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Forum "Uni-Numerik" - Gaußsche Quadraturformel
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Gaußsche Quadraturformel: Lösung unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Sa 19.07.2008
Autor: Biggles

Aufgabe
Das Integral I = [mm] \int^5_{-3} [/mm] sin x dx soll numerisch ermittelt werden.
a) Berechnen Sie das Integral I mittels Gaußscher Quadraturformel mit 2 und einmal mit 3 Knoten, indem Sie das Integrationsintervall in 4 äquidistante Teilintervalle zerlegen

b)Verwenden Sie die Gaußformel mit 2 Knoten und teilen Sie das Intervall in 8 äquidistante Teilintervalle.

Hallo
Fragen siehe in der Lösung
a) Zerlege [-3,5] in 4 Teilintervalle
[-3,-1], [-1,1] , [1,3] , [3,5]
Auf Grund der Punktsymmetrie bleibt nur zu betrachten
I = [mm] \int^5_3 [/mm] sin(x) dx

[mm] \int^5_3 [/mm] sin(x) dx = [mm] \int^1_1 [/mm] sin(t+4) dt

Für zwei Knoten gilt daher I = -1.2683
Für drei Knoten I = -1.2737

Wie kommt man bitte auf diese Lösung?

In der Vorlesung hatten wir lediglich ein Beispiel, indem ich die Formel aber nicht verstehe, da hatten wir dann

I = [mm] \frac{5}{9}*f(-\sqrt{3/5})+8/9 f(0)+\frac{5}{9}*f(\sqrt{3/5}) [/mm]

Ich habe das hier auch versucht, mit f(x) = sin(x) und einmal mit f(t) = sin(t+4) und dann halt einmal 3 und 5 eingesetzt und einmal 1 und -1

Ich hatte das auch mal integriert, also in cos(x) oder cos(t+4) eingesetzt, aber aufs richtige Ergebnis komme ich nicht.

Mir fehlt hier einfach die richtige Formel.

Mit Hilfe von Wikipedia komme ich NICHT weiter.


b) Es gilt

I = [mm] \int^4_3 [/mm] sin(x) dx + [mm] \int^5_4 [/mm] sin(x) dx = -1.273350

Auch hier fehlt mir wieder die Fertigformel.

Für euch aber sicher ein leichtes, sodass ihr mir die vielleicht vorsagen könnt?


Vielen Dank,

biggles

        
Bezug
Gaußsche Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Sa 19.07.2008
Autor: leduart

Hallo
1.Gausssche Quadraturformel ist für mich nicht eindeutig. Kannst du sagen, was genau ihr darunter versteht?
2. ich denke, du musst nicht das intervall von -3 bis 5 einteilen, sondern das von 3 bis 5 bzw -1 bis +1.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Gaußsche Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 So 20.07.2008
Autor: max3000

Ich raff das auch nicht. Der Sinn der Gauß-Quadratur ist es doch eigentlich die Stützstellen selber so zu ermitteln, dass gewisse Ansatzfunktionen (z.B. Polynome) bis zu einem gewissen Grad exakt integriert werden.

Bezug
                        
Bezug
Gaußsche Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 So 20.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Was genau habt ihr denn in der Vorlesung die Gauss quadraturformel genannt?
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Gaußsche Quadraturformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 So 20.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Ich glaub ich hab kapiert, was du tun sollst.
Du sollst dein Gesamt-Intervall in 4 teilen und für jedes die Gauss Quadratur mit einmal 2 Stützstellen (bzw. "knoten") einmal 3 knoten machen. Dann die 4 Ergebnisse addieren.
in b dann dasselbe aber für 4 Teilstücke.
(ob du dabei schon das Stück von -3 bis +3 aus Symmetriegründen weglassen sollst weiss ich nicht.
Die Gewichte für die Verfahren findest du in wiki unter Gaussquadratur, legendre.
Gruss leduart

Bezug
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