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| Aufgabe | Das Sollgewicht von Brötchen ist 50g. Das Gewicht eines Brötchens ist normalverteilt mit Streuung σ = 1. Um Betrug eines Bäckers nachzuweisen geht ein Lebensmittelkontrolleur jedesmal auf folgende Weise vor :
Er wiegt 10 Brötchen, berechnet den Mittelwert und wählt dann das kleinste Niveau α ∈ (0, 1), so dass er die Hypothese {μ = 50} mit dem Gausstest verwerfen kann.
Der Lebensmittelkontrolleur folgert nun “Der Bäcker betrügt, denn der Test zeigt dies an mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α”. Sind Sie mit dieser Aussage einverstanden ? Wenn nicht, bestimmen Sie das Niveau des Tests, den der Kontrolleur durchgeführt hat.
Tipp: Überlegen Sie sich, wie die Testfunktion des Kontrolleurs wirklich aussieht. |
Hallo,
folgendes habe ich mir überlegt:
Modell ist X = [mm] (X_{1},...,X_{10}) [/mm] wobei [mm] X-N(\mu,1) [/mm] ; [mm] H=\{\mu=50\}
[/mm]
Die Testentscheidung soll fallen aufgrund des Mittelwerts [mm] \overline{x}
[/mm]
Nun ist es so, dass der Kontrolleur ja Betrug nachweise will. Das heißt, dass die Hypothese in jedem Fall verworfen werden soll.
D.h. für jedes [mm] \overline{x} [/mm] ist [mm] \phi(\overline{x})=1.
[/mm]
Dann weiß ich nicht genau, wie es weiter geht. Ich habe überlegt, die Gütefunktion aufzustellen:
[mm] \beta(50)=P_{50}(\phi=1)=P_{50}(\overline{x})=\bruch{1}{2\wurzel{\pi}}*e^{-\bruch{1}{2}(\overline{x}-50)^{2}}
[/mm]
Das hieße dann
[mm] \beta(50)=\begin{cases} \approx 0,4 & \mbox{wenn } \overline{x} \mbox{ =50} \\ 0 & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Also könnte der Kontrolleur in den meisten Fällen das Alpha-Niveau beliebig wählen und die Hypothese dennoch verwerfen oder aber er erhält ein sehr hohes Alpha-Niveau von 40%.
Kann das sein oder liege ich mit meinen Überlegungen völlig falsch?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Sa 06.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
Liebes Forum,
also ich habe einiges gelesen und versucht Licht ins Dunkle zu bringen.. meine Funktion macht wohl ziemlich wenig Sinn. Allerdings verstehe ich leider nicht, wie ich hier ein Alpha-Niveau bestimmen soll. Konnte auch kein Beispiel finden. Es wird immer zuerst ein [mm] \alpha [/mm] festgelegt und dann...
Mein Problem ist, dass der Kontrolleur ja Betrug nachweisen will. Das hieße doch, dass er die Hypothese in jedem Fall verwerfen wird, egal was für ein Mittelwert gemessen wird oder etwa nicht? Das wiederum hieße, dann der gesamte Stichprobenraum der Verwerfungsbereich ist und weiter
[mm] \beta(50)=P_{50}(\phi=1)=1 [/mm] und wenn man nun [mm] \alpha [/mm] sucht, dass wäre [mm] \alpha=P_{50}(\phi=1)=1 [/mm] also 100%
Das kanns doch nicht sein? Wo liegt der Denkfehler?
Danke, Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 So 07.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
Niemand in diesem Forum, der in Stochastik "Vorhilfe" leisten kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mo 08.07.2013 | | Autor: | rabilein1 |
Eventuell ist die Aufgabe nicht verständlich genug gestellt.
Sollgewicht: 50 g / Streuung: 1 g
Was heißt das jetzt: Ein Brötchen wiegt mit 68%iger Wahrscheinlichkeit zwischen 49 g und 51 g. (?)
Und vor allem:
Wie wiegt er die Brötchen? Einzeln? Oder alle 10 zusammen?
Wie ist "Betrug" definiert?
Falls die 10 Brötchen zusammen mehr als 500 g wiegen, kann ja niemals von Betrug die Rede sein.
Was wäre aber beispielsweise bei 10 Brötchen à 49 g? Dann wäre zwar jedes Brötchen noch gerade so im Rahmen der Standardabweichung, aber es wäre doch recht unwahrscheinlich, dass alle 10 Brötchen zu wenig wiegen. Also liegt "Betrug" nahe.
Aber wie gesagt: Zunächst einmal müsste man den Begriff "Betrug" näher definieren (nicht juristisch, sondern im Sinne dieser Aufgabe)
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Nun ich denke, dass es so gemeint ist:
Stichprobe [mm] X=(X_{1},...,X_{10}) [/mm] wobei [mm] X_{i} [/mm] normalverteilt.
Der Bäcker wiegt 10 Brötchen, nacheinander, weil es sonst keinen Sinn macht das arithmetische Mittel zu berechnen, und berechnet dann jenes [mm] \overline{x}.
[/mm]
Die Testentscheidung soll ja aufgrund des Mittelwerts [mm] \overline{x} [/mm] fallen.
Dann ergibt sich ja "normalerweise" der Test [mm] \Phi [/mm] mit beispielsweise
[mm] \Phi(X)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } X
mit dem kritischen Wert c. "Betrug" ist klar definiert. "Normalerweise" wird ja ein Alpha-Niveau vorgegeben. Der Kritische Wert wird dann so bestimmt, dass die Gütefunktion [mm] \beta(\mu) [/mm] dieses Alpha einhält. Unterschreitet der tatsächlich gemessene Wert [mm] \overline{x} [/mm] den kritischen Wert, würde in diesem Beispiel die Hypothese verworfen werden müssen und "Betrug" wurde nachgewiesen.
Allerdings soll ja hier das Alpha-Niveau bestimmt werden und es ist auch kein kritischer Wert vorgegeben.
Das Alpha-Niveau kann für gewöhnlich bestimmt werden, indem die Gütefunktion berechnet wird:
[mm] \beta(\mu)=P_{\mu}(\Phi=1)\le\alpha
[/mm]
Nun ist es aber hier doch so, dass es keinen kritischen Wert gibt. Die Hypothese wird doch für jeden [mm] \overline{x} [/mm] abgelehnt, weil der Kontrolleur ja Betrug nachweisen will?!
Die Testfunktion wäre dann ja [mm] \Phi(X)=1 \forall \overline{x} [/mm] oder nicht?
Folglich müsste das Alpha-Niveau bei 100% liegen, aber das macht überhaupt keinen Sinn für mich.
Ich finde meinen Denkfehler wohl nicht. Kann keiner Helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Di 09.07.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich finde meinen Denkfehler wohl nicht. Kann keiner helfen?
Ich vermute, der Denkfehler liegt eher im Verstehen bzw. Interpretieren der Aufgabe.
> Die Hypothese wird doch für jeden [mm] \overline{x} [/mm] abgelehnt, weil der Kontrolleur ja Betrug nachweisen will?!
Ich bin mir nicht sicher, ob das mit dem "Betrug nachweisen will" so stimmt.
Natürlich will ein Kontrolleur immer Betrug nachweisen, sonst wäre er ja ein schlechter Kontrolleur, aber das heißt ja nicht, dass er auch immer Betrug nachweisen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 10.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 09.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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