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| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld v = [mm] (x^2,y^2,z-1)^T [/mm].
a) Berechne mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes den Fluss [mm] \Phi = \int_S v * df [/mm] durch die Oberfläche S des Körpers K, der nach oben durch die Ebene z = 4 und nach unten durch z = [mm] x^2+y^2 [/mm] begrenzt wird (Normale nach außen)!
b) Bestimme den Fluss [mm] \Phi_1 [/mm] des Vektorfeldes v durch die Fläche [mm] S_1: z = x^2+y^2 [/mm] 0 [mm] \leq [/mm] z [mm] \leq [/mm] 4 (der Normalenvektor habe eine negative z-Komponente)! |
Hallo,
eigentlich habe ich keine Probleme mit Integration, aber hier stehe ich wohl irgendwie auf dem Schlauch. Meines Erachtens sind beide Aufgabenstellungen gleich, nur, dass man bei a) den Integralsatz verwenden soll und bei b) nicht.
zu a) habe ich zunächst div v = 2x + 2y + 1 gebildet und dann das Integral mit Zylinderkoordinaten aufgestellt:
[mm] \Phi = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{r^2}^4 (2r cos(\phi) + 2r sin(\phi) + 1)r\ dz\ dr\ d\phi [/mm], wobei r die Funktionaldeterminante ist.
Ich komme hierbei auf 8 [mm] \pi [/mm], was ich auch mit Maple nachgerechnet habe, also stimmen müsste.
zu b) habe ich als Parametrisierung
[mm] \Phi = \begin{pmatrix}
r*cos(\phi)\\ r*sin(\phi)\\ r^2 \end{pmatrix} [/mm].
Damit erhalte ich den Normalenvektor
[mm] \begin{pmatrix} 2r^2*cos(\phi) \\ 2r^2*sin(\phi) \\ -r \end{pmatrix} [/mm].
Wenn ich den mit dem Vektorfeld skalarmultipliziere und das Integral bilde, erhalte ich
[mm] \Phi_1 = \int_0^{2\pi} \int_0^2 2r^4*(cos(\phi))^3 + 2r^4(sin(\phi))^3 - r^3 + r\ dr\ d\phi [/mm] und damit erhalte ich -4[mm] \pi [/mm].
Tja, aber eigentlich müsste ja das gleiche rauskommen..
Es wäre sehr sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, wo ich einen Denkfehler habe.
Viele Grüße,
Manuela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 So 11.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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