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| Aufgabe | Ein Körper ist gegeben durch die ebene Grundfläche
Gh = {(x, y) e [mm] R^2 [/mm] | 0 <= y <= h ; und 0 <= x <= 4}, 0 <= h <= 4
und Deckfläche f(x, y) = |x-y|.
a) Bestimmen Sie das Volumen Vh des Körpers in Abhängigkeit von h.
b) Wie muss h gewählt werden, damit die Maßzahl des Volumens das 1.25-fache der Maßzahl der Grundfläche ist?
c) Bestimmen Sie das Volumen des Körpers für h = 4. |
Ich habe mir zuerst die Grundfläche skizziert.
Das hat ein Quadrat mit den Maßen 4x4 ergeben.
Das wars dann aber auch schon. Ich bin so ziemlich ratlos, was ich mit der Deckfläche anfangen soll.
Vielleicht bin ich gerade einfach zu fertig mit all dem Rechnen der letzten Tage, aber ich verstehe momentan nicht, wie ich die Funktion zu verstehen habe.
Soll ich sie erst partiell integrieren? Oder kann man das so schon zeichnen?
Wie gehe ich vor, wenn ich diese Aufgabe lösen möchte?
Auch hier wieder die Bitte: Ich wäre sehr dankbar für möglichst präzise Hinweise, sodass ich den Lösungsweg schnell erfasse und mich direkt ans Nachrechnen machen kann, denn morgen steht bereits die Klausur an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 So 29.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ein Körper ist gegeben durch die ebene Grundfläche
>
> Gh = {(x, y) e [mm]R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| 0 <= y <= h ; und 0 <= x <= 4}, 0 <= h
> <= 4
>
> und Deckfläche f(x, y) = |x-y|.
>
> a) Bestimmen Sie das Volumen Vh des Körpers in
> Abhängigkeit von h.
>
> b) Wie muss h gewählt werden, damit die Maßzahl des
> Volumens das 1.25-fache der Maßzahl der Grundfläche ist?
>
> c) Bestimmen Sie das Volumen des Körpers für h = 4.
> Ich habe mir zuerst die Grundfläche skizziert.
>
> Das hat ein Quadrat mit den Maßen 4x4 ergeben.
Nein. Es ist ein Rechteck mit den Maßen 4xh
> Das wars dann aber auch schon. Ich bin so ziemlich ratlos,
> was ich mit der Deckfläche anfangen soll.
Die Grundfläche G_h und der Graph von f schließen ein Volumen V_h ein.....
FRED
>
> Vielleicht bin ich gerade einfach zu fertig mit all dem
> Rechnen der letzten Tage, aber ich verstehe momentan nicht,
> wie ich die Funktion zu verstehen habe.
> Soll ich sie erst partiell integrieren? Oder kann man das
> so schon zeichnen?
> Wie gehe ich vor, wenn ich diese Aufgabe lösen möchte?
>
> Auch hier wieder die Bitte: Ich wäre sehr dankbar für
> möglichst präzise Hinweise, sodass ich den Lösungsweg
> schnell erfasse und mich direkt ans Nachrechnen machen
> kann, denn morgen steht bereits die Klausur an.
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Ah, okay. Ich glaube ich habe die Aufgabe etwas besser verstanden.
Also in x-Richtung ist die Länge fest, da 0 <= x <= 4
In y-Richtung ergibt sich für die untere Grenze immer y = 0 und für die obere Grenze y = h, wobei h zwischen 0 und 4 liegen kann.
Genau diese Abhängigkeit soll man untersuchen.
So, dann würde das Doppelintegral zu dieser Grundfläche ja lauten:
[mm] \integral_{0}^{4} \integral_{0}^{h}{f(x) dydx}
[/mm]
Richtig?
Doch wie lautet die Funktion des Quadrats? Also der Teil f(x), wie kommte ich auf den? (Falls es denn überhaupt bis hierhin richtig ist)
Der Hinweis mit dem Volumen hat mir bisher noch keine Erkenntnis gebracht.
Vielleicht liegt es daran, dass ich nicht weiß, wass ich mit der Deckflächen Funktion anfangen soll. Muss ich sie erst umformen, oder was mache ich mit ihr, sodass ich mir vorstellen kann, was das für ein Körper ist? (Sofern mir das denn zur Lösung der Aufgabe überhaupt hilfreich ist)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 30.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Wie fred97 schon gesagt hat: Die Grundfläche [mm]G_h[/mm] ist im allgemeinen kein Quadrat, sondern nur ein Rechteck mit den Seitenlängen 4 und [mm]h[/mm]. Beachte, daß [mm]h[/mm] ein Parameter ist.
Man zerlegt [mm]G_h[/mm] in das Trapez [mm]{G_h}^{+}[/mm] unterhalb der Geraden [mm]y=x[/mm], also mit [mm]y \leq x[/mm], und das Dreieck [mm]{G_h}^{-}[/mm] oberhalb der Geraden [mm]y=x[/mm], also mit [mm]y \geq x[/mm].
In [mm]{G_h}^{+}[/mm] gilt: [mm]f(x,y) = \left| x-y \right| = +(x-y) = x-y[/mm]
In [mm]{G_h}^{-}[/mm] gilt: [mm]f(x,y) = \left| x-y \right| = -(x-y) = y-x[/mm]
Es ist [mm]G_h = {G_h}^{+} \cup {G_h}^{-}[/mm], wobei die beiden Vereinigungsglieder sich in einer Strecke, also einer Nullmenge, schneiden. Daher gilt für das Volumen:
[mm]V(h) = \int \limits_{G_h} \left| x-y \right| ~ \mathrm{d}(x,y) = \int \limits_{{G_h}^{+}} (x-y) ~ \mathrm{d}(x,y) + \int \limits_{{G_h}^{-}} (y-x) ~ \mathrm{d}(x,y)[/mm]
Jetzt wende Fubini an. Es ist geschickt, außen über [mm]y[/mm] und innen über [mm]x[/mm] zu integrieren:
[mm]V(h) = \int \limits_0^h \int \limits_y^4 (x-y) ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y \ \ + \ \ \text{zweites Integral}[/mm]
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Allerdings gelingt es mir noch immer nicht eine Skizze anzufertigen....
Daher kann ich die restlichen Schritte noch nicht nachvollziehen, weil ich mich dafür leider an der Skizze orientieren muss.
Also, ich hatte schon im anderen Strang versucht die Grundfläche zu verstehen.
Also in x-Richtung hat sie ja eine konstante Länge von 4.
Teilen wir die y-Richtung nun einmal auf:
0 <= y
heißt, die untere Grenze ist y = 0 und damit liegt sie auf der x-Achse.
y <= h
Überflüssige Spinnerei:
(Wenn da jetzt stehen würde y <= x, dann würde das bedeuten, dass die obere Funktion eine Ursprungsgerade y=x ist und damit wäre die Form ein Dreieck. So ist es aber leider nicht.... Aber analog dazu:
Hier steht nun y <= h, damit wäre die obere Funktion also y = h.)
h kann einen beliebigen Wert zwischen 0 und 4 annehmen.
Nehmen wir als weiteres Beispiel wieder eine ähnliche Funktion:
I.) y = 0. Dies bedeutet wieder, dass auch die obere Grenze auf der x-Achse liegen würde.
II.) y = 4. Dies bedeutet ja, dass die obere Grenze eine parallele Gerade ist, welche die y-Achse im Punkt 4 schneidet.
Demzufolge wäre die Grundfläche, bei variablem h, steht ein Rechteck, welches sich nur in y-Richtung ändert.
Sind meine Gedankengänge denn falsch?
Ich bin nämlich verwirrt, wegen deiner Aussage es ist ein Trapez.
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Du solltest nicht sagen: h kann einen beliebigen Wert zwischen 0 und 4 annehmen, sondern: [mm]h[/mm] hat einen beliebigen Wert zwischen 0 und 4 angenommen. [mm]h[/mm] ist ein Parameter, er wird, bevor es losgeht, festgelegt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für das Bild.
Also war mein Grundgedanke vom Rechteck schon richtig.
Deshalb nun die Frage, warum zerteilt man das Trapez und rechnet nicht einfach
[mm] \integral_{0}^{4} \integral_{0}^{h}{f(x) dydx} [/mm] ?
Ich verstehe die Aufgabe irgendwie überhaupt nicht...
Bisher habe ich auch einfach nur Integrale von zwei sich schneidenden Gerade berechnet, oder ähnlichem.
Aber nicht so etwas komplexes...
Was es mit der Deckfläche auf sich hat begreife ich auch nicht.
Als ich für die Aufgabe ursprünglich nachgeschaut hatte, war es die der Grundfläche gegenüberliegende Seite. Aber nun bin ich ziemlich verwirrt.
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Du kannst das auch so machen. Aber wie geht es dann weiter? Man sollte bei einer Rechnung nicht aufs geratewohl rechnen, sondern immer bei den ersten Schritten schon an später denken.
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Ja, wie gesagt, ich verstehe die Aufgabe leider nicht vollständig. So etwas komplexes habe ich mit dem Integral glaube ich nicht ausgerechnet. Deshalb versteh das bitte nicht als aufmüpfige Frage, sondern wirklich nur als Versuch etwas Klarheit zu erlangen.
Ich hatte ja wie geschrieben sonst auch nur so einfache Sachen berechnet, wie den Flächeninhalt zwischen z.b. der Ursprungsgerade y=x und [mm] y=x^2 [/mm] im Bereich 0 bis 1.
Und da war das Vorgehen, dass ich mir die Grenzen in x-Richtung gesetzt habe, also von 0 bis 1 und dann im inneren Integral untere Funktion (bei diesem Beispiel also [mm] x^2) [/mm] und obere (x) und dann gerechnet habe.
Ich wollte also nur das mir bereits bekannte Verfahren hierauf anwenden, bzw erfragen, ob es denn auch möglich wäre.
Also sprich, die Grenzen in x-Richtung und dann die Funktionen unten und oben.
Ob das sinnvoll ist, kann ich natürlich nur abschätzen, wenn ich die Aufgabe auch vollständig verstehen würde, was ich leider nicht tue.
Zum Beispiel ist mir eben das mit der Grundfläche und der Deckfläche unverständlich. Was ist damit genau gemeint? Welcher Teil der Skizze würde das repräsentieren? (Damit ich mir einfach etwas mehr darunter vorstellen kann)
Auch heute, wie seit Tagen, habe ich wieder von früh bis spät nur gerechnet, die verschiedensten Aufgaben. Mir platzt der Kopf. Daher noch mal die Bemerkung, ich meinte das nicht "besserwisserisch" oder wie auch immer.
Kannst du mir vielleicht die Aufgabenstellung verständlich machen?
Noch etwa eine Stunde kann ich für das Lernen investieren, dann geht es ab ins Bett und in der Früh zur Klausur... oh man...
An dieser Stelle möchte ich dir aber nochmals für deine Mühe danken, mir das in der vorigen Antwort so umfassend zu erläutern und auch die Skizze ist super. Ich wünschte nur mir wirklich sehr, dass ich das alles auch verstehen würde.
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Du hast zwei Variable [mm]x,y[/mm] und eine Funktion
[mm]z = f(x,y) = \left| x-y \right|[/mm]
mit dem Definitionsbereich [mm]D = [0,4] \times [0,h][/mm], wobei [mm]h[/mm] mit [mm]0 \leq h \leq 4[/mm] vorgegeben ist. Über jedem Punkt [mm](x,y)[/mm] der [mm]xy[/mm]-Ebene trägst du in [mm]z[/mm]-Richtung den Funktionswert ab, zum Beispiel über dem Punkt [mm](x,y)=(1,2)[/mm] den Wert [mm]z = f(1,2) = \left| 1-2 \right| = \left| -1 \right| = 1[/mm] oder über dem Punkt [mm](x,y) = (1,1)[/mm] den Wert [mm]z = f(1,1) = 0[/mm]. Deswegen erhebt sich über dem Rechteck [mm]D[/mm] eine Fläche, die den Funktionsgraphen von [mm]f[/mm] darstellt. In diesem einfachen Fall besteht der Graph aus zwei Ebenenstücken, nämlich
für [mm]y \leq x[/mm] aus [mm]z = f(x,y) = x-y[/mm], also der Ebene [mm]x-y-z=0[/mm]
für [mm]y \geq x[/mm] aus [mm]z = f(x,y) = y-x[/mm], als der Ebene [mm]x-y+z = 0[/mm]
Diese Form der Ebenengleichung solltest du aus der Schule als Normalenform einer Ebene kennen.
Wird dir langsam klar, warum ich eigentlich die Fälle [mm]y \leq x[/mm] und [mm]x \leq y[/mm] unterscheide?
Das Bild zeigt die Situation: Der Raum zwischen der [mm]xy[/mm]-Ebene und dem Funktionsgraphen besteht aus einem Pyramidenstumpf (links) und einer Pyramide (rechts).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 So 29.06.2014 | | Autor: | Pingumane |
Wahnsinn. Die Grafik ist eine unfassbar große Hilfe. Ich brauche bei so etwas immer eine Anschauung. Vielen vielen Dank.
Ich habe mich mit deiner jetzigen Erklärung, dem Bild und den vorangegangen Erläuterungen fix an die Aufgabe gewagt.
Verstanden habe ich sie jetzt endlich, dafür noch einmal vielen Dank!
Meine Lösung war auf die schnelle: 7h - [mm] 2h^2 [/mm] - 32
Die korrekte Lösung wäre gewesen: [mm] \bruch{h^3}{3} [/mm] - [mm] 2h^2 [/mm] + 8h
Nah dran, immerhin. Ich hab das jetzt wirklich mehr hinschludern als rechnen müssen, denn die Zeit wird leider knapp. Aber das wichtigste ist, dass ich das Prinzip begriffen habe.
Also noch einmal vielen herzlichen Dank für all deine Hilfe.
Wenn ich nach der Klausur noch Kapazitäten habe, versuche ich mich noch einmal rein aus Interesse an der Aufgabe.
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Jetzt, wo du das Bild hast, kannst du auch mit Elementargeometrie darangehen.
Pyramidenstumpf links:
Die Vollpyramide hat die Grundfläche [mm]G'_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4[/mm] und die Höhe [mm]H'_1 = 4[/mm], also das Volumen [mm]V'_1 = \frac{1}{6} \cdot 4^3 = \frac{32}{3}[/mm] .
Davon ist noch die kleine gestrichelte Pyramide zu subtrahieren. Sie hat die Grundfläche [mm]G''_1 = \frac{1}{2} \cdot (4-h) \cdot (4-h)[/mm] und die Höhe [mm]H''_2 = 4-h[/mm], also das Volumen [mm]V''_1 = \frac{1}{6} \cdot (4-h)^3[/mm].
Das Volumen des Pyramidenstumpfes ist daher
[mm]V_1 = \frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot (4-h)^3[/mm]
Pyramide rechts:
Die Pyramide hat die Grundfläche [mm]G_2 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot h[/mm] und die Höhe [mm]H_2 = h[/mm], also das Volumen [mm]V_2 = \frac{1}{6} \cdot h^3[/mm]
Das Gesamtvolumen ist
[mm]V = V_1 + V_2 = \frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot (4-h)^3 + \frac{1}{6} \cdot h^3[/mm]
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