matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Lineare Abbildungen > Gaußscher Algorithmus
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Abbildungen" - Gaußscher Algorithmus
Gaußscher Algorithmus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gaußscher Algorithmus: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

Aufgabe
Bestimmen Sie für die unten angegebenen linearen Gleichungssysteme A*x=b den Nullraum N(A) (durch Angabe einer Basis) und die Lösungsmenge L(A,b) mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus

[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] - [mm] 3*x_{3} [/mm] = 2
[mm] x_{1} [/mm] + 4* [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm]   = 4
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}*x_{2} [/mm] - [mm] 2*x_{3} [/mm] =  [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3*x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm]   = 3

Lösungsansatz:


1 2 3 | 2
1 4 1 | 4
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]     || Z.2 minus Z.4
1 3 1 | 3


1 2 3 | 2
0 1 0 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2| [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 1 | 3                                              || Z.4 minus 3* Z.2


1 2 3 | 2                                               || Z.1 minus 2* Z.2
0 1 0 | 1                                              
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 0 1 | 0


1 0 3 | 0
0 1 0 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]      || Z.3 minus Z.1
1 0 1 | 0


1 0 3 | 0                                              || Z.1 minus Z.4
0 1 0 | 1
0 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 1 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 0 1 | 0


0 0 2 | 0
0 1 0 | 1
0 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 1 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]        || *10   || Z.3 minus 5*Z.1
1 0 1 | 0


0 0 2 | 0
0 1 0 | 1              
0 2 0 | 25                                              || Z.3 minus 2*Z.2
1 0 1 | 0


0 0 2 | 0                                                 || * 0.5
0 1 0 | 1
0 0 0 | 23
1 0 1 | 0                                                 || Z.4 minus Z. 1


0 0 1 | 0
0 1 0 | 1                                                 || Z.3 mit Z.4 vertauschen
0 0 0 | 23
1 0 0 | 0


0 0 1 | 0                                                || Z.1 mit Z.3 vertauschen
0 1 0 | 1
1 0 0 | 0
0 0 0 | 23


1 0 0 | 0
0 1 0 | 1
0 0 1 | 0
0 0 0 |23





so die L(A,b) = leere Menge

ist das bis hier hin korrekt?


aber wie bestimme ich nun den Nullraum? wäre echt voll lieb, wenn mir das einer erklären könntne!


Liebe Grüße!!!








        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> Bestimmen Sie für die unten angegebenen linearen
> Gleichungssysteme A*x=b den Nullraum N(A) (durch Angabe
> einer Basis) und die Lösungsmenge L(A,b) mit Hilfe des
> Gaußschen Algorithmus
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2*x_{2}[/mm] - [mm]3*x_{3}[/mm] = 2
>  [mm]x_{1}[/mm] + 4* [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm]   = 4
>  [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5}*x_{2}[/mm] - [mm]2*x_{3}[/mm] =  [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3*x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm]   = 3
>  Lösungsansatz:
>  
>
> 1 2 3 | 2
>  1 4 1 | 4
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]     || Z.2 minus Z.4
>  1 3 1 | 3
>  


Da sind beim Abschreiben ein paar Fehler unterlaufen:

[mm]+1 \ +2 \ \red{-}3 \left\right| \ +2[/mm]
[mm]+1 \ +4 \ +1 \left\right| \ +4[/mm]
[mm] +1 \ +\bruch{1}{5} \ \red{-}2 \left\right| \ +\bruch{5}{2}[/mm]
[mm] +1 \ +3 \ \red{-}1 \left\right| \ +3[/mm]


>
> 1 2 3 | 2
>  0 1 0 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2| [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 3 1 | 3                                              ||
> Z.4 minus 3* Z.2
>  
>
> 1 2 3 | 2                                               ||
> Z.1 minus 2* Z.2
>  0 1 0 | 1                                              
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 1 0 3 | 0
>  0 1 0 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]      || Z.3 minus Z.1
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 1 0 3 | 0                                              ||
> Z.1 minus Z.4
>  0 1 0 | 1
>  0 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 1 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 0 0 2 | 0
>  0 1 0 | 1
>  0 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 1 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]        || *10   || Z.3
> minus 5*Z.1
> 1 0 1 | 0
>  
>
> 0 0 2 | 0
>  0 1 0 | 1              
> 0 2 0 | 25                                              ||
> Z.3 minus 2*Z.2
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 0 0 2 | 0                                                
> || * 0.5
>  0 1 0 | 1
>  0 0 0 | 23
>  1 0 1 | 0                                                
> || Z.4 minus Z. 1
>  
>
> 0 0 1 | 0
>  0 1 0 | 1                                                
> || Z.3 mit Z.4 vertauschen
>  0 0 0 | 23
>  1 0 0 | 0
>  
>
> 0 0 1 | 0                                                ||
> Z.1 mit Z.3 vertauschen
>  0 1 0 | 1
>  1 0 0 | 0
>  0 0 0 | 23
>  
>
> 1 0 0 | 0
>  0 1 0 | 1
>  0 0 1 | 0
>  0 0 0 |23
>  
>
>
>
>
> so die L(A,b) = leere Menge
>  
> ist das bis hier hin korrekt?
>  


Siehe oben.

Das mußt nochmal nachrechnen.



>
> aber wie bestimme ich nun den Nullraum? wäre echt voll
> lieb, wenn mir das einer erklären könntne!
>  
>
> Liebe Grüße!!!


Gruß
MathePower
Bezug
        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

1 2 -3 | 2
1 4 1 | 4     ||Z.2 minus Z.4
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]    
1 3 -1 | 3


1 2 -3 | 2     | Z.1 plus Z.2
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 -1 | 3


1 3 -1 | 3
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 -1 | 3     | Z.4 minus Z.1


1 3 -1 | 3
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
0 0  0 | 0


bis hier hin komme ich weiter und dann fehlt mir irgendwie die idee, um den Term zu lösen.


Ich hoffe Du oder kmd anders kann mir dabei helfen!

Bezug
                
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> 1 2 -3 | 2
>  1 4 1 | 4     ||Z.2 minus Z.4
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]    
> 1 3 -1 | 3
>
>
> 1 2 -3 | 2     | Z.1 plus Z.2
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 3 -1 | 3
>  
>
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 3 -1 | 3     | Z.4 minus Z.1
>  
>
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
>
> bis hier hin komme ich weiter und dann fehlt mir irgendwie
> die idee, um den Term zu lösen.


Zunächst mußt Du die 1 in der 3.Zeile eliminieren.

Dann hast Du in der 1. Spalte eine 1 und sonst lauter Nullen stehen.

Mit den verbliebenen Gleichungen verfährst Du ähnlich.


>  
>
> Ich hoffe Du oder kmd anders kann mir dabei helfen!
>  


Gruß
MathePower
Bezug
                        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

ich komme irgendwie nicht wirklich weiter! Könntest du mir den Lösungsschritt bitte aufschreiben, das wäre echt nett von Dir!


Liebe Grüße!
Bezug
                                
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

ich habe noch einen Versuch gestartet, der hoffentlich erfolgreich ist!


1 3 -1 | 3
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]     | Z.3 minus Z.1
0 0  0 | 0

1 3 -1 |3
0 1  2 |1      | Z.2 plus 2* Z.3
0 [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
0 0  0 | 0

1 3 -1 | 3
0 [mm] 6\bruch{3}{5} [/mm] 0 | 0     | / [mm] 6\bruch{3}{5} [/mm]
0 [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]    | Z.3 minus [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] * Z.2
0 0 0 | 0

1 3 -1 | 3
0 1  0 | 0
0 0 -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]     | *-1
0 0 0 | 0


1 3 -1 | 3     |Z.1 minus 3*Z.2     | Z.1 plus Z.3
0 1  0 | 0
0 0  1 | [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
0 0  0 | 0

1 0 0 | [mm] 3\bruch{1}{2} [/mm]
0 1  0 | 0
0 0  1 | [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
0 0  0 | 0

soweit richtig?
Bezug
                                        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> ich habe noch einen Versuch gestartet, der hoffentlich
> erfolgreich ist!
>  
>
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]     | Z.3 minus Z.1
>  0 0  0 | 0
>  
> 1 3 -1 |3
>  0 1  2 |1      | Z.2 plus 2* Z.3
>  0 [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
> 1 3 -1 | 3
>  0 [mm]6\bruch{3}{5}[/mm] 0 | 0     | / [mm]6\bruch{3}{5}[/mm]
>  0 [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]    | Z.3 minus
> [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] * Z.2
>  0 0 0 | 0
>  
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  0 | 0
>  0 0 -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]     | *-1
>  0 0 0 | 0
>  
>
> 1 3 -1 | 3     |Z.1 minus 3*Z.2     | Z.1 plus Z.3
>  0 1  0 | 0
>  0 0  1 | [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
> 1 0 0 | [mm]3\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 1  0 | 0
>  0 0  1 | [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
> soweit richtig?


Perfekt. [ok]

Gruß
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> ich komme irgendwie nicht wirklich weiter! Könntest du mir
> den Lösungsschritt bitte aufschreiben, das wäre echt nett
> von Dir!


Wir haben bis jetzt folgendes System:

[mm]\left\begin{matrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & \bruch{1}{5} & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix}3 \\ 1 \\ \bruch{5}{2} \\ 0\end{matrix}[/mm]

Nun addieren wir zur 3. Zeile das (-1)-fache der 1. Zeile und erhalten:

[mm]\left\begin{matrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -\bruch{14}{5} & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix}3 \\ 1 \\ -\bruch{1}{2} \\ 0\end{matrix}[/mm]

Jetzt kannst Du sicher auch dafür sorgen, daß die [mm]-\bruch{14}{5}[/mm] verschwindet.


>  
>
> Liebe Grüße!


Gruß
MathePower
Bezug
                                        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

Ich wollte Dir nur noch einmal für deine Gedult und Hilfe danken!!!



Liebe Grüße!
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]