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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:13 Sa 14.01.2006 | | Autor: | mathmetzsch |
| Aufgabe | Hallo, ich habe die folgende Aufgabe:
Sei [mm] \IZ[\wurzel{5}]=\{a+b\wurzel{5}|a,b\in\IZ\}.
[/mm]
1.) Zeige, dass die Norm multiplikativ ist: [mm] N(a+b\wurzel{5})=a^{2}-5b^{2}.
[/mm]
2.) [mm] x\in\IZ\wurzel{5} \gdw [/mm] N(X)=+/-1
3.) Zeige, dass die Einheitengruppe unendlich ist!
4.) Zeige, dass es in [mm] \IZ[\wurzel{5}] [/mm] kein Element b mit N(b)=+/-2 gibt! Hinweis: Rechne mod(4)
5.) 2, [mm] 3+\wurzel{5}, 3-\wurzel{5} [/mm] sind unzerlegbar und paarweise assoziiert (Verwende 4.)) |
Hallo,
also die Aufgabenteile 1.-3. sind Geschichte, die habe ich schon gelöst. Mir ist bei 4.) nicht klar, was ich mod(4) ausrechnen soll. Ist damit gemeint:
[mm] a^{2}+5b{2}\equiv [/mm] 2 mod(4). Soll ich das zeigen? Wenn ja, wie?
Wie ich das mit dem assoziiert zeige, ist mir klar. Aber wie zeige ich, dass diese Elemente unzerlegbar sind? Die 2 ist sicher unzerlegbar, aber wie zeige ich das?
Bitte um Hilfe!
Viele Grüße
Daniel
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Wenn eine Gleichung
[mm]a^2 - 5b^2 = 2[/mm]
in ganzen Zahlen [mm]a,b[/mm] bestünde, dann würde sich hieraus
[mm]a^2 - b^2 \equiv 2 \ (4)[/mm]
ergeben. Jetzt überlege, warum das nicht sein kann. Unterscheide dazu die Fälle [mm]a,b[/mm] beide gerade oder [mm]a,b[/mm] beide ungerade oder eine der Zahlen [mm]a,b[/mm] ist gerade, die andere ungerade.
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Hallo,
und danke. Jetzt konnte ich die 4 lösen. Hat noch jemand ne Idee für die unzerlegbaren Elemente?
Daniel
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