Gaußklammer und Teilersumme < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Do 29.04.2010 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \IR [/mm] definiert man die Gauß-Klammer [x] als die größte ganze Zahl [mm] \le [/mm] x.
a) Zeichnen sie einen Graphen der Funktion [ ] : [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
b) Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen sie [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] sigma(i) = [mm] \summe_{j=1}^{n} j*[\bruch{n}{j}]. [/mm] |
Hallo!
Ich sitze momentan über dieser Aufgabe. Aufgabenteil a war kein problem, jedoch häng ich gerade bei aufgabenteil b.
sigma(i) gibt die Summe aller Teiler von i an.
Ich weiß aus der Vorlesung, dass sigma(m)= [mm] \bruch{p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}*....*\bruch{p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}. [/mm] Ich hab mir die Formel auch mal für n=3 aufgeschrieben und gesehen, dass es stimmt, jedoch weiß ich nciht, wie ich auf die Gaußklammer kommen soll.
Hat jemand vielleicht ein paar Tipps für mich?
Liebe Grüße und Danke im Vorraus!
Julsch
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Hallo julsch,
schreibs doch nochmal bis ca. n=6 auf, vielleicht siehst Du dann, wie das funktioniert. Wenn nicht, sollte auch n=12 noch keine zu große Mühe sein.
Kennst Du alternative Definitionen von [mm] \sigma(n)?
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 29.04.2010 | | Autor: | julsch |
Hallo reverend!
Ich hab mir sowohl [mm] \sigma(6) [/mm] als auch [mm] \sigma(12) [/mm] noch aufgeschrieben, aber einen Zusammenhang kann ich leider nicht erkennen.
Ich kenn noch die Definition [mm] \sigma(n) [/mm] = [mm] \summe_{d|n}^{} [/mm] d.
Andere Definitionen hatten wir nicht. Hilft mir die denn weiter?
Gruß Julsch
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Hallo Julsch,
ja, diese Definition ist besser...
Nehmen wir mal n=6. Teiler sind 1,2,3,6.
Es ist also [mm] \sigma(6)=1+2+3+6=12=6*\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{6}\right)
[/mm]
Wenn man das für n=1 bis n=5 auch vollführt, lässt sich der geforderte Nachweis doch ganz gut führen. Ich bin ehrlich gesagt gerade zu faul, das alles zu tippen.
Die Verallgemeinerung ist damit aber noch nicht gleich offensichtlich.
Trotzdem könntest Du das Muster schon erkennen.
Versuchs doch mal - viel Erfolg dabei!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 01.05.2010 | | Autor: | julsch |
Hallo!
Ich hab mir die Darstellung für n=6 aufgeschrieben und versuche irgendwie die Gaußklammer ins Spiel zu bringen, jedoch finde ich da keinen Zusammenhang. Ich hab ja dann mehr oder weniger sowas wie [mm] \summe_{i=1}^{n} i*(\summe_{j|i} \bruch{1}{j}) [/mm] da stehen. Wie komm ich dann auf die Gaußklammer?
Liebe Grüße
Julsch
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Hallo julsch,
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{d|i}d [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^{n} j\cdot[\frac{n}{j}].$
[/mm]
Links werden die Teiler gruppiert [mm] ($\sum\limits_{d|i}d$) [/mm] nach ihrem Vorkommen als Teiler in $i$ für alle [mm] $i\in \{1,\ldots,n\}$ [/mm] und dann addiert, rechts werden diese Teiler $j$ nach der Anzahl [mm] $[\frac{n}{j}]$ihres [/mm] Vorkommens gruppiert [mm] ($j[\frac{n}{j}]$) [/mm] und dann addiert.
Gruß mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Di 04.05.2010 | | Autor: | julsch |
Danke! Jetzt seh ich es auch.
Lg Julsch
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