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Geb-Prob. logist. Fkt Polygon: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Di 28.05.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Betrachtet wird das Ereignis  E: Unter n Personen haben mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag.

Die Wahrscheinlichkeit für E lautet dann:   P(E) = 1- [mm] \bruch{365!}{(365-n)!*365^n} [/mm]

Trägt man diese Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit n der Personen in ein Koordinatensystem ein und verbindet die Punkte mit einander, so entsteht ein Polygonzug der einer logistischen Funktion ähnelt.

Modellieren Sie eine zugehörige logistische Funktion der Form f(x) = [mm] \bruch{a*1}{a+e^{-1*k*x}} [/mm]  

mit  x: die Anzahl der Personen
      f(x): Wahrscheinlichkeit


Anmerkung: Dies ist keine Hochschulaufgabe, also auch nicht auf Uni-Niveau zu lösen. Danke.


Moin Moin,

zu obiger Aufgabe bräuchte ich ein paar Hinweise, wie ich da vorgehen könnte!  ???


Nach längerem Nachdenken bin ich der Meinung n müsste mindestens 2 sein bzw. n [mm] \ge [/mm] 2. Weiter:
Ich könnte Wahrscheinlichkeiten usw. berechnen mithilfe von P(E) als für n = 2,3,4...

Bei der aufzustellenden logistischen Funktion würde das n dann meinem x entsprechen, richtig?

Ich würde also anhand der Wahrscheinlichkeiten ein a berechnen können, oder ggf. näherungsweise bestimmen können ???
Konkret: Ich bilde zwei Wertepaare (n und P(E)) und kann dann a und k bestimmen.

Was bedeutet bei der Aufgabenstellung im Zähler *1  ??? Könnte ich das nicht weglassen, oder ist das noch eine dritte Variable???


Ist das so denkbar?  Mache ich dabei einen Denkfehler?


Vielen Dank für eure Hilfe!

















        
Bezug
Geb-Prob. logist. Fkt Polygon: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Di 28.05.2019
Autor: chrisno

Was mir dazu so einfällt:
> ....
> Nach längerem Nachdenken bin ich der Meinung n müsste
> mindestens 2 sein bzw. n [mm]\ge[/mm] 2.
> Weiter:
>  Ich könnte Wahrscheinlichkeiten usw. berechnen mithilfe
> von P(E) als für n = 2,3,4...

genau, es gibt da auch eine Obergrenze. zu Beginn würde ich nur so etwa jeden 36. Wert berechnen.

>  
> Bei der aufzustellenden logistischen Funktion würde das n
> dann meinem x entsprechen, richtig?

[ok]

>  
> Ich würde also anhand der Wahrscheinlichkeiten ein a
> berechnen können, oder ggf. näherungsweise bestimmen
> können ???
>  Konkret: Ich bilde zwei Wertepaare (n und P(E)) und kann
> dann a und k bestimmen.

Das ist einen Versuch wert.

>
> Was bedeutet bei der Aufgabenstellung im Zähler *1  ???
> Könnte ich das nicht weglassen, oder ist das noch eine
> dritte Variable???

Weg lassen

>

Ich würde erst einmal die Werte suchen, für die $P(e) [mm] \approx [/mm] f(x) = 0,5$.
damit bekommat Du eine Beziehung zwischen a und k. Dann nimm noch den Wert für x = 2.

Dann vergleiche P(E) und f(x). Ich bin gespannt.

Bezug
                
Bezug
Geb-Prob. logist. Fkt Polygon: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Mi 29.05.2019
Autor: hase-hh

Moin Moin!

erstmal vielen Dank für die Hinweise!!


1.  P(E) berechnen  für n=2 und n=23

P(E) = 0,00274   für n=2

P(E) = 0,50730   für n=23


2. Gleichungssystem aufstellen  und lösen

I. f(2) = 0,00274 = [mm] \bruch{a}{a+e^{-2*k}} [/mm]

Ia.  durch Umformen ergibt sich    363,9635*a = [mm] e^{-2*k} [/mm]

II. f(23) = 0,50730 = [mm] \bruch{a}{a+e^{-23*k}} [/mm]

IIa.  durch Umformen ergibt sich   a = [mm] 0,97122*e^{-23*k} [/mm]

... dann Einsetzen von IIa. in Ia.

   363,9635*a = [mm] e^{-2*k} [/mm]
   363,9635* [mm] 0,97122*e^{-23*k} [/mm] = [mm] e^{-2*k} [/mm]   | * [mm] e^{23*k} [/mm]
  
   353,48863 = [mm] e^{21*k} [/mm]   |  ln

   5,86785 = 21*k

  k = 0,27942

  =>  a = 0,00157  


3. Funktionsterm notieren

Die gesuchte logistische Funktion lautet also:

f(x) = [mm] \bruch{0,00157}{0,00157 + e^{-0,27942*x}} [/mm]


Ist das soweit richtig?



Für das Polygon... zunächst klingt es plausibel, bspw. nur jeden 36.-ten Wert zu berechnen, um dann ein Polygon mit 10 Punkten zu erhalten. Allerdings konnte ich EXCEL bisher nur Funktionswerte P(E) bis n = 120 entlocken. Dieser Wert ist nun allerdings mit 99,99999998 %  schon fast 1.














Bezug
                        
Bezug
Geb-Prob. logist. Fkt Polygon: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mi 29.05.2019
Autor: chrisno

ich habe nur ganz kurz Zeit. Nachgerechnet habe ich Deines nicht. Die Funktion habe ich mir geplottet. Für n = 18 passt das schlecht. Ich vermute, dass n = 2 eine schlechte Wahl war.
Mit n = 18 bekomme ich a = 0,0466 und k = 0,132.

Klar doch, es interessieren nur n und x , bei denen der Funtionswert ausreichend weit von 1 und 0 entfernt ist. Also kümmer Dich um die Werte, für die P(E) zwischen 0,1 und 0,9 liegt.

Nachtrag: Nun habe ich mir die Werte mal als Tabelle ausrechnen und anschließen plotten lassen.
Dann wird schnell klar, dass es die Wahl gibt, entweder für kleine n (n<10) eine gute übereinstimmung zu erhalten oder für größere n. Die f(x) kann P(E) nur teilweise gut beschreiben.

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