text{Re}(s)$, $\text{Im}(s)=s_2$) [/mm] etc., so folgt:
[mm] $(s_1-w_1)*(s_1-p_1)=(s_2-w_2)(-(s_2-p_2))$
[/mm]
bzw.
[mm] $(s_1-w_1)*(s_1-p_1)=(s_2-w_2)(p_2-s_2)$
[/mm]
Okay, jetzt muss man weiterdenken. Ich dachte vorhin eigentlich, dass man zwei Fälle hat. Aber nun gut, das hier ist ja noch nicht hinreichend, um [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] und damit $s$ zu bestimmen.
Sinnvollerweise macht man nun folgendes (und das heißt erstmal: zurücvk zum Anfang der Aufgabe):
Man macht Fallunterscheidungen:
1. Fall: $s=w$:
Dann ist die Aufgabe trivial.
2. Fall: $s=z$:
Auch dann ist die Aufgabe trivial.
3. Fall: Sei sowohl $s [mm] \not=w$ [/mm] als auch $s [mm] \not=z$.
[/mm]
Wegen $s [mm] \not=w$ [/mm] erhalten wir (siehe obige Rechnung) die hinreichend und notwendige Bedingung
$$ [mm] (s_1-w_1)\cdot{}(s_1-p_1)=(s_2-w_2)(p_2-s_2) [/mm] $$
Analoges ergibt sich wegen $s [mm] \not=z$:
[/mm]
$$ [mm] (s_1-z_1)\cdot{}(s_1-p_1)=(s_2-z_2)(p_2-s_2)$$ [/mm]
Und spätestens ab hier wird (mir) die Aufgabe ein wenig zu lästig Ich hoffe zudem mal, dass mir bis dato auch kein Fehler unterlaufen ist... Vielleicht denke ich auch morgen mal weiter drüber nach (bzw. vll. sieht ja auch jemand, dass es einfacher geht und ich mal wieder zu kompliziert gedacht habe)...
P.S.:
Ein Lösungsansatz wäre es nun beispielsweise, die beiden Gleichungen voneinander abzuziehen. Dann z.B. nach [mm] $s_1$ [/mm] auflösen, in eine der beiden Gleichungen einsetzen und dann die quadratische Gleichung in [mm] $s_2$ [/mm] aufzulösen (wobei man sicher eine Lösung verwerfen muss). Alerdings ist diese Lösung alles andere als elegant!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
genau das ist mein Misstrauen in dieser Aufgabe: diese komischen Ausdrücke.
Schöne Grüße
Mathestudent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> genau das ist mein Misstrauen in dieser Aufgabe: diese
> komischen Ausdrücke.
misstrauisch muss man nicht sein. Ich denke, bis dato ist mir kein Fehler unterlaufen. Ich hatte auch irgendwo mal eine ähnliche Aufgabe, wo ich an ähnlicher Stelle irgendwie durch geschickte Kombination der beiden Gleichungen es geschafft hatte, zwei neue Gleichungen ohne Quadratterme aufzustellen, so dass man damit, wenn man das hier auch schafft, genau eine Lösung je für [mm] $s_1$ [/mm] und für [mm] $s_2$ [/mm] hinschreiben kann. Ich weiß aber nicht mehr, wie ich das damals geschafft hatte und auch nicht mehr, warum das gelungen war ^^
Aber Du kannst ja mit meiner obigen Lösungsstrategie das ganze mal zu Ende rechnen. Selbst, wenn Du dann je zwei Lösungen für [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] hast und nicht erkennst, welche Du davon jeweils rausschmeißen musst, erkennt der Korrekteur, dass Du versucht hast, die Aufgabe zu Ende zu rechnen. Und ganz so schlimm fände ich das nicht, wenn Du zu früh aufhörtest, denn wenn man je zwei Möglichkeiten für [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] hat, bekommt man damit $4$ komplexe Zahlen, wovon genau eine die gesuchte $s$ ist. Und, im konkreten Fall, die bei $4$ Zahlen herauszufiltern, ist eigentlich keine große Kunst mehr
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ich habe die Loesung. Sie lautet [mm] d=\sin\left(arg \left(\bruch{z-w}{p-z}\right)\right)*\left|p-z\right| [/mm] wobei [mm][mm] \alpha:=\sin\alpha*\left|p-z\right|.
[/mm]
Ich habe mir ein Dreieck zur Hilfe genommen.
Vielen Dank
Mathestudent> Hallo,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > genau das ist mein Misstrauen in dieser Aufgabe: diese
> > komischen Ausdrücke.
>
> misstrauisch muss man nicht sein. Ich denke, bis dato ist
> mir kein Fehler unterlaufen. Ich hatte auch irgendwo mal
> eine ähnliche Aufgabe, wo ich an ähnlicher Stelle irgendwie
> durch geschickte Kombination der beiden Gleichungen es
> geschafft hatte, zwei neue Gleichungen ohne Quadratterme
> aufzustellen, so dass man damit, wenn man das hier auch
> schafft, genau eine Lösung je für [mm]s_1[/mm] und für [mm]s_2[/mm]
> hinschreiben kann. Ich weiß aber nicht mehr, wie ich das
> damals geschafft hatte und auch nicht mehr, warum das
> gelungen war ^^
>
> Aber Du kannst ja mit meiner obigen Lösungsstrategie das
> ganze mal zu Ende rechnen. Selbst, wenn Du dann je zwei
> Lösungen für [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] hast und nicht erkennst, welche Du
> davon jeweils rausschmeißen musst, erkennt der Korrekteur,
> dass Du versucht hast, die Aufgabe zu Ende zu rechnen. Und
> ganz so schlimm fände ich das nicht, wenn Du zu früh
> aufhörtest, denn wenn man je zwei Möglichkeiten für [mm]s_1[/mm] und
> [mm]s_2[/mm] hat, bekommt man damit [mm]4[/mm] komplexe Zahlen, wovon genau
> eine die gesuchte [mm]s[/mm] ist. Und, im konkreten Fall, die bei [mm]4[/mm]
> Zahlen herauszufiltern, ist eigentlich keine große Kunst
> mehr
>
> Gruß,
> Marcel
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