Gaußsche Quadratur < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Reticent |
| Aufgabe | Leiten Sie eine neue Interationsregel her mit dem folgenden Ansatz:
[mm] \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx w_1f(a) + w_2f(b) + w_3f'(a) + w_4f'(b)[/mm]
Dabei sei a=0 und b=1. Die [mm]w_k[/mm] sind unbekannte Wichtungen, die so bestimmt werden sollen, daß ein Polynom 3. Grades exakt integriert wird. |
Hallo zusammen,
ich bin neu hier und hoffe jemand kann mir mit der Lösung der Aufgabe weiterhelfen. Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Reticent,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ein Polynom 3. Grades sieht so aus:
[mm]f(x)=p_1x^3+p_2x^2+p_3x+p_4[/mm]
Jetzt heißt es Gleichung aufstellen und Koeffizientenvergleich machen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Reticent |
danke, das weiß ich. Mein Problem liegt genau daran, dass ich nicht weiß wie man ein solches System erstellt. :( Ich meine mit 2 weiß ich das, aber hier habe ich 4 (vier) unbekannte Wichtungen.
Wie soll ich genau vorgehen? Kann mir einer die RechenSchritte beschreiben?
Ich komme infach nicht klar... :'(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mo 30.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Reticent
1. f(x) [mm] =ax^{3}+.... [/mm] f(0), f(1) berechnen
2. f' bilden. f'(0) und f'(1) berechnen
3. [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx} bilden und berechnen.
4. in Formel mit den w einsetzen. dann eine Gleichung =0, dann schreiben als :
a*(.. )+b*(....)+c(..)+d*(..)=0
jetzt müssen alle Klammern einzeln Null sein, da es ja für beliebige a,b,c,d gelten soll: Damit hast du ein Glsystem für die w.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 31.01.2006 | | Autor: | Reticent |
ich kann f(0) etc. nicht berechnen, da bei mir f(x) nicht definiert ist. D.h. die Endformel muss allgemein sein, oder?
Also die 'a' und 'b' kann ich in die Formel schon einsetzen, aber wie sieht das denn weiter ???
bitte bitte hielft mir, denn es kann sein, dass ähnliche Aufgabe bei der Klausur in Paar Tagen kommt.
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Hallo!
Also ich mache sowas immer folgendermaßen:
Man setzt für f(x) einfach Schrittweise die Basis von [mm] $\Pi_3$, [/mm] nämlich [mm] $1,x,x^2,x^3$ [/mm] ein (wegen gefordertem Exaktheitsgrad 3). Normalerweise muss man im Integral noch eine Gewichtsfunktion w(x), die aber nicht in direktem Zusammenhang zu den [mm] w_i [/mm] steht, berücksichtigen.
Also: 1)
f=1:
[mm] \int_a^b [/mm] 1 dx soll sein w_1f(a)+w_2f(b)+w_3f'(a)+w_4f'(b) (1.Gleichung)
2) f(x)=x
[mm] \int_a^b [/mm] x dx soll sein w_1f(a)+w_2f(b)+w_3f'(a)+w_4f'(b) (2.Gleichung)
3) für [mm] f(x)=x^2
[/mm]
4) für [mm] f(x)=x^3
[/mm]
Damit hast du vier Gleichungen, die du durch ineinander einsetzen nach den [mm] w_i [/mm] auflösen kannst.
Die "soll sein"´s müssen wegen der Exaktheitsforderung erfüllt sein.
Gruß Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Reticent |
cool! danke sehr. Aber eins verstehe ich noch nicht. Werden dann hier die
erste Gleichung = 2,
2.=0,
3.=2/3,
4.=0 sein ??
und wird eigentlich in der 1. Gleichung nicht das sein:
[mm]w_1*1+w_2*1+w_3*1+w_4*1[/mm]
[mm]w_1*a+w_2*b+w_3*1/a+w_4*1/b[/mm] - in 2.
[mm]w_1*a^2+w_2*b^2+w_3*2*a+w_4*2*b[/mm] - in 3.
[mm]w_1*a^3+w_2*b^3+w_3*3*a^2+w_4*3*b^2[/mm] - in 4.
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Hallo!
Also das ist so:
Für $f(x)=1$:
[mm] $\int_0^1 [/mm] 1 dx=1$ also
[mm] $1=w_1\cdot 1+w_2\cdot [/mm] 1 [mm] +w_3\cdot [/mm] 0 [mm] +w_4\cdot [/mm] 0$ $ (1)$
Für $f(x)=x$:
[mm] $\int_0^1 [/mm] x [mm] dx=\frac [/mm] 12$ also
[mm] $\frac [/mm] 12= [mm] w_1\cdot 0+w_2\cdot [/mm] 1 [mm] +w_3\cdot 1+w_4\cdot [/mm] 1$ $(2)$
Für [mm] $f(x)=x^2$:
[/mm]
[mm] $\int_0^1 x^2 dx=\frac [/mm] 13$ also
[mm] $\frac 13=w_1\cdot [/mm] 0 [mm] +w_2\cdot [/mm] 1 [mm] +w_3\cdot [/mm] 0 [mm] +w_4\cdot [/mm] 2$ $(3)$
Für [mm] $f(x)=x^3$:
[/mm]
[mm] $\int_0^1 x^3 dx=\frac [/mm] 14$ also
[mm] $\frac [/mm] 14 [mm] =w_1\cdot 0+w_2\cdot [/mm] 1+ [mm] w_3\cdot [/mm] 0 [mm] +w_4\cdot [/mm] 3$ $(4)$
Du muss nun nur noch das Gleichungssystem, das ich mit (x) markiert habe lösen.
Gruß Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Do 02.02.2006 | | Autor: | Reticent |
vielen vielen dank!
ich weiß, ich bin schwach in Mathe.
Martin, wenn du noch Geduld hast, kannst du mir bitte sagen woher die 1. 1/2, 1/3, 1/4 kommen?
Kann man eigentlich irgendwo darüber lesen, wie man solche Sachen berechnet? ich meine in Internet.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:33 Do 02.02.2006 | | Autor: | Reticent |
:)
ach sooo.. stimt ja. Danke sehr!
Nachlesen möchte ich gerne wie man solche Quadraturaufgaben rechnet. Ich verstehe fast alles, aber wiederum nicht vollständig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Do 02.02.2006 | | Autor: | martin1984 |
Äh kannst du deine Frage mal anders stellen? Bei dieser Wortwahl hab ich nicht verstanden, was du wissen willst!
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:46 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Reticent |
:)
ich möchte gerne über die Rechnung von den Gaußschen-Quadratur- Aufgaben lesen. D.h. auf was soll man achten, über was sich Gedanken machen, etc.
Gebt es sowas im Internet, oder als *.pdf, *.doc usw.?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mo 06.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Reticent!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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