Gebiet < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 10.11.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Gebiet G mit x>0, y>0, [mm] 0
Skizzieren das Gebiet und bestimme die Integralgrenzen für x und y |
Hallo, ich habe das Gebiet einmal skizziert:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Skizze
Bei den Integralgrenzen bin ich mir unsicher.
Ist die untere Grenze von x 1 oder [mm] \wurzel{1-y^2}, [/mm] die obere Grenze von x müsste (4-y)/2 sein.
Ist die untere Grenze von y 1 oder [mm] \wurzel{1-x^2}, [/mm] die obere Grenze von y müsste 4-2x sein.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Grüße, Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andreas,
bei Gebietsintegralen führt man ja eine zweifache Integration durch, wobei man die Integrale ineinander verschachtelt. Insofern spielt die Reihenfolge, ob man erst nach x und dann nach y integriert oder umgekehrt eine Rolle. Entsprechend ändern sich auch die Integralgrenzen.
Ist das äußere Integral die Integral über dx, so erhält man
$$ INT = [mm] \int_{x=a}^{x=b} (\int_{y = \alpha (x)}^{y = \beta (x)} [/mm] f(x,y) dy ) dx $$ und bei umgekehrter Reihenfolge
$$ INT = [mm] \int_{y=c}^{y=d} (\int_{x = \gamma (y)}^{x = \delta (y)} [/mm] f(x,y) dx ) dy [mm] \, [/mm] . $$ Die Grenzen des äußeren Integrals sind immer Konstanten, die des inneren Integrals hängen von den Berandungskurven ab.
In Deinem Beispiel würde die Lösung des Integrals nach der ersten Form zu einer Aufsplittung des Gebietsintegrals führen, nämlich für die Werte von 0 bis 1 und anschließend für den zweiten x-Wertebereich von 1 bis 2.
Für x zwischen 0 und 1 ist die Berandung in y-Richtung [mm] y=\wurzel{1-x^2} [/mm] und [mm] y= 4 - 2x [/mm].
Für x zwischen 1 und 2 wird die Sache etwas einfacher. Hier liegt die Berandung bei [mm] y = 0 [/mm] bzw. [mm] y = 4 - 2x [/mm]. Das Gebiet wird hier in senkrechte Streifen aufgeteilt.
Die Gleichungen nach x aufgelöst, geben die inneren Berandungen für den zweiten Typ von Integral. y läuft hier einmal von 0 bis 1 und dann von 1 bis 4. Hier wird das Gebiet in waagrechte Streifen aufgeteilt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 10.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo infinit, vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Wie ich dich richtig verstanden habe reicht es, sich einen Typ auszusuchen für die (Gesamt-)Lösung. Wenn ich dann also den ersten Typ nehme, komme ich auf insgesamt zwei Doppelintegrale:
[mm] \int_{x=0}^{x=1} \int_{y = 0}^{y = \wurzel{1-x^{2}}} [/mm] f(x,y) dy dx
plus den zweiten Teil, ebenfalls über dy dx:
[mm] \int_{x=1}^{x=2} \int_{y = 0}^{y = 4-2x} [/mm] f(x,y) dy dx
Stimmt das? Die beiden Teilergebnisse muss ich dann zusammenzählen.
Wenn ich mir den zweiten Typ nehmen würde, käme ich natürlich auch auf zwei Doppelintegrale mit entsprechend anderen Grenzen.
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 So 11.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andreas,
das Prinzip hast Du richtig verstanden, das zweite Teilintegral ist auch okay, beim ersten hast Du allerdings die falschen y-Grenzen eingesetzt. Derzeit integrierst Du über das Innere des Kreises, Du brauchst aber das Gebiet zwischen der Kreisberandung und der Geraden.
$$ [mm] \int_{x=0}^{x=1} \int_{y = \wurzel{1-x^{2}}}^{y =4 - 2x } [/mm] f(x,y) dy dx $$
Für beide Teilintegrale ist in y-Richtung die Gerade die obere Begrenzung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 So 11.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo infinit,
vielen Dank für Deine Korrektur. Ich denke, jetzt ist es mir klar geworden.
Viele Grüße und einen schönen Sonntag!
Und noch einmal vielen herzlichen Dank!
Andreas
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![[a]](uploads/forum/00323010/forum-i00323010-n001.jpg "Dateianhänge"){kind=small}
Skizze