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Hi,
ich habe mehrere Aufgaben zu Linearen Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus erfolgreich lösen können. Jedoch bin ich mir noch nicht ganz sicher ob ich wirklich alles richtig verstanden habe oder ob es einfach nur "schön" gewählte Beispiele waren. Also z.B. diese Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & -3 & 3 \\ 8 & 10 & 2 \\ -2 & 1 & -3} \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 5}
[/mm]
Ich fange jetzt die Tabelle an und nehme die 1. Zeile als die Eliminationszeile [mm] E_1. [/mm] Dann schreibe ich die anderen beiden Zeile mit Platz darunter hin und nehme [mm] E_1 [/mm] jeweils mit [mm] -\bruch{8}{3} [/mm] und [mm] \bruch{7}{3} [/mm] mal.
Nun verschwindet die Unbekannte [mm] x_1. [/mm] Danach wiederhole ich diesen Schritt und nehme die zweite zeile dieser neuen Matrix als [mm] E_2 [/mm] und nehme die 1. mit 18 mal. Daraus ergibt sich:
[mm] x_3=-4
[/mm]
[mm] x_2=-1
[/mm]
[mm] x_1=3
[/mm]
Laut Lösungsverzeichnis stimmt dieses Ergebnis.
Was mir Probleme macht ist das richtige wählen der Eliminationszeile (bzw. vertauschen der Zeilen). Wenn ich bei den zweiten Schritt oder z.B. die Zeilen vertausche, also [mm] E_2 [/mm] für die erste Zeile bekomme ich schon für [mm] x_3=8. [/mm] Also ein völlig anderes Ergebnis. Soweit ich verstanden habe ändert sich durch Vertauschen der Zeilen nicht das Ergebnis.
Auch hatte ich ein anderes Beispiel wo ich als [mm] E_1 [/mm] nicht die erste Zeile, sondern einen andere wählen musste, ansonsten konnte ich nicht auf das Ergebnis kommen. Wie ist es also richtig? Hab ich mich nur verrechnet oder gibt es eine formale Regel was ich tauschen muss, bzw. welche Zeile ich als Eliminationszeile im Gaußschen Algorithmus nehme?
Gruß
Andreas
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Fr 02.07.2004 | | Autor: | uamini |
Generell sollte diese Seite hier für dich hilfreich sein
![[]](/images/popup.gif) http://www.du.shuttle.de/kati/mathe/1_gauss.htm
Da wird an mehreren Beispielen gezeigt, wie es gemacht wird. Da die dort benutzten Matrizen die gleiche Größe wie deine haben, sollte das Anwenden hoffentlich nicht allzu schwer sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Sa 03.07.2004 | | Autor: | andreas99 |
Danke für den Link. Aber der formale Algorithmus und die Möglichkeiten des Umformens sind auch in meinem Buch hier beschrieben (Papula).
Aber der Satz auf dieser Seite beantwortet wohl meine Frage teilweise:
> Das "wie" ist ganz dem Geschick des Mathematikers
> überlassen. Erst durch intensive Übung gelangt man zu
> einem optimalen Weg.
Ich dachte eben es gibt einen optimalen Weg den Algorithmus anzuwenden. Beispiel wäre für mich das lösen des Algorithmus einem Computerprogramm zu überlassen. Der kann wohl nicht auf "Geschick" zurückgreifen und muss es dann irgendwie anders optimal lösen. Gibt es in diesem Zusammenhang noch eindeutigere Lösungsverfahren?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
>> [mm]\pmat{ 3 & -3 & 3 \\ 8 & 10 & 2 \\ -2 & 1 & -3} \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 5}
[/mm]
>
> Ich fange jetzt die Tabelle an und nehme die 1. Zeile als
> die Eliminationszeile [mm]E_1.[/mm]
Den Ausdruck "Eliminationszeile" habe ich in diesem Zusammenhang noch nie gehört. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Was verstehst du darunter??? Man bringt doch einfach die Matrix auf Diagonalgestalt.
> Dann schreibe ich die anderen
> beiden Zeile mit Platz darunter hin und nehme [mm]E_1[/mm] jeweils
> mit [mm]-\bruch{8}{3}[/mm] und [mm]\bruch{7}{3}[/mm] mal.
Eines verstehe mich: Man ersetzt die zweite Zeile durch die Differenz der zweiten Zeile mit dem [mm] $\frac{8}{3}$-fachen [/mm] der erste Zeile. Okay. Wie aber kommst du auf [mm] $\frac{7}{3}$??
[/mm]
> Nun verschwindet die Unbekannte [mm]x_1.[/mm]
Häh?
> Danach wiederhole >ich
> diesen Schritt und nehme die zweite zeile dieser neuen
> Matrix als [mm]E_2[/mm] und nehme die 1. mit 18 mal. Daraus ergibt
> sich:
>
> [mm]x_3=-4
[/mm]
> [mm]x_2=-1
[/mm]
> [mm]x_1=3
[/mm]
>
> Laut Lösungsverzeichnis stimmt dieses Ergebnis.
>
> Was mir Probleme macht ist das richtige wählen der
> Eliminationszeile (bzw. vertauschen der Zeilen). Wenn ich
> bei den zweiten Schritt oder z.B. die Zeilen vertausche,
> also [mm]E_2[/mm] für die erste Zeile bekomme ich schon für [mm]x_3=8.[/mm]
> Also ein völlig anderes Ergebnis.
Vermutlich hast du den folgenden Fehler gemacht: Wenn du die Zeilen der Matrix vertauschst, dann musst du auch die Einträge des Vektors auf der rechten Seite vertauschen. Das wird häufig vergessen. Aus diesem Grund ist es zweckmäßig direkt die erweiterte Matrix zu betrachten, also in diesem Fall
[mm]\pmat{ 3 & -3 & 3 &| & 0 \\ 8 & 10 & 2 & | & 6 \\ -2 & 1 & -3 & | & 5}[/mm]
Dann tauscht man die Einträge der rechten Seite automatisch mit, wenn man die Zeilen der Matrix vertauscht.
> Soweit ich verstanden
> habe ändert sich durch Vertauschen der Zeilen nicht das
> Ergebnis.
Wie gesagt, wenn man die Einträge der rechten Seite mitvertauscht, dann nicht.
> Auch hatte ich ein anderes Beispiel wo ich als [mm]E_1[/mm] nicht
> die erste Zeile, sondern einen andere wählen musste,
> ansonsten konnte ich nicht auf das Ergebnis kommen. Wie ist
> es also richtig? Hab ich mich nur verrechnet oder gibt es
> eine formale Regel was ich tauschen muss, bzw. welche Zeile
> ich als Eliminationszeile im Gaußschen Algorithmus nehme?
Da ich nicht weiß, was eine Eliminationszeile sein soll, kann ich dir die Frage nicht beantworten. Gehe einfach ganz stupide nach dem Algorithmus vor und bringe die Matrix auf Diagonalgestalt (hierbei kannst du, wenn es sich lohnt, ab und zu auch noch Zeilen vertauschen). Dann hat man überhaupt keine Probleme.
Liebe Grüße
Stefan
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Richtig wäre [mm] \bruch{2}{3} [/mm] gewesen.
