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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Di 28.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Betrachtet wird das Ereignis E: Unter n Personen haben mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag.
Die Wahrscheinlichkeit für E lautet dann: P(E) = 1- [mm] \bruch{365!}{(365-n)!*365^n}
[/mm]
Trägt man diese Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit n der Personen in ein Koordinatensystem ein und verbindet die Punkte mit einander, so entsteht ein Polygonzug der einer logistischen Funktion ähnelt.
Modellieren Sie eine zugehörige logistische Funktion der Form f(x) = [mm] \bruch{a*1}{a+e^{-1*k*x}} [/mm]
mit x: die Anzahl der Personen
f(x): Wahrscheinlichkeit
Anmerkung: Dies ist keine Hochschulaufgabe, also auch nicht auf Uni-Niveau zu lösen. Danke. |
Moin Moin,
zu obiger Aufgabe bräuchte ich ein paar Hinweise, wie ich da vorgehen könnte! ???
Nach längerem Nachdenken bin ich der Meinung n müsste mindestens 2 sein bzw. n [mm] \ge [/mm] 2. Weiter:
Ich könnte Wahrscheinlichkeiten usw. berechnen mithilfe von P(E) als für n = 2,3,4...
Bei der aufzustellenden logistischen Funktion würde das n dann meinem x entsprechen, richtig?
Ich würde also anhand der Wahrscheinlichkeiten ein a berechnen können, oder ggf. näherungsweise bestimmen können ???
Konkret: Ich bilde zwei Wertepaare (n und P(E)) und kann dann a und k bestimmen.
Was bedeutet bei der Aufgabenstellung im Zähler *1 ??? Könnte ich das nicht weglassen, oder ist das noch eine dritte Variable???
Ist das so denkbar? Mache ich dabei einen Denkfehler?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 28.05.2019 | | Autor: | chrisno |
Was mir dazu so einfällt:
> ....
> Nach längerem Nachdenken bin ich der Meinung n müsste
> mindestens 2 sein bzw. n [mm]\ge[/mm] 2.
> Weiter:
> Ich könnte Wahrscheinlichkeiten usw. berechnen mithilfe
> von P(E) als für n = 2,3,4...
genau, es gibt da auch eine Obergrenze. zu Beginn würde ich nur so etwa jeden 36. Wert berechnen.
>
> Bei der aufzustellenden logistischen Funktion würde das n
> dann meinem x entsprechen, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich würde also anhand der Wahrscheinlichkeiten ein a
> berechnen können, oder ggf. näherungsweise bestimmen
> können ???
> Konkret: Ich bilde zwei Wertepaare (n und P(E)) und kann
> dann a und k bestimmen.
Das ist einen Versuch wert.
>
> Was bedeutet bei der Aufgabenstellung im Zähler *1 ???
> Könnte ich das nicht weglassen, oder ist das noch eine
> dritte Variable???
Weg lassen
>
Ich würde erst einmal die Werte suchen, für die $P(e) [mm] \approx [/mm] f(x) = 0,5$.
damit bekommat Du eine Beziehung zwischen a und k. Dann nimm noch den Wert für x = 2.
Dann vergleiche P(E) und f(x). Ich bin gespannt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 29.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin!
erstmal vielen Dank für die Hinweise!!
1. P(E) berechnen für n=2 und n=23
P(E) = 0,00274 für n=2
P(E) = 0,50730 für n=23
2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
I. f(2) = 0,00274 = [mm] \bruch{a}{a+e^{-2*k}}
[/mm]
Ia. durch Umformen ergibt sich 363,9635*a = [mm] e^{-2*k}
[/mm]
II. f(23) = 0,50730 = [mm] \bruch{a}{a+e^{-23*k}}
[/mm]
IIa. durch Umformen ergibt sich a = [mm] 0,97122*e^{-23*k}
[/mm]
... dann Einsetzen von IIa. in Ia.
363,9635*a = [mm] e^{-2*k}
[/mm]
363,9635* [mm] 0,97122*e^{-23*k} [/mm] = [mm] e^{-2*k} [/mm] | * [mm] e^{23*k}
[/mm]
353,48863 = [mm] e^{21*k} [/mm] | ln
5,86785 = 21*k
k = 0,27942
=> a = 0,00157
3. Funktionsterm notieren
Die gesuchte logistische Funktion lautet also:
f(x) = [mm] \bruch{0,00157}{0,00157 + e^{-0,27942*x}}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Für das Polygon... zunächst klingt es plausibel, bspw. nur jeden 36.-ten Wert zu berechnen, um dann ein Polygon mit 10 Punkten zu erhalten. Allerdings konnte ich EXCEL bisher nur Funktionswerte P(E) bis n = 120 entlocken. Dieser Wert ist nun allerdings mit 99,99999998 % schon fast 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 29.05.2019 | | Autor: | chrisno |
ich habe nur ganz kurz Zeit. Nachgerechnet habe ich Deines nicht. Die Funktion habe ich mir geplottet. Für n = 18 passt das schlecht. Ich vermute, dass n = 2 eine schlechte Wahl war.
Mit n = 18 bekomme ich a = 0,0466 und k = 0,132.
Klar doch, es interessieren nur n und x , bei denen der Funtionswert ausreichend weit von 1 und 0 entfernt ist. Also kümmer Dich um die Werte, für die P(E) zwischen 0,1 und 0,9 liegt.
Nachtrag: Nun habe ich mir die Werte mal als Tabelle ausrechnen und anschließen plotten lassen.
Dann wird schnell klar, dass es die Wahl gibt, entweder für kleine n (n<10) eine gute übereinstimmung zu erhalten oder für größere n. Die f(x) kann P(E) nur teilweise gut beschreiben.
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