Gebrochen Rationale Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Fr 23.03.2007 | | Autor: | goetz |
| Aufgabe | Man finde eine Stammfunktion zu:
[mm] f(x)=\bruch{x^3-x^2-4x-14}{(x^2+2)*(x-2)}
[/mm]
durch Darstellung des Integranden als Summe eines Polynoms und einer echt gebrochen rationalen Funktion und Zerlegung in Partialbrüche. |
Werte Gemeinschaft,
Bei dieser Funktion muss zuerst eine Polynomdivision durchgeführt werden, da der Grad des Nenners = dem Grad des Zählers ist und anschließend eine Partialbruchzerlegung.
Meine Frage lautet: Wie gehe ich in diesem Falle bei der Polynomdivision vor? Mein Nenner besteht ja aus 2 Faktoren. Reicht es, wenn ich bei der Polynomdivision (x-2) als Divisor nehme und das Ergebniss dann mit [mm] \bruch{1}{x^2+2} [/mm] multipliziere?
Und wenn ich das getan habe wird die Partialbruchzerlegung der Rest-Terme ja relativ aufwendig, gibt es da noch eine einfachere Möglichkeit?
Dieses Ist mein erster Post hier und ich danke für Eure Aufmerksamkeit und Eure Mühen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt..
MfG,
Goetz
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Hallo goetz,
das geht genauso wie du vermutest,
[mm] (x^3-x^2-4x-14):(x-2)=x^2+x-2-\bruch{18}{x-2}
[/mm]
also ist [mm] \bruch{x^3-x^2-4x-14}{(x-2)(x^2+2)}=\bruch{x^2+x-2}{x^2+2}-\bruch{18}{(x-2)(x^2+2)}
[/mm]
Das kannst du nun noch etwas vereinfachen (addiere mal +2-2 im Zähler des ersten Bruchs) und dann die Integration wie in der Aufgabenstellung vorgeschlagen machen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Fr 23.03.2007 | | Autor: | goetz |
Dann sieht der erste Bruch folgendermaßen aus: [mm] \bruch{x-4}{x^2+2} [/mm] .
Das bleibt zwar immernoch eine unhandliche Stamfunktion, aber den Rest ist (auch von mir *g*) machbar.
Vielen herzlichen Dank, das war mir eine große Hilfe!
MfG
Goetz
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Jo stimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ,
und [mm] \bruch{x-4}{x^2+2}=\bruch{x}{x^2+2}-\bruch{4}{x^2+2}=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{2x}{x^2+2}-\bruch{4}{x^2+2}
[/mm]
Das könnte dann klappen
Mit allen Tricks 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Fr 23.03.2007 | | Autor: | ron |
Hallo goetz,
die Antwort von schachuzipus ist i.O. Möchte dir mal etwas anderes vorschlagen, das wahrscheinlich im Sinne der Aufgabenstellung gemeint ist.
Nehme die Darstellung des Nenners in Produktform als nette Geste die Nullstellen schnell zu sehen, zwei komplexe und eine rationale.
Gehe ruhig mit der "normalen" Polynomedivision (Nenner ausmultiplizieren) heran. Klar, hier spaltet sich nur die +1 ab und es bleibt der Ausdruck
[mm] \bruch{x^2-6x-10}{(x^2+2)(x-2)}
[/mm]
Hier die Partzialbruchzerlegung ansetzen (Achtung komplexe Nullstellen):
Führt zu:
[mm] \bruch{4x}{x^2+2}+\bruch{2}{x^2+2}-\bruch{3}{x-2}
[/mm]
Also Integral zu bilden von
[mm] \bruch{4x}{x^2+2}+\bruch{2}{x^2+2}-\bruch{3}{x-2}+1
[/mm]
Die ist für drei Terme leicht, nur der zweite ist mit arctan zu bewältigen (Tipp: Schaue dir zunächst die Ableitung von arctan an, um die Lösung zu erhalten!)
Hoffe es hilft dir zwei Varianten zu sehen. Mein Vorschlag beruht auf der Absicht ein möglichst allgemeine Vorgehensweise zur Bearbeitung zu verfolgen.
Fragen bitte stellen
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Fr 23.03.2007 | | Autor: | goetz |
Hallo Ron,
genau diese Art und Weise hatte ich in einem Versuch, den ich gerade durchgeführt hatte, auch gemacht. In der Ausführung muss ich ja auf die komlexen Nullstellen eigentlich nicht achten, da mein Prof (wie Du schon angedeutet hast) so freundlich war und durch die Aufgabenstellung die erste Nullstelle vorzugeben. Ich hatte anschließend auch genau diese 3 Brüche vorliegen, nur kam ich nicht auf die Stammfunktion von [mm] \bruch{2}{x^2+2}, [/mm] nämlich [mm] \wurzel{2}*\arctan{(\bruch{1}{2}x*\wurzel{2})}.
[/mm]
Aber nun gehts...
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hi,
den Rest [mm] \bruch{18}{(x-2)(x^2+2)} [/mm] kannst du noch weiter zerlegen
[mm] \bruch{A}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{x^2+2} [/mm] = [mm] \bruch{Ax^2+2A+Bx^2-2Bx+cx-2C}{(x-2)(x^2+2)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2(A+B)+x(c-2B)+2a-2C}{(x-2)(x^2+2}
[/mm]
A+B = 0
C-2B=0
2A-2C = 18
A,B,C berechnen.
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