Gaussabbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Di 16.04.2013 | | Autor: | Matts |
| Aufgabe | | Bestimme das Bild der Gaussabbildung $N: H [mm] \rightarrow S^2$ [/mm] für das Hyperboloid $H = [mm] \{(x,y,z)\in \IR^3 : x^2+y^2-z^2 = 1\}\subset \IR^3 [/mm] $ |
Ich habe das Hyperboloid parametrisiert mit [mm] $v\in (-\infty, \infty)$ [/mm] und [mm] $u\in [0,2\pi)$:
[/mm]
[mm] \vektor{x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v)} [/mm] = [mm] \vektor{cosh(v)cos(u) \\ cosh(v)sin(u) \\ sinh(v)}
[/mm]
Definition der Gaussabbildung:
Für ein Flächenstück $f: [mm] U\rightarrow \IR^3$ [/mm] ist die Gaussabbildung $N: U [mm] \rightarrow S^2$ [/mm] definiert als:
$N(u,v):= [mm] \bruch{\bruch{\partial f}{\partial u} \times \bruch{\partial f}{\partial v}}{\parallel\bruch{\partial f}{\partial u} \times \bruch{\partial f}{\partial v}\parallel}$
[/mm]
Nun dann habe ich ausgerechnet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial u} [/mm] = [mm] \vektor{-cosh(v) sin(u) \\ cosh(v) cos(u) \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v} [/mm] = [mm] \vektor{sinh(v) cos(u) \\ sinh(v) sin(u) \\ cosh(v)}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial u} \times \bruch{\partial f}{\partial v} [/mm] = [mm] \vektor{cosh^2(v)cos(u) \\ cosh^2(v)sin(u) \\ -cosh(v)sinh(v)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] N(u,v)= [mm] \bruch{1}{cosh(v)\wurzel{cosh^2(v) + sinh^2(v)}}\vektor{cosh^2(v)cos(u) \\ cosh^2(v)sin(u) \\ -cosh(v)sinh(v)}
[/mm]
Nun möchte ich fragen, ob ich das richtig vorgegangen bin? Ob die Resultate jeweils richtig sind ist sekundär, mir geht es nur um die einzelnen Schritte.
Gruss, Matts
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme das Bild der Gaussabbildung [mm]N: H \rightarrow S^2[/mm]
> für das Hyperboloid [mm]H = \{(x,y,z)\in \IR^3 : x^2+y^2-z^2 = 1\}\subset \IR^3[/mm]
>
> Ich habe das Hyperboloid parametrisiert mit [mm]v\in (-\infty, \infty)[/mm]
> und [mm]u\in [0,2\pi)[/mm]:
>
> [mm]\vektor{x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v)}[/mm] = [mm]\vektor{cosh(v)cos(u) \\ cosh(v)sin(u) \\ sinh(v)}[/mm]
>
> Definition der Gaussabbildung:
> Für ein Flächenstück [mm]f: U\rightarrow \IR^3[/mm] ist die
> Gaussabbildung [mm]N: U \rightarrow S^2[/mm] definiert als:
> [mm]N(u,v):= \bruch{\bruch{\partial f}{\partial u} \times \bruch{\partial f}{\partial v}}{\parallel\bruch{\partial f}{\partial u} \times \bruch{\partial f}{\partial v}\parallel}[/mm]
>
>
> Nun dann habe ich ausgerechnet:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial u}[/mm] = [mm]\vektor{-cosh(v) sin(u) \\ cosh(v) cos(u) \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}[/mm] = [mm]\vektor{sinh(v) cos(u) \\ sinh(v) sin(u) \\ cosh(v)}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial u} \times \bruch{\partial f}{\partial v}[/mm]
> = [mm]\vektor{cosh^2(v)cos(u) \\ cosh^2(v)sin(u) \\ -cosh(v)sinh(v)}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] N(u,v)= [mm]\bruch{1}{cosh(v)\wurzel{cosh^2(v) + sinh^2(v)}}\vektor{cosh^2(v)cos(u) \\ cosh^2(v)sin(u) \\ -cosh(v)sinh(v)}[/mm]
>
> Nun möchte ich fragen, ob ich das richtig vorgegangen bin?
> Ob die Resultate jeweils richtig sind ist sekundär, mir
> geht es nur um die einzelnen Schritte.
>
> Gruss, Matts
Ich finde keinen Fehler
FRED
|
|
|
|
