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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Gaußsche Zahlenebene
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Gaußsche Zahlenebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Do 07.05.2015
Autor: C11H15NO2

Aufgabe
Stellen Sie die Menge M der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar:
M= { Z [mm] \in \IC [/mm] | mit Z = x + jy und |Z-j| [mm] \le [/mm] 4 und  0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 4 }
Bitte begründen Sie Ihr Ergebnis

Hallo,
ich weiß nicht wie ich hier beginnen soll. Falls jemand auch ne gute Seite hierfür hat wäre ich sehr dankbar.

Auß 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 4   kann ich entnehmen dass es der 1. Quadrant sein muss, da x und y positiv sind würde ich behaupten.

lg

        
Bezug
Gaußsche Zahlenebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Do 07.05.2015
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Stellen Sie die Menge M der komplexen Zahlen in der
> Gaußschen Zahlenebene dar:
>  M= { Z [mm]\in \IC[/mm] | mit Z = x + jy und |Z-j| [mm]\le[/mm] 4 und  0 [mm]\le[/mm]
> x [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

4 }

>  Bitte begründen Sie Ihr Ergebnis
>  Hallo,
>  ich weiß nicht wie ich hier beginnen soll. Falls jemand
> auch ne gute Seite hierfür hat wäre ich sehr dankbar.
>  
> Auß 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 4   kann ich entnehmen dass es der
> 1. Quadrant sein muss, da x und y positiv sind würde ich
> behaupten.
>  
> lg


Wir zeichnen in der Gaußschen Zahlenebene:

1. die abgeschlossene Kreisscheibe mit Mittelpunkt j und Radius 4

2. die Dreiecksfläche mit den Ecken 0+j0, 4+j0 und 4+j4.

Die Kreisscheibe schraffiere rot , die Dreiecksfläche grün.

Alles, was nun sowohl rot als auch grün schraffiert ist, ist M.

FRED

Bezug
        
Bezug
Gaußsche Zahlenebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Do 07.05.2015
Autor: Marcel

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

> Stellen Sie die Menge M der komplexen Zahlen in der
> Gaußschen Zahlenebene dar:
>  M= { Z [mm]\in \IC[/mm] | mit Z = x + jy und |Z-j| [mm]\le[/mm] 4 und  0 [mm]\le[/mm]
> x [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

4 }

>  Bitte begründen Sie Ihr Ergebnis
>  Hallo,
>  ich weiß nicht wie ich hier beginnen soll. Falls jemand
> auch ne gute Seite hierfür hat wäre ich sehr dankbar.
>  
> Auß 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 4   kann ich entnehmen dass es der
> 1. Quadrant sein muss, da x und y positiv sind würde ich
> behaupten.

Fred hat es ja erklärt. Vielleicht nur ergänzend:

    [mm] $K:=\{z \in \IC \mid |z-j|\;\le\;4\}$ [/mm]

ist die Menge aller Punkte aus [mm] $\IC$, [/mm] die einen Abstand [mm] $\le [/mm] 4$ zu dem Punkt
$j [mm] \in \IC$ [/mm] haben. Das ist also die abgeschlossene Kreisscheibe um [mm] $j\,$ [/mm] mit
Radius [mm] $4\,.$ [/mm]

Überlege Dir, dass Du, wenn Du $z=x+jy [mm] \in \IC \cong \IR +j\IR$ [/mm] mit [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizierst,
nichts anderes als

    [mm] $K=\{(x,y) \in \IR^2 \mid \sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}\;\le\;4\}$ [/mm]

hast! (Beachte: $j=0+j*1$ wird mit $(0,1) [mm] \in \IR^2$ [/mm] identifiziert!)

Zu dem anderen: Was ist

    [mm] $D=\{z=x+jy \mid 0 \le x \le y \le 4\}$? [/mm]

Auch hier identifiziere

    [mm] $D=\{(x,y) \in \IR^2 \mid 0 \le x \le y \le 4\}\,.$ [/mm]

Wie kommt man nun zu Freds Ergebnis? Ganz einfach:
1. Halte zunächst mal ein $0 [mm] \le \red{\,y\,} \le [/mm] 4$ fest. Was ist dann die Menge

    [mm] $D_y:=\{(x,y) \in \IR^2 \mid 0 \le x \le y\}$ [/mm]

Tipp: erinnere Dich zunächst, wie

    [mm] $G_y:=\{(x,y) \in \IR^2 \mid 0 \le x \wegde y=x\}$ [/mm]

aussieht.

2. Beachte [mm] $D=\bigcup_{y \in [0,4]}D_y$. [/mm]

(Interessant ist vielleicht: Aus $0 [mm] \le y_1 \le y_2$ [/mm] folgt [mm] $D_{y_1}\;\subseteq\;D_{y_2}$. [/mm]
Das macht das Ganze im Endeffekt dann ganz einfach, weil Du so [mm] $D=D_4$ [/mm]
erkennst!)

P.S. Beachte: Mit wachsendem y wachsen die [mm] $D_y$ [/mm] "sowohl nach rechts als auch
*nach schräg oben*".

Gruß,
  Marcel

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