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Lösung des Gleichungssystems:
1 XA = 0,4 XA + 0,2 XB + 0,2 XC
1 XB = 0,5 XA + 0,5 XB + 0,2 XC
1 XC = 0,1 XA + 0,3 XB + 0,6 XC
Behauptung des Dozenten:
Wir streichen die erste Gleichung ganz, weil sie uns bei der weiteren Bearbeitung in einem Gaußalgorithmus unangenehm ist. ?
??
Wir müssen aber eine neue 3. Gleichung finden, um eine Lösung des Gleichungssystems zu erhalten, denn 3 Unbekannte sind mit 2 Gleichungen nicht zu lösen, dafür braucht man 3 voneinander unabhängige Gleichungen.
Wir erhalten:
0,5 XA + 0,5 XB 0,2 XC = 0
0,1 XA 0,3 XB 0,4 XC = 0
1 XA + 1 XB + 1 XC = 100% = 1
Hat jemand eine Erklärung für "unangenehm" (s.o.), die ein Mensch der schon 10 JAhre nichts mehr von Mathe gehört hat verstehen könnte? ;o)
Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Do 26.08.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo boese zungen!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich gehe davon aus, dass ihr eigentlich neben dem Gleichungssystem
$1 XA = 0,4 XA + 0,2 XB + 0,2 XC$
$1 XB = 0,5 XA + 0,5 XB + 0,2 XC$
$1 XC = 0,1 XA + 0,3 XB + 0,6 XC$
noch die Nebenbedingung
$1 XA + 1 XB + 1 XC = [mm] 100\% [/mm] = 1$
habt. (Macht das vom Kontekt her Sinn? Sind $XA$, $XB$ und $XC$ irgendwelche prozentualen Anteile an etwas, die zusammen addiert "alles" sind (also [mm] $100\%$)?)
[/mm]
Insofern, muss ich sagen, war die Erklärung des Dozenten etwas seltsam, was die Reihenfolge in der Argumentation angeht. 
Ihr habt also eigentlich ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und drei Unbekannten:
$1 XA = 0,4 XA + 0,2 XB + 0,2 XC$
$1 XB = 0,5 XA + 0,5 XB + 0,2 XC$
$1 XC = 0,1 XA + 0,3 XB + 0,6 XC$
$1 XA + 1 XB + 1 XC = 1$.
Das ist "unschön", weil es überbestimmt ist (mehr Gleichungen als Unbekannte). Es kann gut sein, dass es keine Lösung hat. Was man nun in der Regel macht, ist folgendes:
Man streicht eine der Gleichungen um auf ein "quadratisches" Gleichungssystem zu erhalten (in diesem Fall ein Gleichungssystem mit $3$ Gleichungen und $3$ Unbekannten).
Dieses versucht man zu lösen, etwa mit dem Gauß-Algorithmus. Hat man eine Lösung erhalten (was nicht immer so sein muss), dann überprüft man, ob die Lösung auch die Gleichung löst, die man vorher gestrichen hat.
Alles klar? 
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Do 26.08.2004 | | Autor: | Emily |
> Lösung des Gleichungssystems:
>
> 1 XA = 0,4 XA + 0,2 XB + 0,2 XC
> 1 XB = 0,5 XA + 0,5 XB + 0,2 XC
> 1 XC = 0,1 XA + 0,3 XB + 0,6 XC
>
> Behauptung des Dozenten:
> Wir streichen die erste Gleichung ganz, weil sie uns bei
> der weiteren Bearbeitung in einem Gaußalgorithmus
> unangenehm ist. ?
>
Hallo!
Was ist eine "unangenehme" Gleichung???
> Wir müssen aber eine neue 3. Gleichung finden, um eine
> Lösung des Gleichungssystems zu erhalten, denn 3 Unbekannte
> sind mit 2 Gleichungen nicht zu lösen, dafür braucht man 3
> voneinander unabhängige Gleichungen.
>
> Wir erhalten:
> 0,5 XA + 0,5 XB 0,2 XC = 0
> 0,1 XA 0,3 XB 0,4 XC = 0
> 1 XA + 1 XB + 1 XC = 100% = 1
Woher kommt die "neue Gleichung"? sind das etwa Wahrscheinlichkeiten?
a.)
Ich rechne ohne die "neue Gleichung", aber mit der 1.
1.)[mm]x_a=x_b=x_c= 0 [/mm] ist die "triviale Lösung".
2.) Ist die "triviale Lösung" einzige Lösung?.
[mm]x_a=0.4*x_a+0,2*x_b+0,2*x_c [/mm]
[mm]x_b=0.5*x_a+0,5*x_b+0,2*x_c [/mm]
[mm]x_c=0.1*x_a+0,3*x_b+0,6*x_c [/mm]
Zur weiteren Bearbeitung mit dem Gaußalgorithmus:
[mm]x_a=0.4*x_a+0,2*x_b+0,2*x_c [/mm]
[mm]x_b=0.5*x_a+0,5*x_b+0,2*x_c [/mm]
[mm]x_c=0.1*x_a+0,3*x_b+0,6*x_c [/mm]
[mm] \gdw[/mm]
[mm]0.6*x_a-0,2*x_b-0,2*x_c =0[/mm]
[mm]0.5*x_a-0,5*x_b+0,2*x_c =0[/mm]
[mm]0.1*x_a+0,3*x_b-0,4*x_c=0 [/mm]
[mm] \gdw[/mm]
[mm]0.6-0,2-0,2[/mm]
[mm]0.5-0,5+0,2 [/mm]
[mm]0.1+0,3-0,4 [/mm]
[mm] \gdw[/mm]
[mm]1 +3 - 4 [/mm]
[mm]3 - 1 - 1[/mm]
[mm]1 - 1+0,4[/mm]
[mm] \gdw[/mm]
[mm]1 +3 - 4[/mm]
[mm]0 -10 +11[/mm]
[mm]0 - 4 + 4,4[/mm]
[mm] \gdw[/mm]
[mm]1 +3 - 4[/mm]
[mm]0 -10 +11[/mm]
[mm]0 +0 + 0[/mm]
[mm] \gdw[/mm]
LGS nicht eindeutig lösbar:
[mm] x_c=\lambda[/mm]
[mm] -10*x_b+11*\lambda=0[/mm]
[mm] x_a+3*x_b-4*\lambda=0[/mm]
Liebe Grüße
Emily
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